初三數(shù)學(xué)相似三角形典例及練習(xí)

1、相似三角形(一相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn),同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn),本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是:1. 理解線段的比、成比例線段的概念,會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長(zhǎng)或 兩線段的比,了解黃金分割。2. 會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明,會(huì)分線段成已知比。 3. 能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。 4. 能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問(wèn)題本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。 本節(jié)的難點(diǎn)內(nèi)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。 相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一, 在中考試題中時(shí)常與四邊形、 圓的知識(shí)

2、相結(jié)合 構(gòu)成高分值的綜合題,題型常以填空、選擇、簡(jiǎn)答或綜合出現(xiàn),分值一般在 10%左右,有時(shí) 也單獨(dú)成題,形成創(chuàng)新與探索型試題;有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。(二重要知識(shí)點(diǎn)介紹: 1. 比例線段的有關(guān)概念: 在比例式:中, 、 叫外項(xiàng), 、 叫內(nèi)項(xiàng), 、 叫前項(xiàng), a b cda b c d a d b c a c =( b 、 d 叫后項(xiàng), d 叫第四比例項(xiàng),如果 b=c,那么 b 叫做 a 、 d 的比例中項(xiàng)。把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC ,使 AC 2=AB·BC ,叫做把線段 AB 黃金分割, C 叫做線 段 AB 的黃金分割點(diǎn)。2. 比例性質(zhì): 基本性質(zhì):a b

3、cdad bc = 合比性質(zhì):±±a b c d a b b c d d= 等比性質(zhì): a b c d m n b d n a c m b d n a b=+=( 03. 平行線分線段成比例定理:定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,如圖:l 1 l 2 l 3。 則, , , AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 (或兩邊的延長(zhǎng)線 所得的對(duì)應(yīng)線段成比 例。定理:如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那 么這條直線平行于三角形的第三邊。4. 相似三角形的判定:兩角對(duì)

4、應(yīng)相等,兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似 三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊 對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角形相似平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 (或兩邊的延長(zhǎng)線 相交, 所構(gòu)成的三角形與原 三角形相似直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方【典型例題】例 1. (1在比例尺是 1:8000000的中

5、國(guó)行政區(qū)地圖上,量得 A 、 B 兩城市的距離 是 7.5厘米,那么 A 、 B 兩城市的實(shí)際距離是 _千米。(2小芳的身高是 1.6m ,在某一時(shí)刻,她的影子長(zhǎng) 2m ,此刻測(cè)得某建筑物的影長(zhǎng)是 18米,則此建筑物的高是 _米。例 2. 如圖,已知 DE BC , EF AB ,則下列比例式錯(cuò)誤的是:_ A AD AB AEAC B CE CF EAFB .= C DE BC ADBDD EF AB CF CB. =例 3. 如圖,在等邊 ABC 中, P 為 BC 上一點(diǎn), D 為 AC 上一點(diǎn),且 APD=60°,BP CD ABC =123, ,求 的邊長(zhǎng) 例 4. 如圖:四

6、邊形 ABEG 、 GEFH 、 HFCD 都是邊長(zhǎng)為 a 的正方形, (1求證: AEF CEA (2求證: AFB+ ACB=45°例 5. 已知:如圖,梯形 ABCD 中, AD BC , AC 、 BD 交于點(diǎn) O , EF 經(jīng)過(guò)點(diǎn) O 且和兩底平行, 交 AB 于 E ,交 CD 于F 求證:OE=OF從本例的證明過(guò)程中,我們還可以得到以下重要的結(jié)論: AD EF BC AD BC OE+=111 AD EF BC OE OF EF =12 AD EF BC AD BC OE +=111 =122EF OF 即 112AD BC EF +=這是梯形中的一個(gè)性質(zhì),由此可知,在

7、 AD 、 BC 、 EF 中,已知任何兩條線段的長(zhǎng)度,都 可以求出第三條線段的長(zhǎng)度。例 6. 已知:如圖, ABC 中, AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF AC 于 F 求證: AE AF AC AB例 7. 如圖, D 為 ABC 中 BC 邊上的一點(diǎn), CAD= B , 若 AD=6, AB=8, BD=7, 求 DC 的長(zhǎng)。 例 8. 如圖,在矩形 ABCD 中, E 是 CD 的中點(diǎn), BE AC 于 F ,過(guò) F 作 FG AB 交 AE 于 G , 求證:AG 2=AF·FC例 9. 如圖,在梯形 ABCD 中, AD BC ,若 BCD 的平分線

8、CH AB 于點(diǎn) H , BH=3AH,且四 邊形 AHCD 的面積為 21,求 HBC 的面積。 一、填空題1. 已知 a ba b+-=2295,則 a b:=_2. 若三角形三邊之比為 3:5:7,與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊是 21cm ,則其余兩邊之和 是 _cm3. 如圖, ABC 中, D 、 E 分別是 AB 、 AC 的中點(diǎn), BC=6,則 DE=_; ADE 與 ABC 的面積之比為:_。 4. 已知線段 a=4cm, b=9cm,則線段 a 、 b 的比例中項(xiàng) c 為 _cm。5. 在 ABC 中,點(diǎn) D 、 E 分別在邊 AB 、 AC 上, DE BC ,如果 AD=8,

9、 DB=6, EC=9,那么 AE=_6. 已知三個(gè)數(shù) 1, 2, 3,請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù),使它能構(gòu)成一個(gè)比例式,則這個(gè)數(shù)是_7. 如圖,在梯形 ABCD 中, AD BC , EF BC ,若 AD=12cm, BC=18cm, AE :EB=2:3,則 EF=_8. 如圖,在梯形 ABCD 中, AD BC , A=90°, BD CD , AD=6, BC=10,則梯形的面積為: _二、選擇題1. 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是 3:4,那么它們的對(duì)應(yīng)高的比是 _ A. 9:16 B. :2 C. 3:4 D. 3:72. 在比例尺為 1:m 的某市地圖上,規(guī)劃出長(zhǎng) a 厘米, 寬

10、 b 厘米的矩形工業(yè)園區(qū),該園區(qū) 的實(shí)際面積是 _米 2A. 104mabB.1042mabC.abm104D. abm 2 4 103. 已知，如圖，DEBC，EFAB，則下列結(jié)論： AE BE = EC FC EF DE = AB BC AD AB = BF BC CE EA = CF BF 其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是_ A. 4 個(gè) B. 3 個(gè) C. 2 個(gè) D. 1 個(gè) 4. 如圖，在ABC 中，AB=24，AC=18，D 是 AC 上一點(diǎn)，AD=12，在 AB 上取一點(diǎn) E，使 A、 D、E 三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與ABC 相似，則 AE 的長(zhǎng)是_ A. 16 B. 14 C. 16 或 14 D. 16 或 9 5. 如圖，在 RtABC 中，BAC=90°，D 是 BC 的中點(diǎn)，AEAD，交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E， 則下列結(jié)論正確的是_ A. AEDACB C. BAEACE B. AEBACD D. AECDAC 三、解答題： 1. 如圖，ADEGBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求 GF 的長(zhǎng)。 2. 如圖，ABC 中，D 是 AB 上一點(diǎn)，且 AB=3AD，B=75°，CDB=60°， 6 求證：ABCCBD。 3. 如圖，BE 為ABC 的外接圓 O 的直徑，CD 為ABC 的高， 求證：