2015上海市黃浦區(qū)高二上期末數(shù)學(xué)試卷

1、2015-2016學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿(mǎn)分48分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律得零分.1橢圓x2+4y2=100的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2已知直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是，則直線(xiàn)l的傾斜角為3已知二元一次方程組的增廣矩陣是，則此方程組的解是4行列式中3的代數(shù)余子式的值為5已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（4，1），C（3，6），則AC邊上的中線(xiàn)BM所在直線(xiàn)的方程為6已知直線(xiàn)l1的方程為3xy+1=0，直線(xiàn)l2的方程為2x+y3=0，則兩直線(xiàn)l1與l2的夾角是7用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+n（nN*，n1）”時(shí)

2、，由n=k（k1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入p的值是6，則輸出S的值是9若圓C的方程為x2+y22ax1=0，且A（1，2），B（2，1）兩點(diǎn)中的一點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，另一點(diǎn)在圓C的外部，則a的取值范圍是10若，且存在，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是11已知直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)P（1，4）且與x軸交于A點(diǎn)，直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)Q（3，1）且與y軸交于B點(diǎn)，若l1l2，且，則點(diǎn)M的軌跡方程為12如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P是以點(diǎn)C為圓心、3為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是二、選擇題（本大題滿(mǎn)分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在

3、答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得4分，否則一律得零分.13點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線(xiàn)x+y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A（1b，1a）B（1a，1b）C（a，b）D（b，a）14若位于x軸上方、且到點(diǎn)A（2，0）和B（2，0）的距離的平方和為18的點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則“”是“點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D既非充分又非必要條件15在圓x2+y22x6y=15內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則|AC|BD|的值為（）ABCD16對(duì)數(shù)列an，bn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1，bn+1an，bn且，則

4、稱(chēng)a1，b1，a2，b2，為區(qū)間套下列選項(xiàng)中，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（）ABCD三、解答題（本大題滿(mǎn)分56分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.17已知兩直線(xiàn)l1：x+（m+1）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線(xiàn)l1與l2垂直；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，直線(xiàn)l1與l2平行18在直角ABC中，C是直角，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，4），（2，4），圓E是ABC的外接圓（1）求圓E的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)M（4，10）且與圓E相切的直線(xiàn)的方程19已知是不平行的兩個(gè)向量，k是實(shí)數(shù)，且（1）用表示；（2）若，記，求f（k）及其最小值20在數(shù)列

5、an中，且對(duì)任意nN*，都有（1）計(jì)算a2，a3，a4，由此推測(cè)an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，求無(wú)窮數(shù)列bn的各項(xiàng)之和與最大項(xiàng)21已知點(diǎn)P是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PO（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）到Q，使得|OQ|=2|OP|，點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)C2（1）求曲線(xiàn)C2的方程；（2）若點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是曲線(xiàn)C1的左、右焦點(diǎn)，求的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)P且不垂直x軸的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C2交于M，N兩點(diǎn)，求QMN面積的最大值2015-2016學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題滿(mǎn)分48分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一

6、律得零分.1橢圓x2+4y2=100的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20【解答】解：橢圓x2+4y2=100化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得：=1，a=10，b=5，橢圓x2+4y2=100的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=20故答案為：202已知直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是，則直線(xiàn)l的傾斜角為【解答】解：設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為，0，），則tan=，=故答案為：3已知二元一次方程組的增廣矩陣是，則此方程組的解是【解答】解：由題意，方程組解之得故答案為4行列式中3的代數(shù)余子式的值為5【解答】解：由題意，行列式中3的代數(shù)余子式為=（3+2）=5故答案為：55已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（4，1），C（3，6），則AC邊上的中線(xiàn)BM所在直線(xiàn)的方

7、程為3x2y+2=0【解答】解：AC的中點(diǎn)M（2，4），AC邊上的中線(xiàn)BM所在的直線(xiàn)方程為：=，整理，得3x2y+2=0，故答案為：3x2y+2=06已知直線(xiàn)l1的方程為3xy+1=0，直線(xiàn)l2的方程為2x+y3=0，則兩直線(xiàn)l1與l2的夾角是【解答】解：設(shè)直線(xiàn)l1與l2的夾角的大小為，則0，），由題意可得直線(xiàn)l1的斜率為3，直線(xiàn)l2的斜率為2，tan=|=1，解得=，故答案為：7用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+n（nN*，n1）”時(shí)，由n=k（k1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是2k【解答】解：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1，末項(xiàng)為；由n=k，末項(xiàng)為到n=k+1，末項(xiàng)為 ，應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為

