彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)模型

1、.自動控制原理綜合訓(xùn)練項(xiàng)目題目：關(guān)于MSD 系統(tǒng)控制的設(shè)計(jì).目錄1 設(shè)計(jì)任務(wù)及要求分析31.1 初始條件31.2 要求完成的任務(wù)31.3 任務(wù)分析42 系統(tǒng)分析及傳遞函數(shù)求解42.1 系統(tǒng)受力分析42.2 傳遞函數(shù)求解92.3 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的求解103.用 MATLAB 對系統(tǒng)作開環(huán)頻域分析113.1 開環(huán)系統(tǒng)波特圖113.2 開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖及穩(wěn)定性判斷134.系統(tǒng)開環(huán)頻率特性各項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算16總結(jié)18參考文獻(xiàn)19.彈簧 - 質(zhì)量 - 阻尼器系統(tǒng)建模與頻率特性分析1 設(shè)計(jì)任務(wù)及要求分析1.1 初始條件已知機(jī)械系統(tǒng)如圖。b2k1ypk 2mx圖 1.1 機(jī)械系統(tǒng)圖1.2 要求完成的任務(wù)（

2、 1） 推導(dǎo)傳遞函數(shù) Y (s) / X (s) ， X (s) / P( s) ，.（ 2） 給定 m0.2g,b20.6N ? s/ m, k18N / m, k25N / m ，以 p 為輸入u(t )（ 3） 用 Matlab 畫出開環(huán)系統(tǒng)的波特圖和奈奎斯特圖， 并用奈奎斯特判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（ 4） 求出開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率、相角裕度和幅值裕度。（ 5） 對上述任務(wù)寫出完整的課程設(shè)計(jì)說明書，說明書中必須進(jìn)行原理分析，寫清楚分析計(jì)算的過程及其比較分析的結(jié)果，并包含Matlab 源程序或 Simulink 仿真模型，說明書的格式按照教務(wù)處標(biāo)準(zhǔn)書寫。1.3 任務(wù)分析由初始條件和要求完成的

3、主要任務(wù)，首先對給出的機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，列出相關(guān)的微分方程， 對微分方程做拉普拉斯變換， 將初始條件中給定的數(shù)據(jù)代入，即可得出 Y( s) / X (s) ， X (s) / P(s) 兩個傳遞函數(shù)。由于本系統(tǒng)是一個單位負(fù)反饋系統(tǒng)，故求出的傳遞函數(shù)即為開環(huán)傳函。后在MATLAB 中畫出開環(huán)波特圖和奈奎斯特圖， 由波特圖分析系統(tǒng)的頻率特性，并根據(jù)奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)位于右半平面的極點(diǎn)數(shù)， 由此可以分析出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后再計(jì)算出系統(tǒng)的截止頻率、相角裕度和幅值裕度，并進(jìn)一步分析其穩(wěn)定性能。2 系統(tǒng)分析及傳遞函數(shù)求解2.1 系統(tǒng)受力分析單自由度有阻尼振系的力學(xué)模型如圖2-1 所示，包括彈簧、

4、質(zhì)量及阻尼器。以物體的平衡位置0 為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)軸x。則物體運(yùn)動微分方程為mx cx kx（2-1 ）.式中：cx 為阻尼力，負(fù)號表示阻尼力方向與速度方向相反。圖2-1將上式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，為mxcxkx0(2-2 ）令 p2 = k , 2nc , 則上式可簡化為mmx2nxp 20(2-3)這就是有阻尼自由振動微分方程。它的解可取x est，其中s 是待定常數(shù)。代入（ 2-1 ）式得 (s22nsp 2 )est0 ，要使所有時間內(nèi)上式都能滿足，必須 s22ns p 20 ，此即微分方程的特征方程，其解為s1,2nn2p2（2-4 ）于是微分方程（ 2-1 ）的通解為2222xc1es

