4.4.4　平擺線與圓的漸開線

1、.4.4.4平擺線與圓的漸開線1理解平擺線、圓的漸開線的生成過程，能導(dǎo)出它們的參數(shù)方程2在欣賞曲線美的同時，體會參數(shù)方程在曲線研究中的地位3體會“參數(shù)思想在處理較為復(fù)雜問題時的優(yōu)越性根底·初探1平擺線1如圖4­4­7所示，假設(shè)A為圓心，圓周上的定點(diǎn)為P，開場時位于O處，圓半徑為r在直線上滾動時，點(diǎn)P繞圓心做圓周運(yùn)動，轉(zhuǎn)過弧度角后，圓與直線相切于B，線段OB的長等于的長，即OBr.這就是圓周上的定點(diǎn)P在圓A沿直線滾動過程中滿足的幾何條件我們把點(diǎn)P的軌跡叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線圖4­4­72以定直線為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，那么定點(diǎn)

2、Px，y的參數(shù)方程為為參數(shù)2圓的漸開線有一條鋼絲緊箍在一個半徑為r的圓盤上，在鋼絲的外端系上一支鉛筆，逐漸撒開鋼絲，并使撒開的部分成為圓盤的切線，我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓考慮·探究1用參數(shù)法求曲線的軌跡方程的步驟是什么？【提示】用參數(shù)法求曲線的軌跡方程，其步驟主要有三步：選參、用參、消參其中關(guān)鍵是選參，假設(shè)題目沒有明確要求化為普通方程或需判斷曲線的形狀和位置，那么可以用曲線的參數(shù)方程作為答案2圓的漸開線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是什么？【提示】根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)是指繩子外端運(yùn)動時，半徑O

3、B相對于Ox轉(zhuǎn)過的角度，如圖，其中的AOB即是角.顯然點(diǎn)P由參數(shù)惟一確定在我們解決有關(guān)問題時可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，使求解過程更加簡單質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_擺線一個圓的擺線過一定點(diǎn)1,0，請寫出該擺線的參數(shù)方程【自主解答】根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達(dá)式為參數(shù)可知，只需求出其中的r，也就是說，擺線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一來確定，因此只需把點(diǎn)1,0代入?yún)?shù)方程求出r值再代入?yún)?shù)方程的表達(dá)式令r1cos 0可得cos 1，所以2kkZ代入可得xr2ksin

4、2k1.所以r.又根據(jù)實(shí)際情況可知r是圓的半徑，故r>0.所以，應(yīng)有k>0且kZ，即kN.所以，所求擺線的參數(shù)方程是其中為參數(shù)，kN再練一題1一個圓的平擺線過一定點(diǎn)2,0，請寫出該圓的半徑最大時該平擺線的參數(shù)方程【解】令y0，可得r1cos 0，由于r0，即得cos 1，所以2kkZ代入xrsin ，得xr2ksin 2k又因?yàn)閤2，所以r2ksin 2k2，即得rkN易知，當(dāng)k1時，r取最大值為.代入即可得圓的平擺線的參數(shù)方程為為參數(shù).圓的漸開線圓的漸開線的參數(shù)方程為參數(shù)求出該漸開線的基圓的方程，當(dāng)參數(shù)取時，求對應(yīng)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)【思路探究】由圓的漸開線的參數(shù)方程形式可得r3，把代

5、入即得對應(yīng)的坐標(biāo)【自主解答】，半徑為3.此漸開線的基圓方程為x2y29.把代入?yún)?shù)方程得即曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，3圓的漸開線參數(shù)方程其中為參數(shù)再練一題2圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A、B兩點(diǎn)的間隔 【導(dǎo)學(xué)號：98990038】【解】根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是為參數(shù)，分別把和代入，可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B，1那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的間隔 公式可得A、B兩點(diǎn)的間隔 為AB.即A、B兩點(diǎn)之間的間隔 為.1假設(shè)某圓的漸開線方程是為參數(shù)，那么此圓的方程是_，對應(yīng)0的點(diǎn)的坐標(biāo)是_，對應(yīng)的點(diǎn)是_【解析】圓的方程為x2y21，0的點(diǎn)的坐標(biāo)是1,0，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，1【答案】x2y211,0，12擺線02與直線y1交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_【導(dǎo)學(xué)號：98990039】【解析】當(dāng)y1時，有21cos 1，cos ，又02，或，當(dāng)時，x；當(dāng)時，x.【答案】，1，13如圖4­4­8，ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH叫做“正方形的漸開線，其中弧AE、EF、FG、GH的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，那么曲線AEFGH長是_圖4­4­8【解析】2 ，相加得5.【答案】54一個圓的參數(shù)方程為為參數(shù)那么圓的平擺線方程中與參數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的間隔