七年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展訓(xùn)練校本教材

1、七年級(jí)上數(shù)學(xué)思維拓展訓(xùn)練第一章 興趣數(shù)學(xué) 七橋問題（一筆畫問題）18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個(gè)問題。七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（17071783）的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡(jiǎn)單圖形，于是，七橋問題就變成一個(gè)一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡(jiǎn)單圖形（即筆不離開紙，而且

2、a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫筆每經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過一個(gè)n次，那么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線相連。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶

3、數(shù)條線相連的點(diǎn)，或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。圖2中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不能一筆畫出這個(gè)圖形。歐拉定理 ：  如果一個(gè)圖是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。一筆畫：凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。 凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。 其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點(diǎn)數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成

4、。)練習(xí)：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個(gè)圖形嗎？試試看。（不走重復(fù)線路）圖例1圖例2圖例3圖例4第二章絕對(duì)值知識(shí)回顧：絕對(duì)值的意義（1） 代數(shù)意義:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)只是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.（2） 幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上離開原點(diǎn)的距離。1、 絕對(duì)值的常用性質(zhì)：非負(fù)性：任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即|a|0.雙解性：絕對(duì)值相等的數(shù)有兩個(gè)，它們恰好互為相反數(shù)（0除外），即若|x|aa0則x±a.|a|a| |a|a (|a|)²|a²|a²|ab|a|b| |b0解題技巧： 解答絕對(duì)值問題，常用的

5、思維方法有：1、分類討論思想：去掉含字母的絕對(duì)值時(shí)，需要對(duì)字母取值加以討論。2、數(shù)形結(jié)合思想：絕對(duì)值問題通常會(huì)和數(shù)軸聯(lián)系在一起。3、 零點(diǎn)分段法：多個(gè)絕對(duì)值化簡(jiǎn)時(shí)常用。教學(xué)過程：【基礎(chǔ)知識(shí)檢測(cè)：】1、有理數(shù)的絕對(duì)值一定是 （ ）A、正數(shù) B、整數(shù) C、正數(shù)或零 D、自然數(shù)2、絕對(duì)值等于它本身的數(shù)有 （ ） A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、無數(shù)個(gè)3、等于 （ ） A、3 B、3 C、D、4、若a與2互為相反數(shù)，則|a2|等于( ) A、0 B、2 C、2 D、45、 |x|=2,則這個(gè)數(shù)是（    ）A.2     

6、;    B.2和2    C.2        D.以上都錯(cuò)6、 | a|= a，則a一定是（    ）7、 A.負(fù)數(shù)       B.正數(shù)  C.非正數(shù)       D.非負(fù)數(shù)7、一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為m，則這個(gè)數(shù)為（    ）A.m 

7、;      B.m    C.±m        D.2m8、如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是（    ）A.正數(shù)       B.負(fù)數(shù)   C.正數(shù)、零      D.負(fù)數(shù)、零9、-4的的相反數(shù)是_,-4的倒數(shù)是_,-

8、4的絕對(duì)值是_,-4倒數(shù)的相反數(shù)是_,-4倒數(shù)的絕對(duì)值是_,-4倒數(shù)的相反數(shù)的絕對(duì)值是_10、當(dāng)時(shí)，_，當(dāng)時(shí)，_，、如果，則_，_.【典例解析：】一.求未知數(shù)例1：若，則。若，則思考提示：根據(jù)絕對(duì)值定義：數(shù)軸到原點(diǎn)距離是5和0的點(diǎn)有幾個(gè)？是多少？ 變式1:若，則；若，則；若，則 ；變式2：，則若，則。 二.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用例2：若，則。思考提示：兩個(gè)最小是0的數(shù)加在一起等于0說明什么呢？變式：1：非負(fù)數(shù)類型玩花樣：若，則。變式：2：變量個(gè)數(shù)不斷增加：若，則。總結(jié)：若干非負(fù)數(shù)之和為0，。 三.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式：若數(shù)軸上兩點(diǎn)所表示的數(shù)為，則兩點(diǎn)間的距離為例3（距離問題）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上

