小學(xué)奧數(shù)之容斥原理07058

1、容斥原理（一）【例題分析】例1. 有長(zhǎng)8厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形與邊長(zhǎng)5厘米的正方形。如圖放在桌面上，求這兩個(gè)圖形蓋住桌面的面積？    分析與解：陰影部分是直角三角形，是兩個(gè)圖形的重疊部分，它的面積是：    （平方厘米）    方法一：（平方厘米）    方法二：（平方厘米）    方法三：（平方厘米）    答：蓋住桌面的面積是67平方厘米。例2. 六一班參加無(wú)線電小組和航模小組的共26人，其中參加無(wú)線電小組的有

2、17人，參加航模小組的有14人，兩組都參加的有多少人？    分析與解：把17人和14人相加，是把兩組都參加的人算了兩次，所以減去總?cè)藬?shù)，就是兩組都參加的人數(shù)（人）。    也可以這樣解：（人）    或（人）    答：兩組都參加的有5人。例3. 六一班有學(xué)生46人，其中會(huì)騎自行車(chē)的有19人，會(huì)游泳的有25人，既會(huì)騎車(chē)又會(huì)游泳的有7人，既不會(huì)騎自行車(chē)又不會(huì)游泳的有多少人？    分析與解：先求出46人中會(huì)騎車(chē)或會(huì)游泳的有多少人，從中減去會(huì)騎車(chē)或

3、會(huì)游泳的人數(shù)，剩下的就是既不會(huì)騎車(chē)也不會(huì)游泳的人數(shù)。    （人）    （人）    答：既不會(huì)騎車(chē)又不會(huì)游泳的有9人。例4. 某年級(jí)的課外小組分為美術(shù)、音樂(lè)、手工三個(gè)小組，參加美術(shù)小組有20人，參加音樂(lè)小組有24人，參加手工小組有31人，同時(shí)參加美術(shù)和音樂(lè)兩個(gè)小組有5人，同時(shí)參加音樂(lè)和手工兩個(gè)小組有6人，同時(shí)參加美術(shù)和手工兩個(gè)小組的有7人，三個(gè)小組都參加的有3人，這個(gè)年級(jí)參加課外小組的同學(xué)共有多少人？  分析與解：圖中的5、6、7人都是兩兩重疊的部分，圖中的3人是三個(gè)重疊的部分，要

4、從三個(gè)組的總?cè)藬?shù)中減去重復(fù)多余的部分。    （人）   答：這個(gè)年級(jí)參加課外小組的有60人。例5. 某班在短跑、投擲和跳遠(yuǎn)三項(xiàng)檢測(cè)中，有4人三項(xiàng)都未達(dá)到優(yōu)秀，其他人至少有一項(xiàng)是優(yōu)秀，下表是得優(yōu)秀的情況，請(qǐng)你算出全班人數(shù)。短跑投擲跳遠(yuǎn)跑跳跑投跳投三項(xiàng)19212091063    分析與解：根據(jù)題意畫(huà)出如下圖    要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，加上三項(xiàng)都未達(dá)到優(yōu)秀的，就是全班人數(shù)。    （人）  

5、60; （人）    答：全班有42人。例6. 分母是105的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？    分析與解：這些分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以分子應(yīng)小于105，只能是1104中的自然數(shù)，而且分子與105要互質(zhì)。因?yàn)椋苑帜覆荒苁?的倍數(shù)或5的倍數(shù)或7的倍數(shù)。所以，要求有多少個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，實(shí)際上就是求1104這104個(gè)自然數(shù)中不能被3、5、7整除的數(shù)有多少個(gè)。因此要先求出能被3整除或能被5整除或能被7整除的數(shù)有多少個(gè)。    能被3整除的數(shù)：（個(gè)）    能被5整除的數(shù)：（個(gè)） &

