中考數(shù)學(xué)壓軸題精選含詳細(xì)答案

1、1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題例1 20XX年蘇州市中考第29題例2 20XX年黃岡市中考第25題例3 20XX年上海市閘北區(qū)中考模擬第 25題例4 20XX年上海市楊浦區(qū)中考模擬第24題例5 20XX年義烏市中考第24題例6 20XX年上海市寶山區(qū)中考模擬第 24題例7 20XX年臨沂市中考第26題例820XX年上海市閘北區(qū)中考模擬第 25題1.1 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題例1 20XX年蘇州市中考第29題如圖1,已知拋物線y =1x2 -1（b+1）x+b （b是實(shí)數(shù)且b>2）與x軸的正半軸分別交 444于點(diǎn)A、B （點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn) C.（1）點(diǎn)B的坐

2、標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且4PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得 QCO、AQOA和 QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 12蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時(shí)刻.雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)B,可以體

3、驗(yàn)到，存在/ OQA = Z B的時(shí)刻，也存在/ OQ A=Z B的時(shí)刻.思路點(diǎn)撥1 .第（2）題中，等腰直角三角形 PBC暗示了點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等.2 .聯(lián)結(jié)OP,把四邊形PCOB重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表本.3 .第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺(jué)這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)Q最大的可能在經(jīng)過(guò)點(diǎn) A與x軸垂直的直線上.滿(mǎn)分解答（1） B的坐標(biāo)為（b, 0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0, b）.4（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為 D、E,那么PDBPEC.因此PD = PE.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, x）.如圖3,聯(lián)結(jié)OP.所以 S 四邊形 PC

4、OB = Sapco+SaPBO = 1，x2 4解得x =竺.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16 16）55 5伊 EPoA圖2+- xb x=-bx =2b-28個(gè)Y圖34(3)由 y J x24一1 (b+1)x+b =1(x1)(xb),得 A(1,0), 0A=1. 44 4如圖4,以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形 OAQC,那么 OQC0QOA.當(dāng) 弛=或，即 QA2=BAOA時(shí)，BQAsQOA.QA OA所以（b）2=b1.解得b=8±4j3.所以符合題意的點(diǎn) Q為（1,2+J3）.4如圖5,以O(shè)C為直徑的圓與直線 x= 1交于點(diǎn)Q,那么/ OQC=90°。 因此 OCQs Q

5、OA.當(dāng) BA=QA時(shí)，bqasqoa.此時(shí)/ OQB = 90° .QA OA所以C、Q、B三點(diǎn)共線.因此 竺9=空，即_b=QA.解得QA = 4.此時(shí)Q（1,4）.CO OA b 1圖5考點(diǎn)伸展第(3)題的思路是，A、C、。三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而/ QOA 與/ QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況.這樣，先根據(jù) QOA與 QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來(lái)，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比 例確定點(diǎn)B的位置.如圖中，圓與直線 x= 1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn) B的位置距離點(diǎn) A很近，這與OB = 4OC矛盾

6、.例2 20XX年黃岡市中考模擬第25題1如圖1,已知拋物線的萬(wàn)程C1: y =_'(x+2)(x m) (m>0)與x軸交于點(diǎn)B、C,與my軸交于點(diǎn)E,且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè).(1)若拋物線C1過(guò)點(diǎn)M(2, 2),求實(shí)數(shù)m的值;(2)在(1)的條件下，求 BCE的面積；(3)在(1)的條件下，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)H,使得BH + EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；(4)在第四象限內(nèi)，拋物線 C1上是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形 與 BCE相似？若存在，求 m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 12黃岡25"，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)

7、動(dòng)，觀察左圖，可 以體驗(yàn)到，EC與BF保持平行，但是/ BFC在無(wú)限遠(yuǎn)處也不等于 45。.觀察右圖，可以體 驗(yàn)到，/ CBF保持45° ,存在/ BFC = / BCE的時(shí)刻.思路點(diǎn)撥1 .第(3)題是典型的“牛喝水”問(wèn)題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH+EH最小.2 .第(4)題的解題策略是：先分兩種情況畫(huà)直線BF,作/ CBF = / EBC = 45° ,或者彳BF/EC.再用含m的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo).然后根據(jù)夾角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例列關(guān) 于m的方程.滿(mǎn)分解答(1)將 M(2, 2)代入 y = 1(x+2)(xm),得 2 =工父4(2 m) .解得 m=4. mm(2