5、1tc2es2te nt (c1 e np tc2 enp t )（ 2-5 ）式中待定常數(shù) c1 與 c2 決定與振動的初始條件。振動系統(tǒng)的性質(zhì)決定于根式n2p2是實(shí)數(shù)、零、還是虛數(shù)。對應(yīng)的根s 與 s可以是不相等的負(fù)實(shí)根、相12等的負(fù)實(shí)根或復(fù)根。若 s與 s 為等根時，此時的阻尼系數(shù)值稱之為臨界阻尼系數(shù)，12記為 cc，即 cc2mp 。引進(jìn)一個無量綱的量，稱為相對阻尼系數(shù)或阻尼比。n / pc / 2mp c / cc（2-6 ）當(dāng) n>p 或>1, 根式 n2p 2 是實(shí)數(shù)，稱為過阻尼狀態(tài)，.當(dāng) n<p 或<1 ，根式n2p 2 是虛數(shù)，稱為弱阻尼狀態(tài)，當(dāng)n p

6、，即1，稱為臨界阻尼狀態(tài)。現(xiàn)分別討論三種狀態(tài)下的運(yùn)動特性。1.過阻尼狀態(tài)此時 >1 ，即 n2p2<n ，（b）式中 s及 s均為負(fù)值，則 es1t及 es2t是兩根12下降的指數(shù)曲線，故（2-2 ）式所表示的是兩條指數(shù)曲線之和，仍按指數(shù)衰減，不是振動。圖 3-2 所示為 c>c ,c <0 時的情況。圖 2-21212.臨界阻尼狀態(tài)此時1，（ b）式中 s1 s2 n p ，特征方程的根是重根， 方程（2-1 ）的另一解將為 te pt ，故微分方程（ 2-1 ）的通解為x（ c1c2t ）ept（2-7 ）式中等號右邊第一項(xiàng)c1e pt 是一根下降的指數(shù)曲線，第二項(xiàng)

7、則可應(yīng)用麥克勞林級數(shù)展開成以下形式：c2te ptc2c2/ 3!pn t n（2-8 ）ept / t1/ t p p 2 t / 2! p3 t 2/ n!從上式看出，當(dāng)時間t 增長時，第二項(xiàng)c2 tept 也趨近于零。因此（ c）式表示的運(yùn)動也不是振動，也是一個逐漸回到平衡位置的非周期運(yùn)動。3.弱阻尼狀態(tài)此時 p>n, 或<1 。利用歐拉公式en2p 2 tep2n 2tcosp2n2 ti sinp2n 2 t （2-9 ）可將（ 2-2 ）式改寫為xe nt (C1ei p2 n 2 tC 2e i p 2 n2 t ) e nt ( D1 cos p 2n 2 t D

8、2 sin p2n2 t)）（2-10或.xAe ntsin( p 2n 2 t)（1-11 ）令 pdp 2n2 ，則xAe ntsin( pd t)（2-12 ）式中 A與為待定常數(shù)，決定于初始條件。設(shè)t 0 時， xx0， xx0 ，則可求得Ax 02( x0nx0 ) 2 ,tg 1x0 pd（2-13 ）pdx0nx0將 A 與代入（2-4 ）式，即可求得系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)，由式（2-13 ）可知，系統(tǒng)振動已不再是等幅的簡諧振動， 而是振幅被限制在曲線Ae nt之內(nèi)隨時間不斷衰減的衰減振動。如圖 3-3所示。圖 2-3這種衰減振動的固有圓頻率、固有頻率和周期分別為PdP2n 2P

9、12 （2-14 ）P 2n 2P12f d22Td2212n2P12P2f1（2-15 ）1T21.式中 P、f、T 是無阻尼自由振動的固有圓頻率、固有頻率和周期。由上可見，阻尼對自由振動的影響有兩個方面：一方面是阻尼使自由振動的周期增大、頻率減小，但在一般工程問題中n 都比 P 小得多，屬于小阻尼的情況。例 =n/p=0.05 時，fd =0.9990f ，Td =1.00125T；而在 =0.20 時，fd =0.98f，Td=1.02T，所以在阻尼比較小時， 阻尼對系統(tǒng)的固有頻率和周期的影響可以略去不計(jì)， 即可以近似地認(rèn)為有阻尼自由振動的頻率和周期與無阻尼自由振動的頻率和周期相等。另一

