三年級奧數(shù)教材之數(shù)圖形

1、三年級奧數(shù)教材第六講之數(shù)圖形第六講 數(shù)圖形采用鮮艷的顏色，從最簡單的視覺角度入手，用心理學的方法讓你對數(shù)圖形感興趣，并愛上它。知識要點：同學們，在數(shù)圖形時，一定要按順序仔細數(shù)，如果給圖形編個號，這樣數(shù)起來就更方便，不會重復(fù)，也不會遺漏。例1 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個三角形？          這樣想： 數(shù)之前，先將每個圖形編號，編好后，先數(shù)單個三角形1、4、3號，共3個。再數(shù)兩個圖形合成的三角形，1+2號，2+3號，3+4號，4+1號，按順序兩個兩個合并，共4個三角形。最后數(shù)由1+2+3+4號組成的大三角形，有

2、1個。所以3+4+1=8，共8個三角形。例2 數(shù)一數(shù)圖中有西紅柿的正方形有幾個？              這樣想：先數(shù)單個正方形，有西紅柿的正方形有1個。再數(shù)四個正方形合成的大正方形，有西紅柿的大正方形有4個。最后數(shù)由9個小正方形組成的大正方形，有1個。所以1+4+1=6，有西紅柿的正方形共6個。例3 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個正方形？          

3、0;    這樣想：先數(shù)單個正方形1、2、3、4、5、6號，共6個。再數(shù)四個正方形合成的大正方形，1+2+4+5號，2+3+5+6號，按順序四個四個合并，共2個正方形。所以6+2=8，共8個正方形。例4 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個正方形？               這樣想： 先數(shù)小正方形，共4個。再數(shù)稍大的正方形，共5個。最后數(shù)大正方形，有1個。4+5+1=10，所以圖中共有10個正方形。例5 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個

4、圓形？             這樣想：先數(shù)小圓，共5個。再數(shù)大圓有1個。圖中共有6個圓。 數(shù)圖形晚飯過后，媽媽給小小出了一道“試眼力”的題目：數(shù)數(shù)窗戶上一共有多少個正方形。小小一看，立即回答：“窗戶上一共有6個正方形?！眿寢屝α?，爸爸在一旁也笑了，小小給弄了個“丈二和尚莫不著頭腦”。小朋友，你知道小小的爸爸媽媽為什么笑嗎？小小數(shù)得難道不對嗎？如果不對，那么窗戶上究竟有幾個正方形呢？下面我們就一起來研究數(shù)圖形的問題。典型例題例【6】 下圖中有多少條線段？分析 我們把圖中的線段

5、AB、BC、CD、DE看作是基本線段，那么：由1條基本線段構(gòu)成的線段有AB、BC、CD、DE 4條；由2條基本線段構(gòu)成的線段有AC、BD、CE 3條；由3條基本線段構(gòu)成的線段有AD、BE 2條；由4條基本線段構(gòu)成的線段有AE 1條。另外，我們還可以從線段的兩個端點出發(fā)去數(shù)：以A為左端點的線段有AB、AC、AD、AE 4條；以B為左端點的線段有BC、BD、BE 3條；以C為左端點的線段有CD、CE 2條；以D為左端點的線段有DE 1條。解 432110（條）所以圖中有10條線段。例【7】 下面圖形中有幾個角？分析 我們把圖中的 AOB、 BOC、 COD看作基本角，那么：由1個基本角構(gòu)成的角有

6、AOB、 BOC、 COD 3個；由2個基本角構(gòu)成的角有 AOC、 BOD 2個；由3個基本角構(gòu)成的角有 AOD 1個。我們也可以從角的兩條邊出發(fā)來數(shù)：以O(shè)A為一邊的角有 AOB、 AOC、 AOD 3個；以O(shè)B為一邊的角有 BOC、 BOD 2個；以O(shè)C為一邊的角有 COD 1個。解 3216（個）所以圖中有6個角。例【8】 下圖中共有多少個三角形？分析 我們把圖中 ABC、 ACD、 ADE看作基本三角形，那么：由1個基本三角形構(gòu)成的三角形有 ABC、 ACD、 ADE；由2個基本三角形構(gòu)成的三角形有 ABD、 ACE；由3個基本三角形構(gòu)成的三角形有 ABE。解 3216（個）所以圖中有6

