第三章數(shù)值積分和數(shù)值微分

1、第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分3.1 Newton-Cotes3.1 Newton-Cotes求積公式求積公式總結(jié)總結(jié)3.1.3 Newton-Cotes公式的誤差分析公式的誤差分析3.1.2 Newton-Cotes求積公式求積公式3.1.1 插值型求積法插值型求積法第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分第第 三三 章章 數(shù)數(shù) 值值 積積 分分 和和 數(shù)數(shù) 值值 微微 分分學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解求積公式及代數(shù)精度概念，掌握確理解求積公式及代數(shù)精度概念，掌握確定求積公式的代數(shù)精度的方法，掌握定求積公式的代數(shù)精度的方法，掌握 Newton-Cotes Newton-Cotes 求積公式、求積公式、Romber

2、gRomberg算法算法及及GaussGauss求積公式的構(gòu)造技術(shù)、特點(diǎn)及求積公式的構(gòu)造技術(shù)、特點(diǎn)及余項(xiàng)形式。掌握復(fù)化梯形求積公式、復(fù)余項(xiàng)形式。掌握復(fù)化梯形求積公式、復(fù)化化SimpsonSimpson求積公式的構(gòu)造技術(shù)及余項(xiàng)求積公式的構(gòu)造技術(shù)及余項(xiàng)形式。了解上述求積公式的適用類型并形式。了解上述求積公式的適用類型并會(huì)熟練使用這些公式做數(shù)值積分。了解會(huì)熟練使用這些公式做數(shù)值積分。了解數(shù)值微分法及數(shù)值微分法及 Richardson Richardson 加速技術(shù)，加速技術(shù)，了解了解Newton-CotesNewton-Cotes求積公式、求積公式、Gauss Gauss 求求積公式的穩(wěn)定性問(wèn)題。積

3、公式的穩(wěn)定性問(wèn)題。第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分一、數(shù)值求積的基本思想一、數(shù)值求積的基本思想)()()(aFbFdxxfba 積分積分 只要找到被積函數(shù)只要找到被積函數(shù) f (x)原函數(shù)原函數(shù)F(x)，便有，便有牛頓牛頓萊布尼茲萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式公式 baxxfId)(實(shí)際困難實(shí)際困難：大量的被積函數(shù)（：大量的被積函數(shù)（ , sin x2 等）等）, 找不到用初等函找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)數(shù)表示的原函數(shù)；另外；另外, f (x)是（測(cè)量或數(shù)值計(jì)算出的）一張數(shù)是（測(cè)量或數(shù)值計(jì)算出的）一張數(shù)據(jù)表時(shí)，據(jù)表時(shí)，牛頓牛頓萊布尼茲公式也不能直接運(yùn)用。萊布尼茲公式也不能直接運(yùn)用。xx

4、sin前言前言 例如，一塊鋁合金的橫斷面為正弦波，要求原材料鋁合金板例如，一塊鋁合金的橫斷面為正弦波，要求原材料鋁合金板的長(zhǎng)度。也就是的長(zhǎng)度。也就是f (x)=sinx 從從x=0到到x=b的曲線弧長(zhǎng)的曲線弧長(zhǎng)L，可用積分表示可用積分表示為為第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 dxxdxxLbbf0202cos11這是一個(gè)橢圓積分計(jì)算問(wèn)題。這是一個(gè)橢圓積分計(jì)算問(wèn)題。 衛(wèi)星軌道的計(jì)算也一個(gè)橢圓積分計(jì)算問(wèn)題。找不到被積衛(wèi)星軌道的計(jì)算也一個(gè)橢圓積分計(jì)算問(wèn)題。找不到被積函數(shù)的原函數(shù)。然而，用數(shù)值分析中的數(shù)值積分方法計(jì)算，函數(shù)的原函數(shù)。然而，用數(shù)值分析中的數(shù)值積分方法計(jì)算，并不是很難的計(jì)算問(wèn)題。并不是很難的計(jì)算