9、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：_.（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 _.（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為，取得最小值時(shí)x的取值范圍為 _.（4） 滿足的的取值范圍為 _ .（5）若的值為常數(shù)，試求的取值范圍 四.絕對(duì)值的最值問題例4.（1）當(dāng)取何值時(shí)，有最小值？這個(gè)最小值是多少？（2）當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？這個(gè)最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。（2）當(dāng)b為_時(shí)，5-有最大值，最大值是_當(dāng)a為_時(shí)，1|a +3 |有最小值是_.（3） 已知，設(shè)

10、，求M 的最大值與最小值（4） 利用數(shù)軸分析，可以看出，這個(gè)式子表示的是到2的距離與到的距離之和，它表示兩條線段相加：當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨的增大而越來越大；當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨的減小而越來越大；當(dāng) 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無論在這個(gè)范圍取何值，這兩條線段的和是一個(gè)定值，且比、情況下的值都小。因此，總結(jié)，有最小值，即等于到的距離（5） 利用數(shù)軸分析，這個(gè)式子表示的是到的距離與到1的距離之差它表示兩條線段相減：當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無論取何值，這個(gè)差值是一個(gè)定值；當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無論取何值，這個(gè)差值是一個(gè)定值；當(dāng)時(shí)，隨著增大，這個(gè)差值漸漸由負(fù)變正，在中點(diǎn)處是零。 因此，總結(jié)，式子當(dāng)時(shí)，有最大值 ；當(dāng)時(shí)，有最小

11、值 ； 五.含未知數(shù)的絕對(duì)值的化簡(jiǎn)（學(xué)習(xí)去絕對(duì)值符號(hào)法則）例5：閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個(gè)結(jié)論來化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得（稱分別為與的零點(diǎn)值）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：（1） 當(dāng)時(shí)，原式=;（2）當(dāng)時(shí)，原式=；（3）當(dāng)時(shí)，原式=。綜上討論，原式=通過以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問題：（1） 先分別求出和的零點(diǎn)值，再化簡(jiǎn)（2） 已知的最小值是，的最大值為，求的值。（3） 如果2x| 45x|13x|4恒為常數(shù)，求x的取值范圍。【課后練習(xí)】1、若，則x_；若，則x_；若，則x_.2、若|m1|

12、=m1,則m_1;若|m1|>m1,則m_1;3若實(shí)數(shù)、y滿足2002(x一1)2，則4. 若與互為相反數(shù)，則與的大小關(guān)系是( ) A B C D5.若與互為相反數(shù)，求的值。6.先求零點(diǎn)值，再化簡(jiǎn)3x+1+2x-17.當(dāng)a為_時(shí)，3|2a1 |有最小值是_；當(dāng)b為_時(shí)，1- | 2b|有最大值是_.8.的最小值是（ ）A 2 B0 C1 D-19.求當(dāng)取何值時(shí)，有最小值，最小值是多少。求當(dāng)取何值時(shí)，有最小值，最小值是多少。第三章 整式的加減【典型例題】類型一：整體代入法例1、若代數(shù)式的值是，求代數(shù)式的值。例2、 設(shè)和均不為零, 和是同類項(xiàng),求例3、當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是3，求當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值

13、.例4、 設(shè)，其中、為常數(shù)，已知，求的值.例4、已知多項(xiàng)式中，為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值是1；當(dāng)時(shí)。多項(xiàng)式的值是2.若是8和時(shí)，多項(xiàng)式的值分別是、,求的值。類型二：降次法例5、（1999年北京競(jìng)賽題）若，求代數(shù)式的值。變式練習(xí)、若_。例6、已知為有理數(shù)，且，求代數(shù)式的值.1、如果代數(shù)式的值為，求代數(shù)式的值。2、已知，求代數(shù)式的值。3、（16屆希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知求代數(shù)式的值。4、如果求代數(shù)式的值。5、已知代數(shù)式，當(dāng)時(shí)的值為2；當(dāng)時(shí)的值為1，求當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值。6、當(dāng)，代數(shù)式的值等于，那么當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是多少？7、如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，的值恒為一個(gè)常數(shù)。請(qǐng)求出這個(gè)常數(shù)。第4章 動(dòng)