10、方面，阻尼對于系統(tǒng)振動振幅的影響非常顯著，阻尼使振幅隨著時間不斷衰減，其順次各個振幅是： t=t 1時，A1=Ae -nt1 ；t=t 1+Td 時，A2=A e n (t1Td ) ；t=t 1+2Tdn (t12Td )， .。而相鄰兩振幅之比是個常數(shù)。即時， A =A e3A j / Aj 1enTd（ 2-16 ）式中 稱為減幅系數(shù)或振幅衰減率，n 稱為衰減系數(shù)， n 越大表示阻尼越大，振幅衰減也越快。 當(dāng)0.05 時，1.37，A2=A 1/1.37=0.73A 1，每一個周期內(nèi)振幅減少 27，振幅按幾何級數(shù)衰減，經(jīng)過10 次振動后，振幅將減小到初值的4.3。可見，衰減是非常顯著的。

11、在工程上，通常?。?-6 ）式的自然對數(shù)以避免取指數(shù)的不便，即Ln( Aj / A j 1 )nTd式中 稱為對數(shù)減幅或?qū)?shù)衰減率。將 Td2/p 2n2 代入，得2 n / p2n 22 / 12當(dāng)<<1 時，2因?yàn)槿我鈨蓚€相鄰的振幅之比是一個常數(shù)enTd，即（2-17 ）（ 2-18 ）（ 2-19 ）.A1 / A2A2 / A3A3 / A4.Aj / A j 1enTde故有A1 / A j 1( A1 / A2 )( A2 / A3 ).( A j / Aj 1 )e j因此對數(shù)減幅 也可表達(dá)為1A1（2-20）Lnj A( j 1)此外，根據(jù)（ 3-6 ）式，可以用實(shí)

12、測法來求得系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。因?yàn)長nAjnTd1Ajc1AjA j 1nLn2m TdLnTdAj 1Aj 1故c2m LnAj（ 2-21 ）TdAj1所以只要實(shí)測得出衰減振動的周期Td 及相鄰兩次振幅 Aj 和 Aj+1 ，即可計(jì)算出系統(tǒng)的阻尼系數(shù) C。根據(jù)彈簧和阻尼器的特性可得以下關(guān)系式：Fk1(t)=k 1x(t)，F(xiàn)k2(t)=k 2x(t)y(t) ，F(xiàn)b2 (t)=b 2dy(t)/dt設(shè)不加 p(t)時，質(zhì)量塊處于平衡狀態(tài)，此時x=0 ，y=0 ，即 x(0)=0 ，y(0)=0 ，根據(jù)受力平衡方程，在不計(jì)重力時，可得出以下方程：k2x(t)-y(t)=b 2dy(t)/dt(2

13、-22)又根據(jù)牛頓第二定律，有方程：mdx(t)/dt =p(t) F (t)F (t) F (t)(2-23)22k1k2b22.2 傳遞函數(shù)求解（ 1）求 Y(s)/X(s)：.對式 (2-1) 進(jìn)行拉普拉斯變換， 得：k2X(s) k2Y(s)=b2 *sY(s)，化簡得傳遞函數(shù)：Y(s)/X(s)=k /(b s+k2)(2-24)22（ 2）求 X(s)/P(s)：2對式 (2-2) 進(jìn)行拉普拉斯變換，得：ms X(s)=P(s)k1X(s)2k2X(s) Y(s)，并將式 (2-3) 代入可解得傳遞函數(shù)：X(s)/P(s)=(b s+k)/mb32(k+2k)s+k k (2-25

14、)s +mks +b222222112已知條件為：給定 m0.2g, b20.6N ? s / m, k1 8N / m, k25N / m ，設(shè) p(t)是輸入 u(t ) 的階躍力。將所給參數(shù)代入傳遞函數(shù)式(2-3) 和式 (2-4) 中，可求得具體的傳遞函數(shù)如下：Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5)（2-26 ）X(s)/P(s)=(0.6s+5)/（1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40） （2-27 ）2.3 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的求解（ 1）對于 Y(s)/X(s)：由微分方程 Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5)可畫出單位負(fù)反饋系統(tǒng)方框結(jié)構(gòu)圖如下：X（ s）Y（

