10小升初專項(xiàng)訓(xùn)練數(shù)論篇1

1、名校真題 測試卷10 （數(shù)論篇一）時(shí)間：15分鐘 滿分5分 姓名_ 測試成績_1 （05年人大附中考題）有_個(gè)四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)；它的各位數(shù)字互不相同；它的每個(gè)數(shù)字都能整除它本身。 2 （05年101中學(xué)考題）如果在一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之間添寫一個(gè)零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的9倍，問這個(gè)兩位數(shù)是。 3 （05年首師附中考題）+=。 4 （04年人大附中考題）甲、乙、丙代表互不相同的3個(gè)正整數(shù)，并且滿足：甲×甲=乙+乙=丙×135那么甲最小是_。5 (02年人大附中考題)下列數(shù)不是八進(jìn)制數(shù)的是( )A、125 B、126 C、127 D、128 【附

2、答案】1 【解】：62 【解】：設(shè)原來數(shù)為ab，這樣后來的數(shù)為a0b,把數(shù)字展開我們可得：100a+b=9×(10a+b),所以我們可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原來的兩位數(shù)為45。3 【解】：周期性數(shù)字，每個(gè)數(shù)約分后為+=14 【解】：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數(shù)，而且是個(gè)偶數(shù)（乙+乙），這樣我們分解135=5×3×3×3，所以丙最小應(yīng)該是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。5 【解】：八進(jìn)制數(shù)是由除以8的余數(shù)得來的，不可能出現(xiàn)8，所以答案是D。希望考入重

3、點(diǎn)中學(xué)？奧數(shù)網(wǎng)是我們成就夢想的地方！第十講 小升初專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)論篇（一）一、小升初考試熱點(diǎn)及命題方向數(shù)論是歷年小升初的考試難點(diǎn)，各學(xué)校都把數(shù)論當(dāng)壓軸題處理。由于行程題的類型較多，題型多樣，變化眾多，所以對學(xué)生來說處理起來很頭疼。數(shù)論內(nèi)容包括：整數(shù)的整除性，同余,奇數(shù)與偶數(shù),質(zhì)數(shù)與合數(shù),約數(shù)與倍數(shù),整數(shù)的分解與分拆等。作為一個(gè)理論性比較強(qiáng)的專題，數(shù)論在各種杯賽中都會(huì)占不小的比重，而且數(shù)論還和數(shù)字謎,不定方程等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系,其重要性是不言而喻的。二、2007年考點(diǎn)預(yù)測2007年的小升初考試將繼續(xù)以填空和大題形式考查數(shù)論，命題的方向可能偏向小題考察單方面的知識(shí)點(diǎn)，大題則需綜合運(yùn)用數(shù)的整除，質(zhì)數(shù)

4、與合數(shù)，約數(shù)倍數(shù)以及整數(shù)的分拆等方法，希望同學(xué)們?nèi)嬲莆諗?shù)論的幾大知識(shí)點(diǎn)，能否在考試中取得高分解出數(shù)論的壓軸大題是關(guān)鍵。三、基本公式1）已知b|c,a|c,則a,b|c,特別地，若(a,b)=1,則有ab|c。講解練習(xí)：若3a75b能被72整除，問a=,b=.（迎春杯試題）2）已知c|ab，(b,c)=1,則c|a。3）唯一分解定理：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1× p2×.×pk（#)其中p1<p2<.<pk為質(zhì)數(shù)，a1,a2,.ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。該式稱為n的質(zhì)因子分解式。講解練習(xí)：連續(xù)3的自然樹

5、的積為210，求這三個(gè)數(shù)為.4）約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如（#）那么n的約數(shù)個(gè)數(shù)為d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）講解練習(xí)：1996不同的質(zhì)因數(shù)有個(gè)，它們的和是。（1996年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽）5) 用a,b表示a和b的最小公倍數(shù)，(a,b)表示a和b的最大公約數(shù)，那么有ab=a,b×(a,b)。講解練習(xí)：兩個(gè)數(shù)的積為2646，最小公倍數(shù)為126，問這兩個(gè)數(shù)的和為。（迎春杯刊賽第10題）6）自然數(shù)是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等數(shù)整除的判別方法

