三年級(jí)奧數(shù)教材之?dāng)?shù)圖形

1、三年級(jí)奧數(shù)教材第六講之?dāng)?shù)圖形第六講 數(shù)圖形采用鮮艷的顏色，從最簡(jiǎn)單的視覺(jué)角度入手，用心理學(xué)的方法讓你對(duì)數(shù)圖形感興趣，并愛(ài)上它。知識(shí)要點(diǎn)：同學(xué)們，在數(shù)圖形時(shí)，一定要按順序仔細(xì)數(shù)，如果給圖形編個(gè)號(hào)，這樣數(shù)起來(lái)就更方便，不會(huì)重復(fù)，也不會(huì)遺漏。例1 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)三角形？          這樣想： 數(shù)之前，先將每個(gè)圖形編號(hào)，編好后，先數(shù)單個(gè)三角形1、4、3號(hào)，共3個(gè)。再數(shù)兩個(gè)圖形合成的三角形，1+2號(hào)，2+3號(hào)，3+4號(hào)，4+1號(hào)，按順序兩個(gè)兩個(gè)合并，共4個(gè)三角形。最后數(shù)由1+2+3+4號(hào)組成的大三角形，有

2、1個(gè)。所以3+4+1=8，共8個(gè)三角形。例2 數(shù)一數(shù)圖中有西紅柿的正方形有幾個(gè)？              這樣想：先數(shù)單個(gè)正方形，有西紅柿的正方形有1個(gè)。再數(shù)四個(gè)正方形合成的大正方形，有西紅柿的大正方形有4個(gè)。最后數(shù)由9個(gè)小正方形組成的大正方形，有1個(gè)。所以1+4+1=6，有西紅柿的正方形共6個(gè)。例3 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)正方形？          

3、0;    這樣想：先數(shù)單個(gè)正方形1、2、3、4、5、6號(hào)，共6個(gè)。再數(shù)四個(gè)正方形合成的大正方形，1+2+4+5號(hào)，2+3+5+6號(hào)，按順序四個(gè)四個(gè)合并，共2個(gè)正方形。所以6+2=8，共8個(gè)正方形。例4 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)正方形？               這樣想： 先數(shù)小正方形，共4個(gè)。再數(shù)稍大的正方形，共5個(gè)。最后數(shù)大正方形，有1個(gè)。4+5+1=10，所以圖中共有10個(gè)正方形。例5 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)

4、圓形？             這樣想：先數(shù)小圓，共5個(gè)。再數(shù)大圓有1個(gè)。圖中共有6個(gè)圓。 數(shù)圖形晚飯過(guò)后，媽媽給小小出了一道“試眼力”的題目：數(shù)數(shù)窗戶上一共有多少個(gè)正方形。小小一看，立即回答：“窗戶上一共有6個(gè)正方形。”媽媽笑了，爸爸在一旁也笑了，小小給弄了個(gè)“丈二和尚莫不著頭腦”。小朋友，你知道小小的爸爸媽媽為什么笑嗎？小小數(shù)得難道不對(duì)嗎？如果不對(duì)，那么窗戶上究竟有幾個(gè)正方形呢？下面我們就一起來(lái)研究數(shù)圖形的問(wèn)題。典型例題例【6】 下圖中有多少條線段？分析 我們把圖中的線段

5、AB、BC、CD、DE看作是基本線段，那么：由1條基本線段構(gòu)成的線段有AB、BC、CD、DE 4條；由2條基本線段構(gòu)成的線段有AC、BD、CE 3條；由3條基本線段構(gòu)成的線段有AD、BE 2條；由4條基本線段構(gòu)成的線段有AE 1條。另外，我們還可以從線段的兩個(gè)端點(diǎn)出發(fā)去數(shù)：以A為左端點(diǎn)的線段有AB、AC、AD、AE 4條；以B為左端點(diǎn)的線段有BC、BD、BE 3條；以C為左端點(diǎn)的線段有CD、CE 2條；以D為左端點(diǎn)的線段有DE 1條。解 432110（條）所以圖中有10條線段。例【7】 下面圖形中有幾個(gè)角？分析 我們把圖中的 AOB、 BOC、 COD看作基本角，那么：由1個(gè)基本角構(gòu)成的角有