15、s）5/(0.6s+5)故開環(huán)傳遞函數(shù)為： G（S）=5/(0.6s+5).（ 2）對于 X(s)/P(s)：由微分方程ms2X(s)=P(s)k1X(s) 2k2X(s) Y(s)及 Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2) 可畫出系統(tǒng)方框結(jié)構(gòu)圖如下：P(s)X(s)故開環(huán)傳遞 G(s)=3.用 MATLAB 對系統(tǒng)作開環(huán)頻域分析3.1 開環(huán)系統(tǒng)波特圖（ 1）對于 Y(s)/X(s)：畫波特圖時采用的 MATLAB 語句如下 : >> num=5;den=(0.6,5);>> margin(num,den)%畫系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻、 相頻特性運(yùn)行結(jié)果如圖 3-1.圖

16、3-1 Y(s)/X(s) 的開環(huán)波特圖（ 2）對于 X(s)/P(s):G(s)=畫波特圖時采用的MATLAB 語句如下 :>> num=0.6,5;den=();>> margin(num,den)%畫系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻、 相頻特性運(yùn)行結(jié)果如圖 3-2 所示 :.圖 3-2 X(s)/P(s) 的開環(huán)波特圖3.2 開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖及穩(wěn)定性判斷（ 1）對于 Y(s)/X(s)畫奈奎斯特圖時MATLAB 語句如下：>> num=5;>> den=0.6,5;>> nyquist(num,den)運(yùn)行結(jié)果如圖 3-3 所示：.圖 3-

17、3Y（ s） /X （ s）開環(huán)奈奎斯特圖開環(huán)傳函,由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不存在右半平面的極點(diǎn)，故P=0，從系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不能包圍（-1 ，j0）點(diǎn)周數(shù) N=0 ，則系統(tǒng)位于右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為:Z=P-2N=0, 故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（ 2）對于 X(s)/P(s)畫奈奎斯特圖時MATLAB 語句如下：>> num=0.6,5;.>> den=;>> nyquist(num,den)運(yùn)行結(jié)果如圖 3-4 所示：圖 3-4X（ s） /P （s）開環(huán)奈奎斯特圖開環(huán)傳函 G(s)=由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不存在右半平面的極點(diǎn)，故P=0，從系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不能包圍

18、（-1 ，j0）點(diǎn)周數(shù)N=0 ，則系統(tǒng)位于右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為:Z=P-2N=0, 故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。.4.系統(tǒng)開環(huán)頻率特性各項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算（ 1）對于 Y(s)/X(s)：計(jì)算各項(xiàng)頻率指標(biāo)時采用的 MATLAB 語句如下 : >> num=5;den=(0.6,5);>> margin(num,den);>> gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)計(jì)算幅值裕度gm()、相位裕度pm （）、穿越頻率wcg()、截止頻率wcp()。運(yùn)行結(jié)果gm =Infpm =180wcg =NaN.wcp =0由結(jié)果可知該系統(tǒng)幅值裕度為無窮，截止頻率為0，

19、相位裕度為 180 是正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定。（ 2）對于 X(s)/P(s) :G(s)=計(jì)算各項(xiàng)頻率指標(biāo)時采用的MATLAB 語句如下 :>> num=0.6,5;den=(1.2*10-4,10-3,10.8,40)>> margin(num,den);>> gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)計(jì)算幅值裕度gm()、相位裕度pm （）、穿越頻率wcg()、截止頻率wcp()。運(yùn)行結(jié)果gm =Infpm =15.6933wcg =Inf.wcp =307.8588由結(jié)果可知該系統(tǒng)幅值裕度為無窮，截止頻率為308rad/s ，相位裕度為 15.7 是正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定。總結(jié)本次課設(shè)是對一個彈簧 - 質(zhì)量 - 阻尼器系統(tǒng)建模并進(jìn)行頻率特性分析。首先根據(jù)這個實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)的受力分析得出它的受力微分方程，對其進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得出傳遞函數(shù)。 在求開環(huán)傳遞函數(shù)的過程中我