6、。講解練習(xí)：3aa1能被9整除，問a=.（美國長島數(shù)學(xué)競賽第三試第3題）7）平方數(shù)的總結(jié)： 小生初四個(gè)考點(diǎn)：1：平方差 A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。 講解練習(xí)：8-7+6-5+4-3+2-1=。 2：約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。 講解練習(xí)：1100中約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的所有數(shù)和為。 3：質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。 講解練習(xí)：a與45的乘積一個(gè)完全平方數(shù)，問a最小是。4:平方和。8）十進(jìn)制自然數(shù)表示法，十進(jìn)制和二進(jìn)制，八進(jìn)制，五進(jìn)制等的相互轉(zhuǎn)化。公式需牢記 做題有信心！ 9）周期性數(shù)字：abab=

7、ab×101講解練習(xí)：2005×20062006-2006×20052005=。四、典型例題解析1 數(shù)的整除【例1】（）將4個(gè)不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個(gè)不同的四位數(shù)（4×3×2×1=24）。將這24個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在3000-4000之間。請求出這24個(gè)四位數(shù)中最大的一個(gè)。【解】：不妨設(shè)這4個(gè)數(shù)字分別是a>b>c>d那么從小到大的第5個(gè)就是dacb,它是5的倍數(shù)，因此b=0或5，注意到b&g

8、t;c>d,所以b=5;從大到小排列的第2個(gè)是abdc,它是不能被4整除的偶數(shù)；所以c是偶數(shù)，cb=5，c=4或2從小到大的第二十個(gè)是adbc,第五個(gè)是dacb,它們的差在3000-4000之間，所以a=d+4；因?yàn)閍>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍數(shù)，和條件矛盾。因此d=3,從而a=d+4=3+4=7。這24個(gè)四位數(shù)中最大的一個(gè)顯然是abcd,我們求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以這24個(gè)四位數(shù)中最大的一個(gè)是7543?！纠?】（）一個(gè)5位數(shù)，它的各個(gè)位數(shù)字和為43，且能被11整除，求所有滿足條件的5

9、位數(shù)？思路：現(xiàn)在我們有兩個(gè)入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11整除性質(zhì)的運(yùn)用要具體的數(shù)字，而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手【解】：5位數(shù)數(shù)字和最大的為9×5=45，這樣43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979，97999，98989符合條件?！纠?】（）由1，3，4，5，7，8這六個(gè)數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？【解】：各位數(shù)字和為1+3+4+5+7+8=28所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為14為了使得該數(shù)最大，首位必須是8，第2位是7，14-8=6那么第3

10、位一定是5，第5位為1該數(shù)最大為875413。拓展：一個(gè)三位數(shù)，它由0，1，2，7，8組成，且它能被9整除，問滿足條件的總共有幾個(gè)？ 【例4】（）一個(gè)學(xué)校參加興趣活動(dòng)的學(xué)生不到100人，其中男同學(xué)人數(shù)超過總數(shù)的4/7 ，女同學(xué)的人數(shù)超過總數(shù)的2/5 。問男女生各多少人？ 【來源】：06年理工附入學(xué)測試題【解】：男生超過總數(shù)的4/7就是說女生少個(gè)總數(shù)的3/7，這樣女生的范圍在2/53/7之間，同理可得男生在4/73/5之間，這樣把分?jǐn)?shù)擴(kuò)大，我們可得女生人數(shù)在28/7030/70之間，所以只能是29人，這樣男生為41人。2 質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)） 【例5】（）2005×684×

11、;375×最后4位都是0,請問里最小是幾?【解】：先分析1×2×3×4××10的積的末尾共有多少個(gè)0。由于分解出2的個(gè)數(shù)比5多，這樣我們可以得出就看所有數(shù)字中能分解出多少個(gè)5這個(gè)質(zhì)因數(shù)。而能分解出5的一定是5的倍數(shù)。注意：5的倍數(shù)能分解一個(gè)5，25的倍數(shù)分解出2個(gè)5，125的倍數(shù)能分解出3個(gè)5最終轉(zhuǎn)化成計(jì)數(shù)問題，如5的倍數(shù)有10/5=2個(gè)。2005=5×401 684=2×2×171 375=3×5×5×5前三個(gè)數(shù)里有2個(gè)質(zhì)因子2，4個(gè)質(zhì)因子5，要使得乘積的最后4位都是0應(yīng)該

