手打經(jīng)典講義D

1、【評注】 其他定積分不等式的例題參看第三章“微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”.題型十二 定積分的幾何應(yīng)用 【例4.93】 由曲線所圍平面圖形的面積.【分析】 計算此題的關(guān)鍵是能夠較準確地畫出曲線的圖形及它與及所圍成的圖形.曲線上各點的縱坐標相加而得到，因而容易畫出它與所圍成的曲邊三角形（略）. 【詳解】 曲線與圍成一個曲邊三角形，其交點分別為：.故所求面積為 【例4.94】 曲線與軸所圍成圖形的面積可表示為 【 】【分析】 求出曲線與軸的交點，確定哪一段位于軸上方，哪一段位于軸下方.【詳解】 曲線與軸的交點為，因此該曲線與軸所圍成圖形的面積可表示為 故選. 【例4.95】 設(shè)在區(qū)間上函數(shù)則 【 】

2、【分析】 根據(jù)及其導(dǎo)函數(shù)的符號，可知曲線的單調(diào)性與凹凸性，再利用其幾何意義即可推導(dǎo)出相關(guān)的不等式. 【詳解】 由 知，曲線在上單調(diào)減少且是凹曲線弧，于是有 從而 即 ，故選。 【評注】 本題也可直接根據(jù)幾何直觀引出結(jié)論：（曲邊三角形ABE），（矩形BCDE），（梯形ACDE）分別如圖1411所示面積，顯然有【例4.95】 過點作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及軸圍成一平面圖形，求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.【分析】 先求切點，然后求切線方程，最后用旋轉(zhuǎn)體的計算公式的旋轉(zhuǎn)體的體積.【詳解】 設(shè)所作切線與拋物線相切于點，在此點處的切線斜率為 于是，切線方程為 將點的坐標代人切線方程中，解

3、得.因此切線方程為 故所求旋轉(zhuǎn)體的體積 【評注】本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用和定積分的幾何應(yīng)用.【例4.97】 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，則曲線所圍成平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為 【 】【分析】 利用微元法得體積微元，然后再積分.【詳解】 因為 所以旋轉(zhuǎn)體的體積為 從而為正確選項.【評注】求旋轉(zhuǎn)體的體積一般直接用旋轉(zhuǎn)體的體積公式或通過微元法利用定積分計算.【例4.98】 求曲線與軸圍成的封閉圖形繞直線旋轉(zhuǎn)體體積.【分析】 由于坐標軸不是旋轉(zhuǎn)軸，應(yīng)利用微元法得被積表達式，然后再積分.【詳解】 如圖1412所示： 選為積分變量.設(shè)旋轉(zhuǎn)體在區(qū)間和上的體積分別為,則所求體積題型十三 綜合題【例4.9

4、9】 設(shè)是可導(dǎo)的正函數(shù)，且，令（1） 證明單調(diào)增加；（2） 求的最小值點；（3） 將的最小值看做的函數(shù)，若它等于，求.【詳解】 （1） 所以，單調(diào)增加.(2)令 所以， 由于，因此，.因單調(diào)增加，所以是的唯一駐點.又，故是的極小值點，即最小值點，最小值為 （3） 即 令，得. 兩邊對求導(dǎo)，得 即 所以 又，得.所以【例4.100】 設(shè)是在上連續(xù)的單調(diào)增加正函數(shù)，由所圍的圖形的面積為，由所圍成的圖形的面積為.（1） 證明：存在唯一的，使；（2） 問函數(shù)是否有最小值？【詳解】 （1）令 ，則有 即單調(diào)增加.又 所以，存在唯一的，使，即.（2）令 又，且單調(diào)增加，由介值定理，存在唯一的，使，即.因當

5、時，即； 當時，即，所以是的極小值，即最小值.因此，函數(shù)有最小值. 【例4.101】 設(shè)時，其中在連續(xù)且單調(diào)增加，試證在也單調(diào)增加.【分析】 在第一個積分中先作變換，再求.【證明】 當時，當時，于是當時，所以在單調(diào)增加. 【例4.102】 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且，則 .【證明】 先用微分中值定理，再用微積分基本公式.根據(jù)拉格朗日中值定理，對于任意給定的，有和，其中整理，用牛頓-萊布尼茨公式，得 取絕對值，用定積分性質(zhì)，得 即 【例4.103】 設(shè)上非負函數(shù)滿足，且當時在上連續(xù)，為內(nèi)任一點.(1) 求(2) 求【詳解】 （1） .（2） 習題精選四一、填空題1、設(shè)連續(xù)，且，則=_.