8、2k故答案為2k8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入p的值是6，則輸出S的值是【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，S=0+21=；當(dāng)n=2時(shí)，S=+22=；當(dāng)n=3時(shí)，S=+23=；當(dāng)n=4時(shí)，S=+24=；當(dāng)n=5時(shí)，S=+25=；當(dāng)n=6時(shí)，退出循環(huán)，則輸出的S為：故答案為：9若圓C的方程為x2+y22ax1=0，且A（1，2），B（2，1）兩點(diǎn)中的一點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，另一點(diǎn)在圓C的外部，則a的取值范圍是（，2）（1，+）【解答】解：（1）若A在圓內(nèi)部，B在圓外部，則，解得a2（2）若B在圓內(nèi)部，A在圓外部，則，解得a1綜上，a的取值范圍是（，2）（1，+）故答案為（，2）（1，+）10若，且存在，則實(shí)數(shù)a

9、的取值范圍是1a2【解答】解：，=，11，解得4a2；又存在，11，解得1a3；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1a2故答案為：1a211已知直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)P（1，4）且與x軸交于A點(diǎn)，直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)Q（3，1）且與y軸交于B點(diǎn)，若l1l2，且，則點(diǎn)M的軌跡方程為9x+6y+1=0【解答】解：設(shè)M（x，y），（1）若l1不存在斜率，則：l1垂直x軸，l2垂直y軸；A（1，0），B（0，1）；由得，（x1，y）=2（x，1y）；即；（2）若l1斜率為k，l2斜率為，則：l1：y4=k（x1），令y=0，x=；l2：，令x=0，y=；由得，；消去k并整理得：9x+6y+1=0；點(diǎn)滿(mǎn)足方程9x+6y+1=0；綜

10、（1）（2）知，點(diǎn)M的軌跡方程為9x+6y+1=0故答案為：9x+6y+1=012如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P是以點(diǎn)C為圓心、3為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是20，4【解答】解：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于AB的直線(xiàn)為x軸，垂直于AB的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：；點(diǎn)P是以點(diǎn)C為圓心、3為半徑的圓上的任意一點(diǎn)；設(shè)P（3cos，3sin）；1cos1；2012cos84；的取值范圍為20，4故答案為：20，4二、選擇題（本大題滿(mǎn)分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得4分，否則一律得零分.13

11、點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線(xiàn)x+y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A（1b，1a）B（1a，1b）C（a，b）D（b，a）【解答】解：點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線(xiàn)x+y=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（x，y），則，解得：，故選：A14若位于x軸上方、且到點(diǎn)A（2，0）和B（2，0）的距離的平方和為18的點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則“”是“點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D既非充分又非必要條件【解答】解：由題意可得：（a+2）2+b2+（a2）2+b2=18，化為a2+b2=5，（b0）“點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上”“”，反之也成立“”是“點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上”的充要條件故選：C15在圓x2+y22

12、x6y=15內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則|AC|BD|的值為（）ABCD【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x1）2+（y3）2=25，則圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑為5，根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖所示：由圖象可知：過(guò)點(diǎn)E最長(zhǎng)的弦為直徑AC，最短的弦為過(guò)E與直徑AC垂直的弦，則AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|BD|=104=40故選：C16對(duì)數(shù)列an，bn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1，bn+1an，bn且，則稱(chēng)a1，b1，a2，b2，為區(qū)間套下列選項(xiàng)中，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（）ABCD【解答】解：對(duì)于A，（bnan）=21=

