小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之分解質(zhì)因數(shù)法

1、第一章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之分解質(zhì)因數(shù)法通過把一個(gè)合數(shù)分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上質(zhì)因數(shù)，來解答應(yīng)用題的解題方法叫做分解質(zhì)因數(shù)法。分解質(zhì)因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)有用，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應(yīng)用。分解質(zhì)因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學(xué)問題提供新穎的解法，有益于開辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。例1 一塊正方體木塊，體積是1331立方厘米。這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是多少厘米？（適于六年級(jí)程度）解：把1331分解質(zhì)因數(shù)：1331=11×11×11答：這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是11厘米。例2 一個(gè)數(shù)的平方等于324，求這個(gè)數(shù)。（適于六年級(jí)程度）解：把324分解

2、質(zhì)因數(shù)：324= 2×2×3×3×3×3=（2×3×3）×（2×3×3）=18×18答：這個(gè)數(shù)是18。例3 相鄰兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是462，求這兩個(gè)數(shù)。（適于六年級(jí)程度）解：把462分解質(zhì)因數(shù)：462=2×3×7×11=（3×7）×（2×11）=21×22答：這兩個(gè)數(shù)是21和22。*例4 ABC×D=1673，在這個(gè)乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數(shù)字，ABC是一個(gè)三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)？（適于

3、六年級(jí)程度）解：因?yàn)锳BC×D=1673，ABC是一個(gè)三位數(shù)，所以可把1673分解質(zhì)因數(shù)，然后把質(zhì)因數(shù)組合成一個(gè)三位數(shù)與另一個(gè)數(shù)相乘的形式，這個(gè)三位數(shù)就是ABC所代表的數(shù)。1673=239×7答：ABC代表239。例5 一塊正方形田地，面積是2304平方米，這塊田地的周長(zhǎng)是多少米？（適于六年級(jí)程度）解：先把2304分解質(zhì)因數(shù)，并把分解后所得的質(zhì)因數(shù)分成積相同的兩組質(zhì)因數(shù)，每組質(zhì)因數(shù)的積就是正方形的邊長(zhǎng)。2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3=（2×2×2&

4、#215;2×3）×（2×2×2×2×3）=48×48正方形的邊長(zhǎng)是48米。這塊田地的周長(zhǎng)是：48×4=192（米）*例6 有3250個(gè)桔子，平均分給一個(gè)幼兒園的小朋友，剩下10個(gè)。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個(gè)。求這個(gè)幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級(jí)程度）解：3250-10=3240（個(gè)）把3240分解質(zhì)因數(shù)：3240=23×34×5接近40的數(shù)有36、37、38、39這些數(shù)中36=22×32，所以只有36是3240的約數(shù)。23×34×5÷（2

5、2×32）=2×32×5=90答：這個(gè)幼兒園有90名小朋友。*例7 105的約數(shù)共有幾個(gè)？（適于六年級(jí)程度）解：求一個(gè)給定的自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，可先將這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后按一個(gè)質(zhì)數(shù)、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積逐一由小到大寫出，再求出它的個(gè)數(shù)即可。因?yàn)椋?05=3×5×7，所以，含有一個(gè)質(zhì)數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個(gè)；含有兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5、3×7、5×7共3個(gè)；含有三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5×7共1個(gè)。所以，105的約數(shù)共有4+3+1=8個(gè)。答略。*例8 把15、22、30、35、

6、39、44、52、77、91這九個(gè)數(shù)平均分成三組，使每組三個(gè)數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少？（適于六年級(jí)程度）解：將這九個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)：15=3×5 22=2×11 30=2×3×5 35=5×7 39=3×1344=2×2×11 52=2×2×13 77=7×11 91=7×13觀察上面九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)，不難看出，九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)中共有六個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)5，三個(gè)7，三個(gè)11，三個(gè)13，這樣每組中三個(gè)數(shù)應(yīng)包括的質(zhì)因數(shù)有兩個(gè)2，一個(gè)3，一個(gè)5，一個(gè)7，一個(gè)11和一個(gè)13。

