2019年全國(guó)二卷理數(shù)試題

1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2 .作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的.1 .設(shè)集合 A= x|x2-5x+6>0 , B= x|x-1<0,則 An B二A. S 1)B. (-2, 1)C. (-3, -1)D. (3, +8)2 .設(shè)z=-3+2i ,則在復(fù)平面內(nèi)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限

2、D.第四象限T T T T3 .已知 AB =(2,3), AC=(3, t), BC=1,則 AB BC =A. -3B. -2C. 2D. 34. 2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題,發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為 M2,地月距離為 R, L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿(mǎn)足方程:匹=(r .)必 (R r)

3、2 r2 (R r) R3 .設(shè)a =匚，由于口的值很小，因此在近似計(jì)算中R3： 3 3：-4 七2(1 )5.6.7.8.9.A.3M2 cC. 3|2RM1M2 R R2MlB.M2 cD . 31R3Ml演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從最高分、1個(gè)最低分，得到 7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與若a>b,則C.A.C.9個(gè)原始評(píng)分中去掉9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是B.D.平均數(shù)極差ln(a- b)>0a3- b3>0a, 3為兩個(gè)平面，則 all 3的充要條件是a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與3平行a,3平行于同一條直線若拋物線y2=2px(p&g

4、t;0)的焦點(diǎn)是橢圓A. 2C. 4卜列函數(shù)中，以 三為周期且在區(qū)間2A . f(x)=co史xC. f(x)=cos x10.已知 “C (0,3C.311.設(shè)F為雙曲線B.D.B.D.3a<3ba >b“內(nèi)有兩條相交直線與3平行a, 3垂直于同一平面2 x 十3p2y“八，=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則 p= pB. 3D. 8-)單調(diào)遞增的是2B.D.f(x)= sin 2xf(x)= sin x一),2sin 2 a=cos 2 a+1 ,貝U Sin a= 2B.D.2-55b2=1(a >0,b >0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2 + y2交于P,

5、Q兩點(diǎn).若PQ = OF，則C的離心率為a. 2i一二 8,3B.眄C. 2D. 7512,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足f(x+1)=2 f(x),且當(dāng)xw(0,1時(shí)，f (x) =x(x1).若對(duì)任意.8xu(-=o,m,都有f(x)圭一，則m的取值范圍是9- 9A.04_B-05C. (*，2D.二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分.13 .我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，有 10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為 0.97,有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為 0.98,有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為 0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率 的估計(jì)值為.14 .已知 f（x

6、）是奇函數(shù)，且當(dāng) x<0 時(shí)，f（x） = eax.若 f （ln2） = 8,則 a =.15 . 4ABC的內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=,則4ABC的面積為.316 .中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有 個(gè)面，其棱長(zhǎng)為.（本題第一空2分，第二空3分.

7、）惻I三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答 .（一）必考題：共 60分。17 . （12 分）如圖，長(zhǎng)方體 ABCD AB1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn) E在AA1上，BE，EC1.(1)證明：BE，平面EBiC"(2)若AE=A1E,求二面角BECC1的正弦值.18.(12 分)11分制乒乓球比賽，每贏一球得 1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得 2分的一方 獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球

8、時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了 X個(gè)球該局比賽結(jié)束.(1)求 P (X=2);(2)求事件 X=4且甲獲勝”的概率.19.（12 分）20.21.已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足 a1=1, b1=0, 4an+ = 3an bn+4 , 4bn由=3bn an 4.(1)證明：an+bn是等比數(shù)列，an - bn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項(xiàng)公式.(12 分)x 1已知函數(shù)f x = ln x .x -1(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)Xo是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=ln x在點(diǎn)A(x°

9、;, ln x°)處的切線也是曲線y =ex的切線.(12 分)已知點(diǎn)A(-2,0), B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿(mǎn)足直線AM與BM的斜率之積為-2.記M的軌跡為曲線 C.2(1)求C的方程，并說(shuō)明 C是什么曲線;(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交 C于P, Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE，x軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交 C于點(diǎn)G.(i)證明：zPQG是直角三角形；(ii)求4PQG面積的最大值.(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22 .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)M(H,eo)(PoA0)在曲線C: P=4sin8上，直線i過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM 垂直，垂足為P.(1)當(dāng)e0 = g時(shí)，求向及i的極坐標(biāo)方程；