8、)當(dāng) m = 4 時(shí)，y = -l(x+2)(x-4)=-x2+-x + 2.所以 C(4, 0), E(0, 2). 4421 1所以 S；Abce= BC OE =父6父2=6 -2 2(3)如圖2,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x= 1,當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH + EH最小.設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為P,那么 空=里CP CO解得HP =-.所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1 3). 22(4)如圖3,過(guò)點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于 F,過(guò)點(diǎn)F作FFx軸于F由于/ BCE=Z FBC,所以當(dāng) 生=生，即 BC2=CE BF 時(shí)， BCEA FBC .FF ' EOBF'- CO1一(x 2)(x

9、-m)得皿x 2CB BF1設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,-(x +2)(x-m), m解得 x=m+2.所以 F'(m+2, 0).由 co =里,得 m m+4 所以 BF _（m+4）Jm2+4CE BF m2 . 4 BFm由 BC2 =CE BF ,得（m+2）2 = JT4M（mmli .m整理，得0=16.此方程無(wú)解.圖2圖3圖4如圖4,作/ CBF = 45°交拋物線于 F,過(guò)點(diǎn)F作FF。x軸于F由于/ EBC=/ CBF,所以 BE =BC,即 BC2 =BE BF 時(shí)， BCEABFC.BC BF在 RtBFF'中，由 FF = BF',彳# l(x

10、+2)(x-m) =x+2. m解得 x=2m.所以 F'(2m,0).所以 BF = 2m+ 2, BF=J2(2m+2).由 BC2 =BE BF ,得(m +2)2 =2五父向2 m+2),解得 m = 2±272 ,綜合、，符合題意的 m為2 +2我.考點(diǎn)伸展第(4)題也可以這樣求 BF的長(zhǎng)：在求得點(diǎn) F'、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式 求BF的長(zhǎng).例3 20XX年上海市閘北區(qū)中考模擬第 25題1 .直線y = x+1分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，4AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針萬(wàn)向旋轉(zhuǎn) 903后得到COD,拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò) A、C、D 三點(diǎn).(1)

11、寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)在直線BG上是否存在點(diǎn) Q,使得以點(diǎn) A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與 COD相似? 若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1-圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名« 11閘北25”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在直線BG上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到, ABQ的兩條直角邊的比為 1 ： 3共有四種情況，點(diǎn) B上、下各有兩種.思路點(diǎn)撥1 .圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.2 .用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo).3 .第(3)題判斷/ ABQ = 90°

12、是解題的前提.4 . AABQ與ACOD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點(diǎn)Q與點(diǎn)B的位置關(guān)系分上下兩種情形，點(diǎn)Q共有4個(gè).滿(mǎn)分解答5 1) A(3, 0), B(0, 1), C(0, 3), D(-1, 0).(2)因?yàn)閽佄锞€ y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò) A(3, 0)、C(0, 3)、D(1 , 0)三點(diǎn)，所以9a 3b c =0,a = -1,c=3,解得b=2,a -b c =0.c =3.所以拋物線的解析式為 y=-x2+2x+ 3=(x 1)2+4,頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1, 4).(3)如圖2,直線BG的解析式為y=3x+1,直線CD的解析式為y= 3x+3,因此CD/B

13、G.因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以ABXCD.因此ABXBG,即/ABQ = 90° .因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線BG上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x, 3x+1),那么BQ = Jx2 +(3x)2 = ±/0x .RtACOD的兩條直角邊的比為 1 ： 3,如果RtAABQ與RtACOD相似，存在兩種情況：當(dāng) BQ=3 時(shí)，士可x =3.解得 x=B 所以 Qi(3,10) , Q2(-3,-8).BA.10當(dāng)BQJ時(shí)，W°x=l.解得x=±1.所以Q3(1,2)，Q4(,0).BA 3.103333考點(diǎn)伸展ABXBG;第(3)題在解答過(guò)程中運(yùn)用了兩

14、個(gè)高難度動(dòng)作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說(shuō)明是 BQ =收 +(3x)2 =±/10x .我們換個(gè)思路解答第(3)題：如圖3,作GH，y軸，QN，y軸，垂足分別為 H、N.通過(guò)證明 AOBA BHG,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可以證明/ ABG=90°在 RtBGH 中，加/1=二，cos/11010當(dāng) BQ =3 時(shí)，BQ=3JT0.BA在 RtBQN 中，QN =BQ sin/1 =3 , BN = BQ cos/1 =9 .當(dāng)Q在B上方時(shí)，Qi(3,10);當(dāng)Q在B下方時(shí)，Q2(Y_8).當(dāng)BQ=1時(shí)，BQ=1«0-同理得到&(1,2)，Q4(-,0) -B

