奧數(shù)長(zhǎng)方體正方體綜合

1、 長(zhǎng)方體與正方體綜合 知識(shí)框架如右圖，長(zhǎng)方體共有六個(gè)面(每個(gè)面都是長(zhǎng)方形)，八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱在六個(gè)面中，兩個(gè)對(duì)面是全等的，即三組對(duì)面兩兩全等(疊放在一起能夠完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形)長(zhǎng)方體的表面積和體積的計(jì)算公式是：長(zhǎng)方體的表面積：；長(zhǎng)方體的體積：正方體是各棱相等的長(zhǎng)方體，它是長(zhǎng)方體的特例，它的六個(gè)面都是正方形如果它的棱長(zhǎng)為，那么：，長(zhǎng)方體與正方體的體積立體圖形的體積計(jì)算常用公式：立體圖形示例體積公式相關(guān)要素長(zhǎng)方體三要素：、二要素：、正方體一要素：二要素：、不規(guī)則形體的體積常用方法：化虛為實(shí)法切片轉(zhuǎn)化法先補(bǔ)后去法實(shí)際操作法畫圖建模法例題精講【例 1】 有一個(gè)3×4×

2、5的長(zhǎng)方體，先把其中相鄰的兩個(gè)面染紅，再把它切成60個(gè)1×1×1的小正方體，請(qǐng)問：這些小正方體中最多有多少個(gè)是恰有一個(gè)面被染紅的？【例 1】 有6個(gè)一樣的棱長(zhǎng)分別是3厘米、4厘米、5厘米的長(zhǎng)方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長(zhǎng)方體只有1個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有2個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有3個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有4個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有5個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長(zhǎng)方體6個(gè)面都是紅色的，染色后把所有長(zhǎng)方體分割成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最多有多少個(gè)？【例 2】 將16個(gè)一樣的小正方形拼成一個(gè)體積為16平方厘米的長(zhǎng)方體，將表面涂

3、漆，然后分開，結(jié)果，其中2面涂漆的小正方體有8個(gè)，那么3面涂漆的小正方體有_個(gè)，4面涂漆的小正方體有_個(gè)?！纠?2】 把一個(gè)大長(zhǎng)方體木塊表面上涂滿紅色后，分割成若干個(gè)同樣大小的小正方體，其中恰好有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，那么至少要把這個(gè)大長(zhǎng)方體分割成多少個(gè)小正方體？【例 3】 棱長(zhǎng)是厘米（為整數(shù)）的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體至少有一面紅色的小正方體個(gè)數(shù)和表面沒有紅色的小正方體個(gè)數(shù)的比為，此時(shí)的最小值是多少?【例 3】 把一個(gè)大長(zhǎng)方體木塊表面上涂滿紅色后，分割成若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，其中恰有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是2005塊。大長(zhǎng)方體體

4、積的最小值是?！纠?4】 把正方體的六個(gè)表面都劃分成4個(gè)相等的正方形用紅色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形不能同時(shí)染上紅色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個(gè)？【例 4】 把正方體的六個(gè)表面都劃分成9個(gè)相等的正方形用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個(gè)？【例 5】 用若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體鐵塊焊接成的幾何體，從正面，側(cè)面，上面看到的視圖均為2×2的正方形，那么這個(gè)幾何體至少由個(gè)小正方體鐵塊焊接而成?！纠?5】 用棱長(zhǎng)為1的小立方體粘合而成的立體，從正面、側(cè)面、上面看到的視圖均如下圖所示，那么粘成這個(gè)立體最多需

5、要塊小立方體【例 6】 第9屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽總決賽于2004年5月10日在舉行，的選手們用個(gè)大小一樣的小正方體木塊粘貼成了一個(gè)從正面看是2004，從左面看是9的模型(如圖)問：最大為多少？最小為多少? 【例 6】 用一些棱長(zhǎng)是1的小正方體碼放成一個(gè)立體圖形，從上向下看這個(gè)立體圖形，如下圖，從正面看這個(gè)立體圖形，如下圖，則這個(gè)立體圖形的表面積最多是_【例 7】 用6個(gè)如圖甲所示的小長(zhǎng)方體拼成一個(gè)如圖乙所示的大長(zhǎng)方體，已知小長(zhǎng)方體的體積是8立方厘米，則大長(zhǎng)方體的表面積是平方厘米?！纠?7】 用九個(gè)如圖甲所示的小長(zhǎng)方體拼成一個(gè)如圖乙所示的大長(zhǎng)方體，已知小長(zhǎng)方體的體積是750立方厘米，則大長(zhǎng)

