GM模型適用范圍

1、6.5 GM(1,1)模型的適用范圍鄧聚龍教授對GM(1,1)模型作了十分深入的研究，得到了GM(1,1)模型的多種不同形式。主要有：（1）（2）（3）（4）（5），；（6）（7）（8）（9）（10），k>3（11）（12）（13）命題 當(dāng)時(shí)，GM(1,1)模型無意義。證明 采用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，有 當(dāng)時(shí)，無法確定模型參數(shù)，故此GM(1,1)模型無意義。命題 當(dāng)GM(1,1)發(fā)展系數(shù)時(shí)，GM(1,1)模型無意義。證明 由GM(1,1)表達(dá)式 可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)|>2時(shí)，為常數(shù)，而隨著k的奇偶性不同而改變符號(hào)，因此隨著k的奇偶性不同而變號(hào)。由以上討論可知是GM(1,1)發(fā)

2、展系數(shù)的禁區(qū)。當(dāng)時(shí)，GM(1,1)模型失去意義。一般地，當(dāng)|<2時(shí)，GM(1,1)模型有意義。但隨著的不同取值，預(yù)測效果也不同。對于2<<0，即發(fā)展系數(shù)<<的情形，我們分別取=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.5,1.8等進(jìn)行模擬分析。取k=0,1,2,3,4,5,由可得如下數(shù)列：=0.1,=(1,1.1051,1.2214,1.3499,1.4918,1.6487) =0.2，=(1,1.2214,1.4918,1.8221,2.2255,2.7183) =0.3, =(1,1.3499,1.8221,2.4596,3.3201,4.4

3、817) =0.4, =(1,1.4918,2.225,3.3201,4.9530,7.3890) =0.5, =(1,1.6487,2.7183,4.4817,7.3890,12.1825) =0.6, =(1,1.8821,3.3201,6.0496,11.0232,20.0855) =0.8, =(1,2.2255,4.9530,11.0232,24.5325,54.5982) =1, =(1,2.7183,7.3890,20.0855,54.5982,148.4132) =1.5, =(1,4.4817,20.0855,90.0171,403.4288,1808.0424) =1.8,

4、 =(1,6.0496,36.5982,221.4064,1339.4308,8103.0839)分別以，為原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的時(shí)間響應(yīng)式：由，得，由于GM(1,1)模型中為均值生成，對于增長序列，具有弱化其增長趨勢的作用。指數(shù)序列建立GM(1,1)發(fā)展系數(shù)減小。比較原始序列與模擬序列的誤差（見表）。表模擬誤差發(fā)展系數(shù)平均相對誤差 0.1 0.004 0.104% 0.2 0.010 0.499% 0.3 0.038 1.300% 0.4 0.116 2.613% 0.5 0.307 4.520% 0.6 0.741 7.074% 0.8 3.603 14.156% 1 1

5、4.807 23.544% 1.5 317.867 51.033% 1.8 1632.240 65.454%可以看出，隨著發(fā)展系數(shù)的增大，模擬誤差迅速增加。當(dāng)發(fā)展系數(shù)小于或等于0.3時(shí)，模擬精度可以達(dá)到98%以上，發(fā)展系數(shù)小于或等于0.5時(shí)，模擬精度可以達(dá)到95%以上，發(fā)展系數(shù)大于1，模擬精度低于70%，發(fā)展系數(shù)大于1.5，模擬精度低于50%。 進(jìn)一步考察1步，2步，5步，10步預(yù)測誤差（見表） 表預(yù)測誤差0.10.20.30.40.50.60.811.51.81步誤差0.129%0.701%1.998%4.317%7.988%13.405%31.595%65.117%2步誤差0.137%0.

6、768%2.226%4.865%9.091%15.392%36.979%78.113%5步誤差0.160%0.967%2.912%6.529%12.468%21.566%54.491%10步誤差0.855%1.301%4.067%9.362%18.330%32.599%88.790% 可以看出，當(dāng)發(fā)展系數(shù)小于0.3時(shí)，1步預(yù)測精度在98%以上，2步和5步預(yù)測精度都在97%以上；當(dāng)0.3<0.5時(shí)，1步和2步預(yù)測精度皆在90%以上，10步預(yù)測精度亦高于80%；當(dāng)發(fā)展系數(shù)大于0.8時(shí)，1步預(yù)測精度已低于70%。表中的橫線表示誤差已大于100%。通過以上分析，可得下述結(jié)論：（1）當(dāng)0.3時(shí)，GM(1,1)可用于中長期預(yù)測；（2）當(dāng)0.3<0.5時(shí)，GM(1,1)可用于短期預(yù)測，中長