6、AOB、 BOC、 COD 3個(gè)；由2個(gè)基本角構(gòu)成的角有 AOC、 BOD 2個(gè)；由3個(gè)基本角構(gòu)成的角有 AOD 1個(gè)。我們也可以從角的兩條邊出發(fā)來(lái)數(shù)：以O(shè)A為一邊的角有 AOB、 AOC、 AOD 3個(gè)；以O(shè)B為一邊的角有 BOC、 BOD 2個(gè)；以O(shè)C為一邊的角有 COD 1個(gè)。解 3216（個(gè)）所以圖中有6個(gè)角。例【8】 下圖中共有多少個(gè)三角形？分析 我們把圖中 ABC、 ACD、 ADE看作基本三角形，那么：由1個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有 ABC、 ACD、 ADE；由2個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有 ABD、 ACE；由3個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有 ABE。解 3216（個(gè)）所以圖中有6

7、個(gè)三角形。例【9】 下圖中有多少個(gè)正方形？分析 我們把最短的一條線段如AB看作基本線段，那么：邊長(zhǎng)為1條基本線段的正方形有9個(gè)；邊長(zhǎng)為2條基本線段的正方形有4個(gè)；邊長(zhǎng)為3條基本線段的正方形有1個(gè)。解 94114（個(gè)）所以圖中有14個(gè)正方形。例【10】 數(shù)一數(shù)圖中共有多少個(gè)三角形？分析 我們可以將圖形分成上面三個(gè)部分來(lái)數(shù)：在圖1中，一共有5432115（個(gè)）三角形；在圖2中，一共有5432115（個(gè)）三角形；在圖3中，一共有5個(gè)三角形。解 1515535（個(gè)）所以圖中一共有35個(gè)三角形。小結(jié) 要想正確數(shù)出圖形的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是從基本圖形入手：（1） 弄清楚圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個(gè)。（2）

8、 從各圖形中所包含基本圖形的個(gè)數(shù)多少出發(fā)，依次數(shù)出它們的個(gè)數(shù)，并求出它們的和是多少。（3） 有些圖形被分成樂(lè)幾個(gè)部分，可以先從各部分的基本圖形出發(fā)，數(shù)出所含圖形的個(gè)數(shù)，再求各部分的總和。課后練習(xí)：數(shù)出某種圖形的個(gè)數(shù)是一類有趣的圖形問(wèn)題。數(shù)圖形雖然很簡(jiǎn)單，但重復(fù)計(jì)數(shù)和遺漏是經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，在細(xì)心的同時(shí)還要掌握一定的方法和技巧。幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題包括：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長(zhǎng)方形、數(shù)正方形、數(shù)三角形、數(shù)綜合圖形等。通過(guò)這一講的學(xué)習(xí)，可以幫助我們養(yǎng)成按照一定順序去觀察、去思考問(wèn)題的良好習(xí)慣，同時(shí)提高我們通過(guò)觀察、思考去探尋事物規(guī)律的能力。要想有條理、不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所要圖形的個(gè)數(shù)，最常用的方法就是分類數(shù)

9、。一、數(shù)線段我們把直線上兩點(diǎn)間的部分稱為線段，這兩個(gè)點(diǎn)稱為線段的端點(diǎn).線段是組成三角形、正方形、長(zhǎng)方形、多邊形等最基本的元素。因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯(lián)系，對(duì)于了解圖形、分析圖形是很重要的。例1、 數(shù)一數(shù)，圖中有多少條線段？分析與解：如果我們按照一定的順序從左往右數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：以A點(diǎn)為共同端點(diǎn)的線段有：AB AC AD AE AF 5條；以B點(diǎn)為共同端點(diǎn)的線段有：BC BD BE BF 4條；以C點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：CD CE CF