12、有4個(gè)質(zhì)因子2和4個(gè)質(zhì)因子5，還差2個(gè)質(zhì)因子。因此里最小是4。拓展：2005×684×375×最后4位都是0，且是7的倍數(shù)，問里最小是_【例6】（）03 年101中學(xué)招生人數(shù)是一個(gè)平方數(shù)，04年由于信息發(fā)布及時(shí)，04年的招生人數(shù)比03年多了101人，也是一個(gè)平方數(shù)，問04年的招生人數(shù)？【解】：看見兩個(gè)平方數(shù)，發(fā)現(xiàn)跟平方差相關(guān)，這樣我們大膽的設(shè)03年的為A，04年的為B，從中我們發(fā)現(xiàn)04年的比03年多101人，這樣我們可以列式子B- A=101此后思路要很順，因?yàn)榭匆娖椒讲钪挥幸环N方法那就是按公式展開，所以B- A=（A+B）（A-B）=101，可見右邊的數(shù)也要分成

13、2個(gè)數(shù)的積，還得考慮同奇偶性，但101是個(gè)質(zhì)數(shù)，所以101只能分成101×1，這樣A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人數(shù)為51×51=2601。拓展：一個(gè)數(shù)加上10，減去10都是平方數(shù)，問這個(gè)數(shù)為多少？（清華附中測試題）3 約數(shù)和倍數(shù)【例7】（）從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個(gè)邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷的重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？【解】：邊長是2002和847的最大公約數(shù)，可用輾轉(zhuǎn)相除法求得 （2002,847）

14、=77所以最后剪得的正方形的邊長是77毫米。輾轉(zhuǎn)相除示例：2002÷847=2308 求2個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，就用大數(shù)除以小數(shù)847÷308=2231 用上一個(gè)式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止308÷231=177 用上一個(gè)式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止231÷77=3 最后一個(gè)除盡的式子的除數(shù)就是兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)【例8】（）一根木棍長100米，現(xiàn)從左往右每6米畫一根標(biāo)記線，從右往左每5米作一根標(biāo)記線，請問所有的標(biāo)記線中有多少根距離相差4米？【解】：100能被5整除，所以每5米作標(biāo)記線從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都以從左往右作，可見轉(zhuǎn)化

15、成討論5，6的最小公倍數(shù)中的情況，畫圖可得有2根距離為4米，所以30，60，90里各有2條，但發(fā)現(xiàn)最后96和100也是距離4米，所以總共2×3+1=7。拓展：在一根長木棍上，有三種刻度線.第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段？【例9】（）1、2、3、42008這2008個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)等與多少個(gè)2與一個(gè)奇數(shù)的積？ 【解】：最小公倍數(shù)就是分解質(zhì)因數(shù)中共有的最多因數(shù)，這樣我們發(fā)現(xiàn)除2以外都是奇數(shù)質(zhì)因數(shù)，可見我們只要找需要多少個(gè)2，所以只要看12008中2n誰最大，可見210=1024，所以為

16、10 個(gè)2?！纠?0】（）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，它們是1號(hào)到15號(hào)。1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說“這個(gè)數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整除，1號(hào)作了一一驗(yàn)證，只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號(hào)寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個(gè)數(shù)。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號(hào)是2，3，4，5，6，7號(hào)的同學(xué)說的一定都對。不然，其中說的不對的編號(hào)乘以2后所有編號(hào)也將說得不對，這樣就與“只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合。因此，這個(gè)數(shù)能被2，

17、3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性質(zhì)可知，這個(gè)數(shù)也能被2×5，3×4，2×7都整除，即編號(hào)為10，12，14的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號(hào)只能是8和9。2）這個(gè)數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù)由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是60060因?yàn)?0060是一個(gè)五位數(shù)，而十二個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號(hào)同學(xué)寫的數(shù)就是60060。4 數(shù)論的綜合題型【例11】（）某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號(hào)分別是1，2，,12.他們的電話號(hào)碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號(hào)碼都能被這家的門牌號(hào)整除，已知這些電

18、話號(hào)碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號(hào)是9的這一家的電話號(hào)碼也能被13整除，問：這一家的電話號(hào)碼是什么數(shù)？【解】：設(shè)第一戶電話號(hào)是x+1,第二戶x+2,.第12戶電話號(hào)x+12根據(jù)條件得x+i是i的倍數(shù)(i=1,2,12)因此x是1，2，.12的公倍數(shù)1,2,.12=27720所以x=27720m27720m+9是13的倍數(shù)，27720除以13余數(shù)為4所以4m+9是13的倍數(shù)m=1,14,27.第一家電話號(hào)碼是27720m+1 m取14合適；因此第一家電話號(hào)碼是27720*14+1=388081拓展：寫出連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)，要求第1個(gè)是2的倍數(shù)，第二個(gè)是3的倍數(shù)第11個(gè)是12的倍數(shù)？【例12】（