14、點(diǎn)專題所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題. 關(guān)鍵:動(dòng)中求靜. 數(shù)學(xué)思想：分類思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想1已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，且|2b6|+（a+1）2=0，A、B之間的距離記作AB，定義：AB=|ab|（1）求線段AB的長(zhǎng)（2）設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)x，當(dāng)PAPB=2時(shí)，求x的值（3）M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，當(dāng)P移動(dòng)時(shí)，指出當(dāng)下列結(jié)論分別成立時(shí)，x的取值范圍，并說明理由：PM÷PN的值不變，|PMPN|的值不變2如圖1，已知數(shù)軸

15、上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1、3，點(diǎn)P為數(shù)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x（1）PA=_；PB=_（用含x的式子表示）（2）在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PB=5？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）如圖2，點(diǎn)P以1個(gè)單位/s的速度從點(diǎn)D向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)A以5個(gè)單位/s的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以20個(gè)單位/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，M、N分別是AP、OB的中點(diǎn)，問：的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由3如圖1，直線AB上有一點(diǎn)P，點(diǎn)M、N分別為線段PA、PB的中點(diǎn)，AB=14（1）若點(diǎn)P在線段AB上，且AP=8，求線段MN的長(zhǎng)度；（2）若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，試說明線段MN的長(zhǎng)度與點(diǎn)P在直線

16、AB上的位置無關(guān)；（3）如圖2，若點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，下列結(jié)論：的值不變；的值不變，請(qǐng)選擇一個(gè)正確的結(jié)論并求其值4如圖，P是定長(zhǎng)線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上）（1）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD=2AC，請(qǐng)說明P點(diǎn)在線段AB上的位置：（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQBQ=PQ，求的值（3）在（1）的條件下，若C、D運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（D點(diǎn)在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點(diǎn)，下列結(jié)論：PMPN的值不變；的值不變，

17、可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值5如圖1，已知數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B、C，AB=AC，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是200（1）若BC=300，求點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)R從A點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q、R的速度分別為10單位長(zhǎng)度每秒、5單位長(zhǎng)度每秒、2單位長(zhǎng)度每秒，點(diǎn)M為線段PR的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段RQ的中點(diǎn)，多少秒時(shí)恰好滿足MR=4RN（不考慮點(diǎn)R與點(diǎn)Q相遇之后的情形）；（3）如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)E、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為800、0，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從E、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q的速度分別為10單位長(zhǎng)度每秒

18、、5單位長(zhǎng)度每秒，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在從是點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過程中，QCAM的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若不變，請(qǐng)說明理由6如圖1，已知點(diǎn)A、C、F、E、B為直線l上的點(diǎn)，且AB=12，CE=6，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)（1）如圖1，若CF=2，則BE=_，若CF=m，BE與CF的數(shù)量關(guān)系是 （2）當(dāng)點(diǎn)E沿直線l向左運(yùn)動(dòng)至圖2的位置時(shí)，（1）中BE與CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由（3）如圖3，在（2）的條件下，在線段BE上，是否存在點(diǎn)D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，請(qǐng)求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由7已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）（1）若AB=10cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，求AC+MD的值（2）若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD=3AC，直接填空：AM=_AB（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且ANBN=MN，求的值8已知數(shù)軸上三點(diǎn)M，O，N對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為3，0，1，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x（1）如果點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等，那么x的值是_；（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離之和是5？若存在，請(qǐng)直接寫出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）如果點(diǎn)P以每分鐘3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度