10、 3條；以D點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：DE DF 2條；以E點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：EF 1條；總數(shù)為：5+4+3+2+1=15條。用圖示法表示更為直觀明了，如右圖。想一想：由例1可知，一條線段AF上有六個(gè)點(diǎn)，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線段。由此猜想如下規(guī)律（見(jiàn)右圖）：               還可以一直找下去，并且通過(guò)實(shí)際去按順序數(shù)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證后，能從中得出這樣一個(gè)結(jié)論：當(dāng)一個(gè)圖形中包含的所有線段都

11、在同一條直線上時(shí)，線段總條數(shù)是從1開(kāi)始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比圖形中的總端點(diǎn)數(shù)少1.如果我們把相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么線段的總條數(shù)也是從1開(kāi)始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本線段的條數(shù)（見(jiàn)下圖）?；揪€段數(shù)   線段總條數(shù)                            &

12、#160;是不是存在這樣的規(guī)律，同學(xué)們可以自己再舉些例子試試看。二、數(shù)角例2、 數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)角？分析與解：通過(guò)觀察，我們可以知道，圖中包含的所有角都具有O點(diǎn)這一共同端點(diǎn)。如果我們按照一定的順序數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：以射線OA為角的一邊的角有：AOB，AOC，AOD，AOE，AOF共5個(gè)；以射線OB為角的一邊的角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4個(gè)；（不包括已經(jīng)數(shù)過(guò)的AOB，即數(shù)過(guò)的不算，下同）以射線OC為角的一邊的角有：COD，COE，COF共3個(gè)；以射線OD為角的一邊的角有：DOE，DOF共2個(gè)；以射線OE為角的一邊的角有：EOF 1個(gè).角的總數(shù)：5+4+3+2+1

13、15（個(gè)）.數(shù)的過(guò)程用圖示法表示如下：想一想：由例2可知：由一點(diǎn)引出6條射線，所組成的角的總數(shù)為：5+4+3+2+1（個(gè)），由此猜想出如下規(guī)律：（見(jiàn)下圖）由一點(diǎn)引出的兩條射線組成1個(gè)角：由一點(diǎn)引出的三條射線組成2+1=3個(gè)角：由一點(diǎn)引出的四條射線組成3+2+1=6個(gè)角：由一點(diǎn)引出的五條射線組成4+3+2+1=10個(gè)角：                    還可以一直找下去，并且通過(guò)實(shí)際去按順序數(shù)

14、，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證后，能從中得出這樣一個(gè)結(jié)論：角的總數(shù)是從1開(kāi)始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比圖形中射線的總條數(shù)少1。與數(shù)線段有類似的地方，即為：如果把相鄰兩條射線所組成的角叫做基本角，那么角的總數(shù)也是從1開(kāi)始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，而其中最大的自然數(shù)等于基本角個(gè)數(shù).注意，例1和例2的情況極其相似。雖然例1是關(guān)于線段的，例2是關(guān)于角的，但求總數(shù)時(shí)，它們有同樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式。同學(xué)們也可以看出，一個(gè)數(shù)學(xué)式子可以表達(dá)表面上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)的魔力。三、數(shù)三角形例3、 數(shù)出下面圖中三角形的個(gè)數(shù)。    分析與解：仔細(xì)觀察圖形，我們可以