19、）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，它們是1號(hào)到15號(hào)。1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說“這個(gè)數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整除，1號(hào)作了一一驗(yàn)證，只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號(hào)寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個(gè)數(shù)。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號(hào)是2，3，4，5，6，7號(hào)的同學(xué)說的一定都對。不然，其中說的不對的編號(hào)乘以2后所有編號(hào)也將說得不對，這樣就與“只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合。因此，這個(gè)數(shù)能被2，3，4，5，6，7都整除

20、。其次利用整除性質(zhì)可知，這個(gè)數(shù)也能被2×5，3×4，2×7都整除，即編號(hào)為10，12，14的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號(hào)只能是8和9。2）這個(gè)數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù)由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是60060因?yàn)?0060是一個(gè)五位數(shù)，而十二個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號(hào)同學(xué)寫的數(shù)就是60060。小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）數(shù)的整除。 參見例1，2，3，42）質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)）。參見例5，63）約數(shù)和倍數(shù)。 參見例7，8，9，104）數(shù)論的綜合題型。 參見例11，12【課外知識(shí)】打開

21、另一扇心窗很久以前，在意大利的龐貝古城里，一個(gè)普通人家出生了一個(gè)叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小雙目失明，但她并不怨天怨地，也沒有垂頭喪氣，反而熱愛生活，對生活充滿信心和希望。稍稍長大后，她像常人一樣勞動(dòng)，靠賣花自食其力。不久，維蘇威火山爆發(fā)，龐貝城面臨一次大的災(zāi)難，整座城市被籠罩在濃煙塵埃之中。濃密的火山灰，遮掩了太陽、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，驚慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人們好像生活在人間的地獄中。莉蒂雅雖然看不見，但這些年來，她走街串巷在城里賣花，對城市的各條道路了如指掌。她就靠自己的觸覺和聽覺找到了生路，不但救了自己的家人，還救了許多市民。 后來，莉蒂雅的事跡一直被后人

22、所傳頌，并出現(xiàn)在很多的文學(xué)作品中。 啟迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的殘疾反而成了她的財(cái)富。不要總以為自己是最倒霉的。其實(shí)，上蒼很公平。有時(shí)候，命運(yùn)向你關(guān)閉這一心窗的同時(shí)，又為你開啟了另一心窗，同樣可以享受人生的快樂作業(yè)題 （注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考）題1，4類型1；題2，6類型3；題3，5，8類型2；題7類型21（）在1100這100個(gè)自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？解：1+2+100=5050 9+18+27+99=9×(1+2+11)=495隨意1-100中所有不能被9整除的數(shù)的和是5050-495=45552（）某班學(xué)生不超過60人，在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中

23、，分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)占，得8089分的人數(shù)占，得7079分得人數(shù)占，那么得70分以下的有_人。解：有、，說明總?cè)藬?shù)一定為7的倍數(shù)、2的倍數(shù)、3的倍數(shù)，故為7、2、342的倍數(shù)；又由于人數(shù)不超過60人，故這班的人數(shù)只能為42人。從而70分以下的有：42×1人。3（）自然數(shù)N是一個(gè)兩位數(shù)，它是一個(gè)質(zhì)數(shù)，而且N的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有_個(gè)。解：枚舉法：23，37，53，73，有4個(gè)4. （）三個(gè)自然數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)都不能被另外兩個(gè)數(shù)整除，而其中任意兩個(gè)數(shù)的乘積卻能被第三個(gè)數(shù)整除，那么這樣的三個(gè)自然數(shù)的和的最小值是多少？解：這三個(gè)自然數(shù)最小是6，10，15（分別是2×3,2×5,3×5）和的最小值為31。5、（）五個(gè)連續(xù)偶數(shù)之和是完全平方數(shù)，中間三個(gè)偶數(shù)之和是立方數(shù)（即一個(gè)整數(shù)的三次方），這樣一組數(shù)中的最大數(shù)的最小值是多少？解：設(shè)中間一個(gè)數(shù)為