7、由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是：15、52和77；22、30和91；35、39和44。*例9 有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲，他們的年齡數(shù)相乘的積是5040。四個(gè)學(xué)生的年齡分別是幾歲？（適于六年級(jí)程度）解：把5040分解質(zhì)因數(shù)：5040=2×2×2×2×3×3×5×7由于四個(gè)學(xué)生的年齡一個(gè)比一個(gè)大1歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)。用八個(gè)質(zhì)因數(shù)表示四個(gè)連續(xù)自然數(shù)是：7，2×2×2，3×3，2×5即四個(gè)學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。答略。*例10 在等式3

8、5×（    ）×81×27=7×18×（    ）×162的兩個(gè)括號(hào)中，填上適當(dāng)?shù)淖钚〉臄?shù)。（適于六年級(jí)程度）解：將已知等式的兩邊分解質(zhì)因數(shù)，得：5×37×7×（    ）=22×36×7×（    ）把上面的等式化簡(jiǎn)，得：15×（    ）=4×（    ）所以，在左邊的括號(hào)

9、內(nèi)填4，在右邊的括號(hào)內(nèi)填15。15×（4）=4×（15）*例11 把84名學(xué)生分成人數(shù)相等的小組（每組最少2人），一共有幾種分法？（適于六年級(jí)程度）解：把84分解質(zhì)因數(shù)：84=2×2×3×7除了1和84外，84的約數(shù)有：2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進(jìn)行分組。84÷2=42（組），84÷3=28（組），84÷4

10、=21（組），84÷6=14（組），84÷7=12（組），84÷12=7（組），84÷14=6（組），84÷21=4（組），84÷28=3（組），84÷42=2（組）。因此每組2人分42組；每組3人分28組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個(gè)數(shù)分成兩組，每組四個(gè)數(shù)，要使各組數(shù)中四個(gè)數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。（適于六年級(jí)程度）

11、解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個(gè)因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質(zhì)因數(shù)，它們所含有的質(zhì)因數(shù)一定相同。因此，首先應(yīng)把八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。14=2×7        143=11×1330=2×3×5    169=13×1333=3×11       4445=5×7×12775=3×5×5    49

12、53=3×13×127在上面的質(zhì)因式中，質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有2個(gè)，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有4個(gè)。在把題中的八個(gè)數(shù)分為兩組時(shí)，應(yīng)使每一組中的質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有1個(gè)，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有2個(gè)。按這個(gè)要求每一組四個(gè)數(shù)的積應(yīng)是：2×7×11×127×3×3×5×5×13×13因?yàn)?，?×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143

13、×4953，根據(jù)接下來為“14、75、143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953，另一組的四個(gè)數(shù)是：30、33、169、4445。答略。*例13 一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是315平方厘米，長(zhǎng)比寬多6厘米。求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。（適于五年級(jí)程度）解：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x厘米，則長(zhǎng)為（x+6）厘米。根據(jù)題意列方程，得：x（x+6）= 315x（x+6）=3×3×5×7=（3×5）×（3×7）x（x+6）=15×21x（x+6）=15×（15+6）x=15x+6=21答：這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是

14、21厘米，寬是15厘米。*例14 已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為210，求這三個(gè)自然數(shù)各是多少？（適于五年級(jí)程度）解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是x-1，x，x+1，根據(jù)題意列方程，得：（x-1）×x×（x+1）=210=21×10=3×7×2×5=5×6×7比較方程兩邊的因數(shù)，得：x=6，x-1=5，x+1=7。答：這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。*例15 將37分為甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，使甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的乘積為1440，并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？（適于六年級(jí)程度）解：把1440分解質(zhì)因數(shù)：

15、1440= 12×12×10=2×2×3×2×2×3×2×5=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）=8×9×20如果甲、乙二數(shù)分別是8、9，丙數(shù)是20，則：8×9=72，20×3+12=72正符合題中條件。答：甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是8、9、20。*例16 一個(gè)星期天的早晨，母親對(duì)孩子們說：“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和？”兒子們齊聲回答說：“是的，我們的年齡和您年齡的乘積，等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10?！睆倪@次談話中，你能否確定母親在多大時(shí)，才生下第二個(gè)兒子？（適于六年級(jí)程