6、#160;  能被7整除的數(shù)：（個(gè)）    能同時(shí)被3和5整除的數(shù)：    能同時(shí)被3和7整除的數(shù)：    能同時(shí)被5和7整除的數(shù)：    （個(gè)）    （個(gè)）    答：分母是105的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有48個(gè)?！灸M試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1. 有三個(gè)面積各為50平方厘米的圓放在桌面上，兩兩相交的面積分別是8、10、12平方厘米，三個(gè)圓相交的面積是5平方厘米，求三個(gè)圓蓋住桌面的面積？2. 某區(qū)有100名外語(yǔ)

7、教師懂英語(yǔ)或日語(yǔ)，其中懂英語(yǔ)的有75名，既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的有20人。只懂日語(yǔ)的有多少名？3. 某班數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)時(shí)有10人得優(yōu)，英語(yǔ)得優(yōu)有12人，兩門(mén)都得優(yōu)有3人，兩門(mén)都沒(méi)得優(yōu)的有26人。全班有多少人？4. 六年級(jí)一班春游，帶礦泉水的有18人，帶水果的有16人，這兩種至少帶一種的有28人，求兩種都帶的有多少人？5. 在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除的數(shù)或不能被3整除或不能被5整除的數(shù)共有多少個(gè)？容斥原理（二）【例題分析】例1. 有25人參加跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)賽，每人跳三次，每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀。第一次達(dá)到優(yōu)秀的有10人，第二次達(dá)到優(yōu)秀的有13人，第三次達(dá)到優(yōu)秀的有15人，三次都達(dá)到優(yōu)秀的只有1人。只有兩

8、次達(dá)到優(yōu)秀的有多少人？    分析與解：“每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀”說(shuō)明沒(méi)有三次都沒(méi)達(dá)到優(yōu)秀的。要求只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，就是求重疊兩層的部分（圖中陰影部分）。    （人）    答：只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有11人。例2. 在一個(gè)炎熱的夏日，幾個(gè)小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒(méi)有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問(wèn)：共有幾個(gè)小朋友去了冷飲店？    分析與解：根據(jù)題意畫(huà)圖。

9、    方法一：（人）    方法二：（人）    答：共有10個(gè)小朋友去了冷飲店。例3. 有28人參加田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人至少參加兩項(xiàng)比賽。已知有8人沒(méi)參加跑的項(xiàng)目，參加投擲項(xiàng)目的人數(shù)與參加跑和跳兩項(xiàng)的人數(shù)都是17人。問(wèn)：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有多少人？    分析與解：“每人至少參加兩項(xiàng)比賽”說(shuō)明沒(méi)有不參加的，也沒(méi)有參加一項(xiàng)比賽的，我們可以在下圖中參加一項(xiàng)的區(qū)域用0表示。    （人）    答：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有

10、3人。例4. 某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有10人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)和既參加英語(yǔ)又參加語(yǔ)文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。    分析與解：根據(jù)已知條件畫(huà)出圖。    三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)的有x人，既參加語(yǔ)文又參加英語(yǔ)的有y人，可以列出這樣的方程：    整理后得：    由于x、

11、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為7。    答：既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的為2人或7人。例5. 某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語(yǔ)文20人，英語(yǔ)20人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科滿分者7人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科滿分者9人，三科都沒(méi)得滿分者3人。問(wèn)這個(gè)班最多多少人？最少多少人？    分析與解：根據(jù)題意畫(huà)圖。    設(shè)三科都得滿分者為x    全班人數(shù)    整理后：全班人數(shù)39x &

12、#160;  39+x表示全班人數(shù)，當(dāng)x取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三科都得滿分的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過(guò)兩科得滿分的人數(shù)，即且，由此我們得到。另一方面x最小可能是0，即沒(méi)有三科都得滿分的。    當(dāng)x取最大值7時(shí)，全班有人，當(dāng)x取最小值0時(shí)，全班有39人。    答：這個(gè)班最多有46人，最少有39人?！灸M試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1. 六年級(jí)共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂少年報(bào)，有的人訂數(shù)學(xué)報(bào)，兩種刊物都訂的有多少人？2. 小明和小龍兩家合住一套房子，門(mén)廳、廚房和廁所為公用，在登記住房面積時(shí)，兩家登記表如下表（單位：平方米）姓名居室門(mén)廳廚房廁所總面積小明14128438小龍20128444    他們住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者