5、問(wèn)題。第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分本章討論常用的數(shù)值求積公式及它們的誤差估計(jì)和代數(shù)本章討論常用的數(shù)值求積公式及它們的誤差估計(jì)和代數(shù)精度，而對(duì)數(shù)值微分只作簡(jiǎn)單介紹。精度，而對(duì)數(shù)值微分只作簡(jiǎn)單介紹。 積分中值定理：在積分中值定理：在a, b內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn) ，有，有 f( )成立。成立。 )(d)(abxxfba 就是說(shuō)就是說(shuō), 底為底為b- -a 而高為而高為f( )的的矩形面積矩形面積恰等恰等于所求于所求曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 .問(wèn)題問(wèn)題 在于點(diǎn)在于點(diǎn) 的具體位置一般是不知道的，因而的具體位置一般是不知道的，因而 難以準(zhǔn)確算出難以準(zhǔn)確算出 f( )的的值值我們將我們將f ( )稱為區(qū)間

6、稱為區(qū)間a, b上的平均高度這樣上的平均高度這樣,只要對(duì)只要對(duì)平均高度平均高度f(wàn)( )提供一種算法提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 如果用兩端點(diǎn)的如果用兩端點(diǎn)的“高度高度”f(a)與與f(b)的算術(shù)平均作為平均高度的算術(shù)平均作為平均高度f(wàn) ( ) 的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式 : 便是我們所熟悉的便是我們所熟悉的梯形公式梯形公式 . )()(2bfafabT 2)(bafabR2bac 而如果改用區(qū)間中點(diǎn)而如果改用區(qū)間中點(diǎn) 的的“高度高度”f (c)近似地取代平近似地取代平均高度均高度f(wàn) ( )，則又可

7、導(dǎo)出所謂，則又可導(dǎo)出所謂中矩形公式中矩形公式(今后簡(jiǎn)稱矩形公式今后簡(jiǎn)稱矩形公式)：(1.1)(1.2)第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分3.1 Newton-Cotes求積分式求積分式3.1.1 插值型求積法插值型求積法近似近似計(jì)算計(jì)算 badxxfI)(思思路路利用利用插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 則積分易算。則積分易算。)()(xfxPn bandxxP)(關(guān)鍵是關(guān)鍵是f(x)第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0A

8、k bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 決定，決定，與與 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) f (x)插值型積分公式插值型積分公式第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分)()(0knkkbaxfAdxxffI（3.1.1) 稱由稱由(3.1.2)給出求積系數(shù)的公式給出求積系數(shù)的公式(3.1.1)為為插值型求積公式插值型求積公式。利用利用Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)可知插值型求積公式的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)可知插值型求積公式的余項(xiàng)為其中求積系數(shù)其中求積系數(shù)nkdxbakklA, 1 ,0,(3.1.2) 0(1)110 ( )() ( )( )( )()1()( )(1)!1 !nbbbnkknnaaakn

9、nbbnxknaakR fIIf x dxA f xf xL x dxR x dxfxxdxfx dxnn 其中其中 與變量與變量x有關(guān)。由此可知，對(duì)于次數(shù)小于或等于有關(guān)。由此可知，對(duì)于次數(shù)小于或等于n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式發(fā)發(fā)f(x) ，其余項(xiàng)，其余項(xiàng) 。 0nRf 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分解：解： 因要求所構(gòu)造的求積公式是插值型的，故其求積系數(shù)可表因要求所構(gòu)造的求積公式是插值型的，故其求積系數(shù)可表示為示為 101011101000214321)(214321)(dxxdxxdxxdxxlAlA)43()41(21)(10ffdxxf 若若 在在0，1上存在，則該求積公式的余項(xiàng)為上存在，則該求積

10、公式的余項(xiàng)為)( xf故求積公式為故求積公式為 例例3.1 給定求積節(jié)點(diǎn)給定求積節(jié)點(diǎn) 試推出計(jì)算積分試推出計(jì)算積分 的插值型求積公式，并寫出它的余項(xiàng)。的插值型求積公式，并寫出它的余項(xiàng)。dxxf 10)(01 =1 4 , 3 4 xx dxxxffR 10)43)(41)(21 其中其中屬于（屬于（0，1）并依賴于）并依賴于x。第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 數(shù)值求積方法是近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積數(shù)值求積方法是近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對(duì)公式能對(duì)“盡可能多盡可能多”的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念度的概念 定義