15、A 3333例4 20XX年上海市楊浦區(qū)中考模擬第24題k .Mabc在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所不，反比例函數(shù) y = (k 0 0)在第一象限內(nèi)x的圖象與BC邊交于點(diǎn)D (4, m),與AB邊交于點(diǎn)E (2, n) , BDE的面積為2.(1)求m與n的數(shù)量關(guān)系；1(2)當(dāng)tan/A=時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達(dá)式；2(3)設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F,點(diǎn)P在射線FD上，在(2)的條件下，如果 AEO 與4EFP相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 11楊浦24"，拖動(dòng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，直線 AB 保持斜率不變，n始終等于m的2倍，雙擊按鈕“面積

16、 BDE = 2"，可以看到，點(diǎn) E正好在 BD的垂直平分線上，F(xiàn)D/X軸.拖動(dòng)點(diǎn)P在射線FD上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，AAEO EFP 相似存在兩種情況.思路點(diǎn)撥1 .探求m與n的數(shù)量關(guān)系，用 m表示點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)，是解題的突破口.2 .第(2)題留給第(3)題的隱含條件是 FD/X軸.3 .如果 AEO與4EFP相似，因?yàn)閵A角相等，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況.滿(mǎn)分解答k4m = k,(1)如圖1,因?yàn)辄c(diǎn)D (4, m)、E (2, n)在反比仞函數(shù) y=的圖象上，所以x2n = k.X.整理，得n=2m.(2)如圖 2,過(guò)點(diǎn) E 作 EHLBC,垂足為 H.在 RtA BEH 中

17、，tanZ BEH = tanZ A=-,2EH =2,所以 BH = 1.因此 D(4, m), E(2, 2m), B(4, 2m+ 1).1 ,BD EH =/(m + 1)M2 = 2.解得 m = 1.因此 D(4,-，1已知 BDE的面積為2,所以2八 一一，八、J3=4k b1設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,代入B(4, 3)、E(2, 2),得解得k=,2 =2k b21(3)如圖3,因?yàn)橹本€丫=萬(wàn)*+1與丫軸交于點(diǎn)F (0, 1),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4, 1), 所以FD x軸，/ EFP = /EAO.因此 AEO與 EFP相似存在兩種情況：-EA FP如圖4,當(dāng)"

18、EA =工時(shí),AO EF1).FP .=濡,解得FP = 5.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(52 52考點(diǎn)伸展條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況:12第(1)題的結(jié)論m與n的數(shù)量關(guān)系不變.第(2)題反比例函數(shù)的解析式為 y = -,1), E(2, 2), B(4, 3).,4式為y = xb=1.圖4一 .FA EF如圖3,當(dāng)EA=工時(shí),AO FP本題的題設(shè)部分有條件RtAABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示”，如果沒(méi)有這個(gè)因?yàn)辄c(diǎn)D (4, 1)在反比例函數(shù)ky的圖象上，所以 k= 4.因此反比例函數(shù)的解析因此直線AB的函數(shù)解析式為y/x+1.2圖2圖3而解得FP=1.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1

19、 FP2.521).1. 一 . .直線AB為y =- x -7 .第(3)題FD不再與x軸平行， AEO與 EFP也不可能相似.2例5 20XX年義烏市中考第24題如圖1,已知梯形 OABC,拋物線分別過(guò)點(diǎn)O (0,0)、A(2,0)、B(6,3).(1)直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線 OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移， 分別交拋物線于點(diǎn) Oq Ai、Cq Bi,得到如圖2的梯形O1A1B1C1.設(shè)梯形O1A1B1C1的面積 為S, Ai、 Bi的坐標(biāo)分別為 , y1)、依，y/.用含S的代數(shù)式表示X22,并求出當(dāng)S=36 時(shí)點(diǎn)

20、Ai的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1, 3）,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的 速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段 DM運(yùn)動(dòng).P、 Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè) P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 為t,是否存在某一時(shí)刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線 PQ、直線AB、 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 10義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)I上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖象，可以體驗(yàn) 到，X2-X1隨S的增大而減小.雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在DM上運(yùn)