6、方體的表面積是平方厘米?！纠?8】 現(xiàn)有一長(zhǎng)40厘米、寬20厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，請(qǐng)你用它做一只深是5厘米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋鐵皮盒(焊接處與鐵皮厚度不計(jì)，容積越大越好)，你做出的鐵皮盒容積是多少立方厘米?【例 8】 如圖，剪一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型(沿虛線折，沿實(shí)線粘)這個(gè)多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？【例 9】 圖中是一個(gè)直三棱柱的表面展開圖，其中，黃色和綠色的部分都是邊長(zhǎng)等于1的正方形問這個(gè)直三棱柱的體積是多少？【例 9】 如圖是一個(gè)四棱錐的展開圖，該展開圖由正三角形和正方形構(gòu)成，其中正方形的面積為8平方厘米，那么該四棱錐的體積為多少？【例 10】 如圖左邊為某個(gè)容器的展開圖，

7、右邊的正六邊形是該容器的蓋子，該容器所有表面都是正多邊形(正方形、正三角形、正六邊形)，其中正方形的面積為18，那么該容器的容積為多少？【例 10】 圖和圖是以正方形和等邊三角形為面的立體圖形的展開圖，圖中所有的邊長(zhǎng)都一樣請(qǐng)問：圖能圍起來(lái)的立體圖形的體積是圖能圍起來(lái)的立體圖形的體積的幾倍？ 圖 圖課堂檢測(cè)【隨練1】 把一個(gè)大長(zhǎng)方體木塊表面上涂滿紅色后，分割成若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，其中恰有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是2005塊。大長(zhǎng)方體體積的最小值是?！倦S練2】 將1，2，3，4，5，6分別寫在正方體六面上，使正方體中對(duì)面數(shù)字的和相等。正方體如圖放置在A格上，沿格子滾動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在正方體右

8、面的數(shù)字是_.【隨練3】 有很多白色或黑色的棱長(zhǎng)是的小正方體取其中的27個(gè)，拼成一個(gè)棱長(zhǎng)是的大正方體，每一面都各用2個(gè)黑色的小正方體拼成了一樣的圖案。見例圖例圖中正方體的每一面的圖案都一樣，因此，用8個(gè)或9個(gè)黑色小正方體就可拼成這樣的大正方體除例圖的圖案之外，還可以拼成每面的圖案都一樣的大正方體問：在下圖的中找出可以拼成每面都一樣的圖案問：在問中，可以按要求拼成的大正方體各用幾個(gè)黑色小正方體？最多的用幾個(gè)？最少的用幾個(gè)？例圖 【隨練4】 右圖中的是同樣的小等邊三角形，也是等邊三角形且邊長(zhǎng)為的2倍，是同樣的等腰直角三角形，是正方形那么，以為平面展開圖的立體圖形的體積是以為平面展開圖的立體圖形體積的倍家庭作業(yè)作業(yè)檢測(cè)【作業(yè)1】 三個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)總和是288厘米，每個(gè)長(zhǎng)方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，給這三個(gè)長(zhǎng)方體涂色，一個(gè)涂一面，一個(gè)涂?jī)擅?，一個(gè)涂三面涂色后把三個(gè)長(zhǎng)方體都切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)？【作業(yè)2】 用若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體鐵框架焊接成的幾何體，從正面、側(cè)面、上面看到的視圖均如圖5所示。那么這個(gè)幾何體至少是個(gè)小正方體鐵框架焊接而成?！咀鳂I(yè)3】 選項(xiàng)中有4個(gè)立方體，其中是用左邊圖形折成的是( )【作業(yè)4】 把11塊一樣的長(zhǎng)方體的磚拼成如圖所示的大長(zhǎng)方體，已知每塊磚的體積是，則大長(zhǎng)方體的表面積為多