7、個三角形。例【9】 下圖中有多少個正方形？分析 我們把最短的一條線段如AB看作基本線段，那么：邊長為1條基本線段的正方形有9個；邊長為2條基本線段的正方形有4個；邊長為3條基本線段的正方形有1個。解 94114（個）所以圖中有14個正方形。例【10】 數(shù)一數(shù)圖中共有多少個三角形？分析 我們可以將圖形分成上面三個部分來數(shù)：在圖1中，一共有5432115（個）三角形；在圖2中，一共有5432115（個）三角形；在圖3中，一共有5個三角形。解 1515535（個）所以圖中一共有35個三角形。小結(jié) 要想正確數(shù)出圖形的個數(shù)，關(guān)鍵是從基本圖形入手：（1） 弄清楚圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個。（2）

8、 從各圖形中所包含基本圖形的個數(shù)多少出發(fā)，依次數(shù)出它們的個數(shù)，并求出它們的和是多少。（3） 有些圖形被分成樂幾個部分，可以先從各部分的基本圖形出發(fā)，數(shù)出所含圖形的個數(shù)，再求各部分的總和。課后練習：數(shù)出某種圖形的個數(shù)是一類有趣的圖形問題。數(shù)圖形雖然很簡單，但重復(fù)計數(shù)和遺漏是經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤，在細心的同時還要掌握一定的方法和技巧。幾何中的計數(shù)問題包括：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長方形、數(shù)正方形、數(shù)三角形、數(shù)綜合圖形等。通過這一講的學習，可以幫助我們養(yǎng)成按照一定順序去觀察、去思考問題的良好習慣，同時提高我們通過觀察、思考去探尋事物規(guī)律的能力。要想有條理、不重復(fù)、不遺漏地數(shù)出所要圖形的個數(shù)，最常用的方法就是分類數(shù)

9、。一、數(shù)線段我們把直線上兩點間的部分稱為線段，這兩個點稱為線段的端點.線段是組成三角形、正方形、長方形、多邊形等最基本的元素。因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯(lián)系，對于了解圖形、分析圖形是很重要的。例1、 數(shù)一數(shù)，圖中有多少條線段？分析與解：如果我們按照一定的順序從左往右數(shù)，就會發(fā)現(xiàn)：以A點為共同端點的線段有：AB AC AD AE AF 5條；以B點為共同端點的線段有：BC BD BE BF 4條；以C點為共同左端點的線段有：CD CE CF

10、 3條；以D點為共同左端點的線段有：DE DF 2條；以E點為共同左端點的線段有：EF 1條；總數(shù)為：5+4+3+2+1=15條。用圖示法表示更為直觀明了，如右圖。想一想：由例1可知，一條線段AF上有六個點，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線段。由此猜想如下規(guī)律（見右圖）：               還可以一直找下去，并且通過實際去按順序數(shù)，經(jīng)過驗證后，能從中得出這樣一個結(jié)論：當一個圖形中包含的所有線段都

11、在同一條直線上時，線段總條數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比圖形中的總端點數(shù)少1.如果我們把相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那么線段的總條數(shù)也是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本線段的條數(shù)（見下圖）?；揪€段數(shù)   線段總條數(shù)                            &

12、#160;是不是存在這樣的規(guī)律，同學們可以自己再舉些例子試試看。二、數(shù)角例2、 數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個角？分析與解：通過觀察，我們可以知道，圖中包含的所有角都具有O點這一共同端點。如果我們按照一定的順序數(shù)，就會發(fā)現(xiàn)：以射線OA為角的一邊的角有：AOB，AOC，AOD，AOE，AOF共5個；以射線OB為角的一邊的角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4個；（不包括已經(jīng)數(shù)過的AOB，即數(shù)過的不算，下同）以射線OC為角的一邊的角有：COD，COE，COF共3個；以射線OD為角的一邊的角有：DOE，DOF共2個；以射線OE為角的一邊的角有：EOF 1個.角的總數(shù)：5+4+3+2+1

13、15（個）.數(shù)的過程用圖示法表示如下：想一想：由例2可知：由一點引出6條射線，所組成的角的總數(shù)為：5+4+3+2+1（個），由此猜想出如下規(guī)律：（見下圖）由一點引出的兩條射線組成1個角：由一點引出的三條射線組成2+1=3個角：由一點引出的四條射線組成3+2+1=6個角：由一點引出的五條射線組成4+3+2+1=10個角：                    還可以一直找下去，并且通過實際去按順序數(shù)

