離心率及范圍專(zhuān)題

1、求解離心率范圍六法 在圓錐曲線(xiàn)的諸多性質(zhì)中，離心率經(jīng)常滲透在各類(lèi)題型中。離心率是描述圓錐曲線(xiàn)“扁平程度”或“張口大小”的一個(gè)重要數(shù)據(jù)，在每年的高考中它常與“定義”、“焦點(diǎn)三角形”等聯(lián)系在一起。因此求離心率的取值范圍，綜合性強(qiáng)，是解析幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。六種求解這類(lèi)問(wèn)題的通法。一、利用橢圓上一點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)的取值范圍，構(gòu)造關(guān)于a,b,c的不等式例1 若橢圓上存在一點(diǎn)P，使，其中0為原點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍。解：設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，則. 因?yàn)?，所以以O(shè)A為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以. 聯(lián)立、消去并整理得當(dāng)時(shí)，P與A重合，不合題意，舍去。所以又，所以，即 得，即又，故的取值范圍是

2、二、利用圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)和曲線(xiàn)上一點(diǎn)構(gòu)成的“焦三角形”三邊大小關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,b,c不等式例2 已知雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線(xiàn)為是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)，并且，由雙曲線(xiàn)第二定義得，所以. 由又曲線(xiàn)第一定義得 由-得在中，所以 ，即.又，從而解得的取值范圍是。三、利用圓錐曲線(xiàn)的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為F1、F2，問(wèn)當(dāng)離心率E在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上存在點(diǎn)P，使=120°.解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓的定義知.在中，由余弦定理得=（所以所以.又，故的取值范圍是四、利用圓錐曲線(xiàn)的定義，結(jié)合完全平方數(shù)（式）非負(fù)的屬性構(gòu)造關(guān)于a,b,c的不等式例4

3、如圖1，已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，以軸為準(zhǔn)線(xiàn)，且左頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，求橢圓離心率e的取值范圍。解：設(shè)橢圓的中心為，并延長(zhǎng)交軸于N，則=因?yàn)椋?。所以。所以橢圓離心率的取值范圍為。五、將題中已知不等關(guān)系巧妙轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的不等式例5 如圖2，已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1、F2，斜率為K的直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)F2，與橢圓交于A、B，與Y軸交于C，B為CF2的中點(diǎn)，若，求橢圓離心率e的取值范圍。 解：設(shè)F2 (C,0),直線(xiàn)則，代入橢圓方程得.又所以，所以，解得 因?yàn)椋越獾?，所以六、利用圓錐曲線(xiàn)參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，結(jié)合正余弦函數(shù)的有界性，構(gòu)造關(guān)于a,b,c的不等式例6 若橢圓上存在一點(diǎn)P，使，其中O為原點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍。解：設(shè)P（），由，得，即（ 解得當(dāng)因此要使有解，需，即.又，故e的取值范圍是總之，求圓錐曲線(xiàn)的離心率范圍首先從定義出發(fā)，利用圓錐曲線(xiàn)上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍和焦三角形的三邊大小 關(guān)系，結(jié)合參數(shù)方程中三角函數(shù)有界性