11、定義3.1 如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于立，但對(duì)于m+1次多項(xiàng)式就不一定準(zhǔn)確，則稱該求積公式具有次多項(xiàng)式就不一定準(zhǔn)確，則稱該求積公式具有m次代次代數(shù)精度數(shù)精度 一般地，欲使求積公式一般地，欲使求積公式 具有具有m次代數(shù)次代數(shù)精度，只要令它對(duì)于精度，只要令它對(duì)于f (x) = 1，x，xm 都能準(zhǔn)確成立，這就要求都能準(zhǔn)確成立，這就要求 bankkkxfAxxf0)(d)( . )(11;)(21;1122mmmkkkkkabmxAabxAabA第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分如果求積公式是插值型的如果求積公式是插值型的, 按余項(xiàng)式

12、按余項(xiàng)式, 對(duì)于次數(shù)對(duì)于次數(shù) n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 f (x)，其余項(xiàng)其余項(xiàng)R f 等于等于0，因而這時(shí)求積公式至少具有，因而這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度定理定理1：形如形如 的求積公式至少有的求積公式至少有 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 該該公式為公式為插值型插值型（即：（即： ） nkkkxfA0)( bakkdxxlA)(為便于計(jì)算，一般取為便于計(jì)算，一般取等距離節(jié)點(diǎn)等距離節(jié)點(diǎn)得到近似公式得到近似公式:1、 對(duì)于對(duì)于a, b上上1次插值，有次插值，有)()()(1bfafxLabaxbabx )()()(2221bfafdxxfAAabbaab 此即此即梯形公式梯形公式。第三章

13、數(shù)值積分與數(shù)值微分3.1.2 Newton-Cotes求積公式求積公式 將積分區(qū)間將積分區(qū)間a，b劃分為劃分為n等分，步長(zhǎng)等分，步長(zhǎng)h=（b-a）/n，節(jié)，節(jié)點(diǎn)點(diǎn) 插值型求積公式插值型求積公式(3.1.1)可以寫可以寫成成其中其中 (3.1.4)公式公式(3.1.3)稱為稱為n 階階Newton-Cotes求積公式求積公式,稱稱 為為Cotes系數(shù)系數(shù)., 1 , 0,nkkhaxk , )()(0)(nkknknxcIfabffIbaknkdxxablc)(1)(cnk)(3.1.3) 利用節(jié)點(diǎn)的等分性利用節(jié)點(diǎn)的等分性,可以把可以把Cotes系數(shù)的表達(dá)式化簡(jiǎn)系數(shù)的表達(dá)式化簡(jiǎn).作變化作變化x=

14、a+th,則有則有dtjtnknkdtjkjtabhnkjjknnnkjjnkc 10000)(1)!(!)1(3.1.5)第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 利用節(jié)點(diǎn)的等分性利用節(jié)點(diǎn)的等分性,可以把可以把Cotes系數(shù)的表達(dá)式化簡(jiǎn)系數(shù)的表達(dá)式化簡(jiǎn).作變化作變化x=a+th,則有則有dtjtnknkdtjkjtabhnkjjknnnkjjnkc 10000)(1)!(!)1( 可見(jiàn)可見(jiàn), 系數(shù)不但與被積函數(shù)無(wú)關(guān)系數(shù)不但與被積函數(shù)無(wú)關(guān),而且與積分區(qū)間也無(wú)關(guān)而且與積分區(qū)間也無(wú)關(guān),并并且且,由由(3.1.5)可知可知, 利用利用(3.1.5)求出的部分求出的部分Cotes系數(shù)見(jiàn)表系數(shù)見(jiàn)表3-k)(., 1

15、, 0,)()(nkccknknk第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分表表 3-1n121/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/8407751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803577/17280751/172808989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/283501

16、0496/28350-928/283505888/28350989/28350第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),Cotes系數(shù)為系數(shù)為求積分式化為求積分式化為此公式稱為此公式稱為梯形公式梯形公式。., 2/1)1(1)1(0 cc).()(2)(bfafabdxxfba (3.1.6)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),Cotes系數(shù)為系數(shù)為61,64,612221)2(0 ccc求積公式為求積公式為此公式稱為此公式稱為Simpson公式公式。(3.1.7) babfbafafabdxxf)()2(4)(6)(第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 例例3.2用用Newton-Cotes公式計(jì)算積分公式計(jì)算積分 的的