14、，經(jīng)過驗證后，能從中得出這樣一個結(jié)論：角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比圖形中射線的總條數(shù)少1。與數(shù)線段有類似的地方，即為：如果把相鄰兩條射線所組成的角叫做基本角，那么角的總數(shù)也是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，而其中最大的自然數(shù)等于基本角個數(shù).注意，例1和例2的情況極其相似。雖然例1是關(guān)于線段的，例2是關(guān)于角的，但求總數(shù)時，它們有同樣的數(shù)學表達式。同學們也可以看出，一個數(shù)學式子可以表達表面上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學的魔力。三、數(shù)三角形例3、 數(shù)出下面圖中三角形的個數(shù)。    分析與解：仔細觀察圖形，我們可以

15、發(fā)現(xiàn)，圖形中所構(gòu)成的每個三角形，都有兩條邊是由A點引出的，而第三條邊不在線段BC就在線段DE上，并且通過我們?nèi)グ错樞驍?shù)，會發(fā)現(xiàn)BC和DE上有多少條線段就對應(yīng)有多少個三角形，這樣我們就可以把數(shù)三角形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)線段的問題了。根據(jù)例1可知，BC邊上的線段有15條，那么，以BC邊上的線段作為第三邊的三角形就有15個。同理，DE邊上的線段也有15條，以DE邊上的線段作為第三邊的三角形也有15個。所以，圖中共有三角形15×2=30（個）例4、數(shù)出下圖中三角形的個數(shù)。  分析與解：明顯地，這個圖形不具有例3中三角形的特點，所以例3中的解法不適合此題，為了便于數(shù)出三角形的個數(shù)，

16、我們可以用分類的方法來數(shù)。怎樣分類呢？可以按三角形的構(gòu)成來進行分類，為了敘述方便，我們把圖中三角形編上號碼，如圖所示。    明顯的，由1個三角形構(gòu)成的三角形有6個。由2個三角形構(gòu)成的三角形有2個，即（1，2），（4，5）由3個三角形構(gòu)成的有4個，即（1，2，3），（4，5，6），（6，1，2），（3，4，5）所以，此圖中共有三角形：624=12（個）四、數(shù)長方形例5、如下圖，數(shù)一數(shù)各圖中包含的長方形個數(shù)？分析與解：圖（）中長方形的個數(shù)與AB邊上所分成的線段的條數(shù)有關(guān)，每一條線段對應(yīng)一個長方形，所以長方形的個數(shù)等于AB邊上線段總條數(shù)，即長方形個數(shù)為：4+

17、3+2+1=10（個）.圖（）中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條。 BC邊上共有線段：2+1（條），把AB邊上的每一條線段作為長，BC邊上每一條線段作為寬，每一個長配一個寬，就組成一個長方形，所以圖（）中共有長方形為：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（個）.圖（）中，依據(jù)計算圖（）中長方形個數(shù)的方法：可得長方形個數(shù)為：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（個）.知識小結(jié)：一般情況下，對于類似圖（）的圖形中所包含的長方形的個數(shù)，我們就可以用外圍大長方形中：長邊上的線段總條數(shù)×寬邊上的線段總條數(shù)，求得。五、數(shù)正方形例6、如下

18、圖，數(shù)一數(shù)圖中包含的正方形個數(shù)？分析與解：為方便起見,我們把小正方形的邊長設(shè)為1,則正方形的邊長可分別為1、2、3、4、5，我們可以借助分類的思想來數(shù)，按大小不同將圖形中正方形分為如下幾類：    邊長為1的正方形有25個；    邊長為2的正方形組成的正方形有16個；  邊長為3的正方形組成的正方形有9個；邊長為4的正方形組成的正方形有4個；邊長為5的正方形組成的正方形有1個；正方形總數(shù)：25+16+9+4+1=55個.例7在下圖中，包含“*”號的長方形和正方形共有多少個？分析與解：按包含的小塊分類計數(shù)。包含1小塊的有1個；包含2小塊的有4個；包含3小塊的有4個；包含4小塊的有7個；包含5小塊的有2個；包含6小塊的有6個；包含8小塊的有4個；包含9小塊的有3個；包含10小塊的有2個；包含12小塊的有4個；包含15小塊的有2個。所以共39(個)。六、練習題1、數(shù)一數(shù)下圖中共有多少條線段？    2、 數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個三角形？    3、數(shù)出下圖中銳角的個數(shù)。    4、數(shù)一數(shù)下