13、10，故不構(gòu)成區(qū)間套；對(duì)于B，當(dāng)n=1時(shí)，a1，b1=，a2，b2=，顯然不滿(mǎn)足a2，b2a1，b1，故不構(gòu)成區(qū)間套；對(duì)于C，當(dāng)n=1時(shí)，a1，b1=，a2，b2=，顯然不滿(mǎn)足a2，b2a1，b1，故不構(gòu)成區(qū)間套對(duì)于D，由1（）n1（）n+11+（）n+11+（）n，滿(mǎn)足an+1，bn+1an，bn；又（bnan）=1（）n1+（）n=11=0，故構(gòu)成區(qū)間套故選：D三、解答題（本大題滿(mǎn)分56分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.17已知兩直線(xiàn)l1：x+（m+1）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線(xiàn)l1與l2垂直；（2）當(dāng)m為何

14、值時(shí)，直線(xiàn)l1與l2平行【解答】解：（1）兩條直線(xiàn)l1：x+（1+m）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0，由兩直線(xiàn)垂直的充要條件可得 A1A2+B1B2=0，即 1×m+（1+m）2=0，解得m=（2）由兩直線(xiàn)平行的充要條件可得=，即=，解得：m=118在直角ABC中，C是直角，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，4），（2，4），圓E是ABC的外接圓（1）求圓E的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)M（4，10）且與圓E相切的直線(xiàn)的方程【解答】解：（1）在直角ABC中，C是直角，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，4），（2，4），AB是直徑，則AB的中點(diǎn)（1，0），即圓心E（1，0），半徑R=|BE|=5，則

15、圓E的方程為（x+1）2+y2=25（2）（4+1）2+102=12525，點(diǎn)M在圓外，當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線(xiàn)方程為x=4，到圓心的距離d=4（1）=5此時(shí)滿(mǎn)足直線(xiàn)和圓相切，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線(xiàn)方程為y10=k（x4），即kxy+104k=0，則圓心到直線(xiàn)的距離d=5，即|2k|=，平方得44k+k2=1+k2，即4k=3，則k=，此時(shí)切線(xiàn)方程為3x4y+28=0，綜上求過(guò)點(diǎn)M（4，10）且與圓E相切的直線(xiàn)的方程為3x4y+28=0或x=419已知是不平行的兩個(gè)向量，k是實(shí)數(shù)，且（1）用表示；（2）若，記，求f（k）及其最小值【解答】解：（1）=k+=k（）+=（1k）+k（

16、2）=2×=1|2=（1k）+k2=4（1k）2+k22k（1k）=7k210k+4=7（k）2+f（k）=f（k）的最小值為=20在數(shù)列an中，且對(duì)任意nN*，都有（1）計(jì)算a2，a3，a4，由此推測(cè)an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，求無(wú)窮數(shù)列bn的各項(xiàng)之和與最大項(xiàng)【解答】解：（1），且對(duì)任意nN*，都有a2=，a3=，a4=由此推測(cè)an的通項(xiàng)公式，an=下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=成立；假設(shè)當(dāng)n=kN*時(shí)，ak=則n=k+1時(shí)，ak+1=，因此當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，綜上：nN*，an=成立（2），bn=（2）n=+9，無(wú)窮數(shù)列bn的各項(xiàng)之和Tn=+=+當(dāng)

17、n=2k（kN*）時(shí)，Tn=+，Tn單調(diào)遞減，因此當(dāng)n=2時(shí)，取得最大值T2=當(dāng)n=2k1（kN*）時(shí)，Tn=×，Tn單調(diào)遞增，且Tn0綜上可得：Tn的最大項(xiàng)為T(mén)2=21已知點(diǎn)P是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PO（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）到Q，使得|OQ|=2|OP|，點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)C2（1）求曲線(xiàn)C2的方程；（2）若點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是曲線(xiàn)C1的左、右焦點(diǎn)，求的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)P且不垂直x軸的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C2交于M，N兩點(diǎn)，求QMN面積的最大值【解答】解：（1）設(shè)Q（x，y），P（x，y），=2，（x，y）=2（x，y），可得，代入+（y）2=1，可得+=1，曲線(xiàn)C2的方程為+=1（2）F1（，0），F(xiàn)2（，0）設(shè)P（2cos，sin），則Q（4cos，2sin）則=（2cos+，sin）（4cos，2sin）=（2cos+）（4cos）+sin（2sin）=6，cos1，1，（3）設(shè)P（2cos，sin）