6、2、_。3、_.4、已知則_.5、_.二、選擇題1、設(shè)函數(shù)與在上連續(xù)，且，且對任何 【 】2、設(shè)則 在點不連續(xù). 在內(nèi)連續(xù)，但在點不可導(dǎo). 在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足. 在內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足. 【 】3、設(shè)為的一個原函數(shù)，且，則等于 【 】4、若在上有且則的大小關(guān)系是 【 】5、設(shè)為常數(shù)，且則 【 】三、解答題1.求2.設(shè)為連續(xù)奇函數(shù)，且，求3.求.4.求.5.求6.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.7.求極限8.已知連續(xù)，求9.求極限10.設(shè)曲線方程為. （1）把曲線、軸、軸和直線所圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積及滿足的. （2）在此曲線上找一點，使過該點的切線與兩個坐標軸所夾平面圖形

7、的面積最大，并求出該面積.習題精選四參考答案一、填空題 1. . 2. 3. 4.0. 5.二、選擇題1. 2. 3. 4. 5. .三、解答題1.2.3.4.5.6.7.8.1.9.10.第五章 多元函數(shù)微分學(xué) 1 知識要點精講及主要公式與結(jié)論考試內(nèi)容 多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計算 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法 二階偏導(dǎo)數(shù) 全微分 多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值一多元函數(shù)的極限與連續(xù)1. 二元函數(shù)的定義設(shè)是平面上的一個點集，如果對于每一個點，變量按照一定的法則總有一個確定的值和它對應(yīng)

8、，則稱是變量的二元函數(shù)（或點的函數(shù)），記為.點集稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，也稱為因變量.數(shù)集稱為該函數(shù)的值域. 類似地，設(shè)為維空間內(nèi)的點集，如果對于每個點變量按照一定法則總有唯一確定的值和它對應(yīng)，則稱是變量的元函數(shù)，記為2二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)，在幾何上一般對應(yīng)空間直角坐標系下一空間曲面.3.二元函數(shù)的極限設(shè)二元函數(shù)在點的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)，當動點以任何方程無限趨于點時，總是無限趨于這個常數(shù)，則稱當趨于時，以為極限，記作嚴格說來， 時，恒有 注：二元函數(shù)的極限存在，要求沿著所以可能的路徑趨于時，對應(yīng)的函數(shù)值均要趨于同一個常數(shù)，換句話說，如果沿著兩條不同的路徑趨于時，對應(yīng)

9、的函數(shù)值趨于不同值，則極限不存在.【例5.1】 討論極限的存在性.【詳解】 當動點沿曲線趨于點時 這個極限值不是一個確定的常數(shù)，它隨著的變化而改變，因此極限不存在.4.二元函數(shù)的連續(xù)若則稱二元函數(shù)在點處連續(xù).如果在區(qū)域上每一點都連續(xù)，則稱在區(qū)域上連續(xù).5.有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 （最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得到最大值和最小值.性質(zhì)2 （介值定理） 在有界區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，必取到介于其最大值和最小值之間的任何數(shù)值.【例5.2】 討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性：【詳解】 （1）因為可見當時，極限不存在，故不連續(xù). （3） 令則有 所以當時，即時， 故可見在

10、點處連續(xù).二偏導(dǎo)數(shù)與全微分1.偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)有二元函數(shù)，若一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)存在，即極限存在，則稱此極限值為在處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為或類似地，若一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)存在，即極限存在，則稱此極限值為在處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為或如果二元函數(shù)在區(qū)域D的每一點處都有偏導(dǎo)數(shù)，一般地說，它們?nèi)允堑暮瘮?shù)，稱為的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)，記為或，或.2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)有二元函數(shù)，且，則和在幾何上分別表示曲線和在點的切線對軸和對軸的斜率.3.全微分（1）全微分的定義.若函數(shù)在點處的全增量可表示為 其中與無關(guān)，則稱函數(shù)在點處可微，且稱為在點的全微分，記為，即.又對自變量與，有故全微分又可寫成注1：若在點處可微，則在點處的兩個