17、近似值近似值4/0221sinxdx 解解 利用公式（利用公式（3.1.3），計(jì)算結(jié)果列于表），計(jì)算結(jié)果列于表3-2，其中誤差采用積，其中誤差采用積分精確值減去用分精確值減去用Newton-Cotes公式的計(jì)算值。公式的計(jì)算值。表表3-20.000017480.2929107030.015213030.2776801810.29293264計(jì)算值計(jì)算值0.00003942誤差誤差2n第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分3.1.3 Newton-Cotes公式的誤差分析公式的誤差分析定理定理 3.1 設(shè)設(shè) ，則對(duì)梯形公式，則對(duì)梯形公式(3.1.6)有有 (3.1.8) ,2baxfc bafabfIfIf

18、R,),(1211 證證 設(shè)設(shè) 是是f(x)以以 為節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式,那么有那么有)(1xLbaxx 10, xfxxfxxxxLR 21011,)()()( 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分兩邊積分的梯形公式的誤差兩邊積分的梯形公式的誤差由于由于 在在a,b上不變號(hào)上不變號(hào), 故故 在在a,b上是連續(xù)的上是連續(xù)的.由于積分中值定理得由于積分中值定理得 由此即得由此即得(3.1.8). )(2bxaxx ,2baxfc xxxf,10 10123(),11( )() ,.26baffx dxfbaa bx xR 1012( ),baffxx x xR第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微

19、分定理定理 3.2 設(shè)設(shè) ，則對(duì)，則對(duì)Simpson公式公式(3.1.7)有有 (3.1.9),)(4bacxf bafabffIxIR,2901)(4522 證證 設(shè)設(shè) 是是f(x)以以 為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式二次插值多項(xiàng)式,那么有那么有 xL2bbaaxxx210, 2/)(, xfxxfxxxxLR 31022,)()()( 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1x由于由于 在在 處變號(hào)處變號(hào),因此上式不能直接因此上式不能直接利用積分中值定理利用積分中值定理.為此為此,令令則有則有 xxxxxxx2103)( ,)(3dttxxa ., 0, 0)(20baxbaxx 由分部積分得由分部積

20、分得 dxxxffbaxxxR 2102, .,)(, )(|,210210210dxxfxdxxfxxfxxxxxxxxxxbababa 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 由于由于 ,故故 對(duì)對(duì) 是連續(xù)的是連續(xù)的.由于積分中值定理得由于積分中值定理得 baxfc,)(4 ,210 xfxxxbax, .,2154)(241,5)4(2102baabdxxfffxxxRba由此即得由此即得(3.1.9). 由由(3.1.8)可見(jiàn)可見(jiàn),梯形公式的代數(shù)精度為梯形公式的代數(shù)精度為1.而而(3.1.9)表明表明,Simpson公式公式的代數(shù)精度是的代數(shù)精度是3.更一般地更一般地,我們有下述論斷我們有下述論斷

21、.第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 定理定理 3.3 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),n階階Newton-Cotes公式公式(3.1.3)至少有至少有n+1次次 代數(shù)精度代數(shù)精度. 證證 我們只要驗(yàn)證當(dāng)我們只要驗(yàn)證當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes對(duì)對(duì) 的的余項(xiàng)為零余項(xiàng)為零.此時(shí)此時(shí),由于由于 我們有我們有 xnxf1 ,)!1()()1( nxfn dtjtdxxfnnjnbannhR 0021)()(這里這里,x=a+th.再令再令t=u+n/2,進(jìn)一步有進(jìn)一步有 dujnufnnnjnnhR2/2/02)2/(顯然顯然,被積函數(shù)被積函數(shù) 是個(gè)奇函數(shù)是個(gè)奇函數(shù),因此因此2/2/0)()2/(nnjnjjujnu第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分下面我們討論下面我們討論Newton-Cotes公式的計(jì)算穩(wěn)定性問(wèn)題公式的計(jì)算穩(wěn)定性問(wèn)題在在Newton-Cotes公式中公式中,取取f(x)=1,此時(shí)并且有此時(shí)并且有 一般地一般地,假定初始數(shù)據(jù)假定初始數(shù)據(jù) 有舍入誤差有舍入誤差,設(shè)設(shè)反映在計(jì)算中有反映在計(jì)算中有)(xkf.,1 ,0),(*)(nkxffkkx .*0)(0)(xcxcknknknkknkff ,0 fRn10 nknkc(3.1.10)若記若記 ,則有則有| )(*)(|max0kknkxfxf nknknkkn