21、動(dòng)，可以體驗(yàn) 到，如果/ GAF = /GQE,那么 GAF與4GQE相似.思路點(diǎn)撥1 .第（2）題用含S的代數(shù)式表示X2-X1,我們反其道而行之，用 X1, X2表示S.再注 意平移過(guò)程中梯形的高保持不變，即y2-y1=3.通過(guò)代數(shù)變形就可以了.2 .第（3）題最大的障礙在于畫(huà)示意圖，在沒(méi)有計(jì)算結(jié)果的情況下，無(wú)法畫(huà)出準(zhǔn)確的位 置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說(shuō)理計(jì)算，后驗(yàn)證.3 .第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線 AB與X軸的夾角不變，直線 AB與拋物 線的對(duì)稱(chēng)軸的夾角不變.變化的直線 PQ的斜率，因此假設(shè)直線 PQ與AB的交點(diǎn)G在X軸 的下方，或者假設(shè)交點(diǎn) G在X軸的上方.滿(mǎn)分解答

22、(1)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 X=1,解析式為yX2 - X ,頂點(diǎn)為M (1, _1).848(2) 梯形 O1A1B1C1 的面積 s = 2(X1 -1+：2-1)x3 =3(X1 +X2)6 ,由此得到s121 1 21Xi +X2 = +2 .由于V2 y1=3 ,所以y2必= - X2X2 Xi+ X1= 3 .整理，得384 8411一-72(x2 -x1) |-(x2 +x1) - j = 3 .因此付到 x2 - x1 =.x2 x1 =14,1x1 = 6,當(dāng)S=36時(shí)，2解得1此時(shí)點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(6, 3).x2 - x1 =2.x2 = 8.（3）設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G

23、,直線AB與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn) 巳直線PQ與x軸交于點(diǎn)F,那么要探求相似的 GAF與ACQE,有一個(gè)公共角/ G.在4GEQ中，/ GEQ是直線AB與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的夾角，為定值.在4GAF中，/ GAF是直線 AB與x軸的夾角，也為定值，而且/ GEQw/ GAF .因此只存在/ GQE=/GAF 的可能，GQEsGAF.這時(shí)/ GAF = / GQE=Z PQD .,3DQ t3 t20由于 tan /GAF = , tan/PQD =5所以 一=. Il牛付 t =.4QP 5-t4 5-t7考點(diǎn)伸展第（3）題是否存在點(diǎn) G在x軸上方的情況？如圖 4,假如存在，說(shuō)理過(guò)程相同，求得的t的值

24、也是相同的.事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖， 實(shí)際的圖形更接近圖 3.例6 20XX年上海市寶山區(qū)中考模擬第 24題如圖1,已知點(diǎn) A (-2, 4)和點(diǎn)B (1, 0)都在拋物線 y2 八,=mx +2mx + n上.(1)(2)求 m、n；向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A',點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B；若四邊形A A'B'B為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；(3)記平移后拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線AB'的交點(diǎn)為C,試在x軸上找一個(gè)點(diǎn) D,使得以點(diǎn)B'、C、D為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似.動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 10寶山24”，拖動(dòng)點(diǎn)A

25、9;向右平移，可以體驗(yàn)到，平移 5個(gè)單位后，四邊形 A A'B'B為菱形.再拖動(dòng)點(diǎn) D在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， BCD與 ABC 相似有兩種情況.思路點(diǎn)撥1 .點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色.第(1)題用在待定系數(shù)法中；第(2)題用來(lái)計(jì)算平移的距離；第(3)題用來(lái)求點(diǎn)B'的坐標(biāo)、AC和B'C的長(zhǎng).2 .拋物線左右平移，變化的是對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口和形狀都不變.3 .探求 ABC與 BCD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，/ BAC=Z CB'D,因此按照夾角的 兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況討論.滿(mǎn)分解答(1)因?yàn)辄c(diǎn)A (-2,4)和點(diǎn)B (1 , 0)都在拋

26、物線y = mx2 + 2mx+ n上，所以4m - 4m n = 4,m 2m n =0.(2)如圖2,由點(diǎn)A (-2, 4)和點(diǎn)B (1, 0),可得AB=5.因?yàn)樗倪呅蜛 ABB為菱形，所以 A A'= BB= AB=5.因?yàn)?y =-4x2 -8x+4 = -(x+1 f +16,所以原拋物線的對(duì) 3333稱(chēng)軸x=- 1向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線為 x=4.(3)由點(diǎn) A (-2, 4)和點(diǎn) B'(6, 0),可得 A B'= 4M.如圖 2,由 AM/CN ,可得B'N B'CB'M B'Ar 2 B'C -，即一=