15、發(fā)現(xiàn)，圖形中所構(gòu)成的每個(gè)三角形，都有兩條邊是由A點(diǎn)引出的，而第三條邊不在線段BC就在線段DE上，并且通過(guò)我們?nèi)グ错樞驍?shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)BC和DE上有多少條線段就對(duì)應(yīng)有多少個(gè)三角形，這樣我們就可以把數(shù)三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)線段的問(wèn)題了。根據(jù)例1可知，BC邊上的線段有15條，那么，以BC邊上的線段作為第三邊的三角形就有15個(gè)。同理，DE邊上的線段也有15條，以DE邊上的線段作為第三邊的三角形也有15個(gè)。所以，圖中共有三角形15×2=30（個(gè)）例4、數(shù)出下圖中三角形的個(gè)數(shù)。  分析與解：明顯地，這個(gè)圖形不具有例3中三角形的特點(diǎn)，所以例3中的解法不適合此題，為了便于數(shù)出三角形的個(gè)數(shù)，

16、我們可以用分類的方法來(lái)數(shù)。怎樣分類呢？可以按三角形的構(gòu)成來(lái)進(jìn)行分類，為了敘述方便，我們把圖中三角形編上號(hào)碼，如圖所示。    明顯的，由1個(gè)三角形構(gòu)成的三角形有6個(gè)。由2個(gè)三角形構(gòu)成的三角形有2個(gè)，即（1，2），（4，5）由3個(gè)三角形構(gòu)成的有4個(gè)，即（1，2，3），（4，5，6），（6，1，2），（3，4，5）所以，此圖中共有三角形：624=12（個(gè)）四、數(shù)長(zhǎng)方形例5、如下圖，數(shù)一數(shù)各圖中包含的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)？分析與解：圖（）中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)與AB邊上所分成的線段的條數(shù)有關(guān)，每一條線段對(duì)應(yīng)一個(gè)長(zhǎng)方形，所以長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)等于AB邊上線段總條數(shù)，即長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：4+

17、3+2+1=10（個(gè)）.圖（）中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條。 BC邊上共有線段：2+1（條），把AB邊上的每一條線段作為長(zhǎng)，BC邊上每一條線段作為寬，每一個(gè)長(zhǎng)配一個(gè)寬，就組成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以圖（）中共有長(zhǎng)方形為：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（個(gè)）.圖（）中，依據(jù)計(jì)算圖（）中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的方法：可得長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（個(gè)）.知識(shí)小結(jié)：一般情況下，對(duì)于類似圖（）的圖形中所包含的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，我們就可以用外圍大長(zhǎng)方形中：長(zhǎng)邊上的線段總條數(shù)×寬邊上的線段總條數(shù)，求得。五、數(shù)正方形例6、如下

18、圖，數(shù)一數(shù)圖中包含的正方形個(gè)數(shù)？分析與解：為方便起見(jiàn),我們把小正方形的邊長(zhǎng)設(shè)為1,則正方形的邊長(zhǎng)可分別為1、2、3、4、5，我們可以借助分類的思想來(lái)數(shù)，按大小不同將圖形中正方形分為如下幾類：    邊長(zhǎng)為1的正方形有25個(gè)；    邊長(zhǎng)為2的正方形組成的正方形有16個(gè)；  邊長(zhǎng)為3的正方形組成的正方形有9個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形組成的正方形有4個(gè)；邊長(zhǎng)為5的正方形組成的正方形有1個(gè)；正方形總數(shù)：25+16+9+4+1=55個(gè).例7在下圖中，包含“*”號(hào)的長(zhǎng)方形和正方形共有多少個(gè)？分析與解：按包含的小塊分類計(jì)數(shù)。包含1小塊的有1個(gè)；包含2小塊的有4個(gè)；包含3小塊的有4個(gè)；包含4小塊的有7個(gè)；包含5小塊的有2個(gè)；包含6小塊的有6個(gè)；包含8小塊的有4個(gè)；包含9小塊的有3個(gè)；包含10小塊的有2個(gè)；包含12小塊的有4個(gè)；包含15小塊的有2個(gè)。所以共39(個(gè))。六、練習(xí)題1、數(shù)一數(shù)下圖中共有多少條線段？    2、 數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個(gè)三角形？    3、數(shù)出下圖中銳角的個(gè)數(shù)。    4、數(shù)一數(shù)下