11、偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有注2：在點處可微其中（2）可微與連續(xù)的關(guān)系.若函數(shù)在點處可微，則必在處連續(xù).（3）可微的必要條件. 如果函數(shù)在點處可微，則該函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在.（4）可微的充分條件.如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù)，則函數(shù)在該點可微.(5)全微分的形式不變性.設(shè)如果分別有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在處的全微分仍可表為即無論是自變量還是中間變量，上式總成立.注：全微分形式不變性可理解為：對什么變量求偏導(dǎo)就乘以什么變量的微分，不論這個變量是自變量，還是中間變量.【例5.3】 考察函數(shù)在點處是否連續(xù)？偏導(dǎo)數(shù)是否存在？是否可微？【詳解】 因為，且，所以在點處連續(xù).又所以.同理即在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在.而

12、 當動點沿直線趨于點，即時，得故函數(shù)在處不可微.注1：在一元函數(shù)中，函數(shù)在某點的可導(dǎo)性與可微性是等價的.但對于多元函數(shù)，它在某點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在不能保證它的可微性.這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的不同之處.從本題還可看到，即使加上函數(shù)本身的連續(xù)性仍不能成為可微的充分條件.注2：一元函數(shù)與多元函數(shù)在極限存在、連續(xù)、可導(dǎo)（偏導(dǎo)）、可微（全微分）的相互關(guān)系上，有相同之處，更有相異之處，如圖151所示.4.高階偏導(dǎo)數(shù)如果二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然具有偏導(dǎo)數(shù)，則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為的二階偏導(dǎo)數(shù)，記作 或， 或 或 或其中稱為混合偏導(dǎo)數(shù).注：如果函數(shù)的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)三 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（1）設(shè)和在處

13、偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點處偏導(dǎo)數(shù)存在，且（2）設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，都可導(dǎo)，則這里稱為對的全導(dǎo)數(shù). （3）設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，則注1：多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)不論復(fù)合關(guān)系多復(fù)雜，其基本原則是：有幾個中間變量求出來就有幾項，每項先對中間變量求偏導(dǎo)再乘以中間變量對自變量的偏導(dǎo)數(shù).注2：抽象或半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo)是重點又是相對難點，應(yīng)注意對求完偏導(dǎo)后一般還是的函數(shù). 【例5.4】 設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)，求.【詳解】 注1：此題是抽象函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，但因涉及二階偏導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)注意對中間變量求完一階偏導(dǎo)數(shù)后，仍應(yīng)看做中間變量的函數(shù).注2：習慣上，當不是自變量時，對

14、第一個中間變量求偏導(dǎo)簡單記為，對第二個中間變量求偏導(dǎo)簡單記為.四 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1.由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點的某領(lǐng)域內(nèi)能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足，并有注：當或時，可分別確定隱函數(shù)或.【例5.5】 設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在的一個領(lǐng)域，在此領(lǐng)域內(nèi)該方程只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù).可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和.可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和.可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和. 【 】【詳解】 令，則 且由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)和.故應(yīng)選.2.由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)方程組確定了隱函數(shù)，

15、則通過等式兩邊同時對求偏導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，有當時，從此方程組中求出完全類似，方程兩端對求偏導(dǎo)，求出五 多元函數(shù)的極值1.極值的定義若在的某空心領(lǐng)域內(nèi)恒有，則稱在點有極大值（或極小值）。對于自變量的取值有附加條件的極值稱為條件極值.2.極值存在的必要條件設(shè)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點處有極值，則必有3.極值存在的充分條件設(shè)在點的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又令則：時，不是極值點；時，為極值點，且當時，為極大值點，時，為極小值點；時，是否為極值點需要進一步判定.注：求極值的基本步驟：先解方程組得所有駐點（可能是極值點）；對每一個駐點，求的值；由的符號確定是否為極值點，由的符號確定是極大值點還是極小值點.4.條件極值函數(shù)在條件下的極值稱為條件極值.求條件極值的方法常用如下的拉格朗日乘子法：先構(gòu)成輔助函數(shù)再解方程組 得及，則其中就是可能極值點的坐標.類似可求函數(shù)在條件下的可能極值點.同樣，求三元函數(shù)，在約束條件（約束條件一般應(yīng)少于未知量的個數(shù)）下的極值的方法為：作拉格朗日函數(shù)再解方程組得，則函數(shù)的極值可能在所解出的點處取得.最后判別點是否為極值點.注：（1）條件極值問題找出可能極值點后，是否確為極值點，不能由無條件極值方法判定，一般根據(jù)問題的實際背景或比較可能極值點的函數(shù)值討論確定.（2）滿足的約束條件可以為多個.（3）約束條件如果是或的形式應(yīng)先化成，即或，即的