27、r .解得B'C = J5 .所以84.5AC =3，5 .根據(jù)菱形的性質(zhì)，在4ABC 與 B CD 中，/BAC = /CB 'D.如圖3,當(dāng)金旦=旦反時(shí),AC B 'D_5_ _ 53 5 一 B'D,解得B'D =3.此時(shí)OD = 3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3, 0).如圖4,當(dāng)空=膽時(shí)，_4=BD ,解得B'D =5 .此時(shí)OD = 13 ,點(diǎn)D的AC B C 3.5,533一一. 13坐標(biāo)為（13 , 0）.考點(diǎn)伸展在本題情境下，我們還可以探求 B'CD與AB B相似，其實(shí)這是有公共底角的兩個(gè)等 腰三角形，容易想象，存在兩種情況.我們也

28、可以討論 BCD與CB B'相似，這兩個(gè)三角形有一組公共角/B,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況計(jì)算.例7 20XX年臨沂市中考第26題如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(4, 0)、B (1, 0)、C (0, 2)三點(diǎn).(1)求此拋物線的解析式；(2) P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P作PM，x軸，垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以 A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與 OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn) D,使得 DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo).圖i動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名 “09臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)， 可以體驗(yàn)到

29、，4PAM 的形狀在變化，分別雙擊按鈕“ P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“ P在A右側(cè)”，可以顯 示 PAM與 OAC相似的三個(gè)情景.雙擊按鈕“第(3)題”，拖動(dòng)點(diǎn)D在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗(yàn)到，E是AC的中點(diǎn)時(shí)， DCA的面積最大.思路點(diǎn)撥1 .已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便.2 .數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng).3 .按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程.4 .把 DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA.滿(mǎn)分解答(1)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于 A(4, 0)、B

30、 (1, 0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，一，一 1 一，y =a(x -1)(x -4)，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)(0, 2),解得a = .所以拋物線的解析式為211y = -2(x -1)(x -4) = -x 1(2)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x,1(x1)(x4).、一_1如圖2,當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸上萬(wàn)時(shí)，1vx<4, PM = (x 1)(x 4), AM=4 x.2站田AM如果PMAO那么1(x - 1)(x - 4)2=2.解得x = 5不合題意.CO站田AM如果AO1_(x-1)(x-4)PMCO此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）.如圖13,當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) A 的右側(cè)時(shí)，x> 4, P

31、M =_(x1)(x4) , AM 2=x 4.解方程1-(x-1)(x-4)x -4=2,得x = 5 .此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5-2）.解方程1-(x-1)(x-4)如圖x -44,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，xv 1, PM1=(x -1)(x -4) , AM2解方程1-(x-1)(x-4)P的坐標(biāo)為（3, 14） .解方程1-(x-1)(x-4)4 -x1一,得x = 0.此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題忌. 2綜上所述，符合條件的圖2圖3圖4點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2, 1）或（3,14）或（5,2）.1-(3)如圖5,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E.直線AC的解析式為y= x2.21 25 一設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)

32、為m(1 <m <4),那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m + m 2)點(diǎn)e的2 21125112坐標(biāo)為(m,3m - 2).所以 DE = (- m +- m - 2) - (- m - 2) = - m +2m.1 , 1 22因此 S DAC = 2（ 2 m 2m） 4 一 -m當(dāng)m = 2時(shí)， DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)2.+ 4m = (m -2) +4 .D的坐標(biāo)為（2, 1）.圖6圖5考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：DCA的面積等于直角梯形 CAMN的面積減去如圖6,過(guò)D點(diǎn)構(gòu)造矩形 OAMN ,那么 CDN和4ADM的面積.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為（m, n） （1 <m <

33、;4）,那么c 1 - 八、，1 , z 1 ,、>,S =萬(wàn)(2n +2)父4 - m(n +2) - n(4 m) = m + 2n + 4 .，一 125 一一2由于 n = m +-m 2,所以 S =m +4m .22例 8 20XX 年上海市閘北區(qū)中考模擬第 25 題如圖1, 4ABC中，AB=5, AC = 3, cosA= _3_ . D為射線BA上的點(diǎn)(點(diǎn) D不與點(diǎn)B10重合)，作DE/BC交射線CA于點(diǎn)E.(1)若CE=x, BD = y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)分別以線段 BD, CE為直徑的兩圓相切時(shí)，求 DE的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，BC邊上是否存在點(diǎn) F ,使 ABC與/ DEF相似？若存在，請(qǐng)求出線段BF的長(zhǎng)；若