例析函數(shù)的最值在解高考題中的應(yīng)用

1、例析函數(shù)的最值在解高考題中的應(yīng)用（ 適合高三）吳強(qiáng)（山東省泰山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 271000）應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力，這是考試大綱物理學(xué)科要考查的能力之一。解物理極值問(wèn)題一般有兩種方法，一種是利用各種數(shù)學(xué)工具的數(shù)學(xué)方法，另一種是通過(guò)分析物理現(xiàn)象的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，抓住物理概念和規(guī)律的特點(diǎn)而求解的物理分析方法。在此，筆者就前者談點(diǎn)教學(xué)中的做法，供參考。例1（08年重慶高考題改編）滑板運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)非常刺激的水上運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，研究表明，在進(jìn)行滑板運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)滑板與水平方向的夾角為（板前端抬起的角度）時(shí)，水對(duì)滑板的作用力FN垂直版面，大小為FN=sv2sin2，式中為水的密度，s為滑板的滑水面積，v為滑板

2、的速度（水可視為靜止）。某次運(yùn)動(dòng)中，在水平牽引力的作用下，滑板做勻速直線運(yùn)動(dòng)，人和滑板的總質(zhì)量為108kg,s=0.12m2,=1.0×103 kg/m3.試求（重力加速度g=10m/s2,忽略空氣阻力，設(shè)滑板是光滑的） 滑板的最小速度； 圖1滑板具有最小速度時(shí)，水平牽引力的大小；滑板具有最小速度時(shí)，水平牽引力的功率。 圖1解析 以人和滑板為研究對(duì)象，其受力分析如圖2所示，有共點(diǎn)力的平衡條件可得： FN cos=mg FNsin=F 而 FN=sv2sin2 有以上三式得v= 圖2 欲求v的最小值，則應(yīng)求sin2cos的最大值，令y=sin2cos 為銳角則 y2=sin4cos2

3、= =當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)函數(shù)y有最大值。將該最大值和題中所給的數(shù)據(jù)代人式得滑板的最小速度 4.84m/s 滑板具有最小速度時(shí)，水平牽引力的大小有式得將tan=和題給數(shù)據(jù)得F=1527N由P=Fv,將F=1527N和4.84m/s代入得滑板具有最小速度時(shí)，水平牽引力的功率為7390W評(píng)析：本題以水上運(yùn)動(dòng)為背景考查了共點(diǎn)力的平衡、力的分解和功率的簡(jiǎn)單計(jì)算。利用不等式的性質(zhì)求極值，這是數(shù)學(xué)中常用的方法。本題的難度在于數(shù)學(xué)的恒等變形，關(guān)鍵在于構(gòu)造出求積的各項(xiàng)和為定值。例2 （07年山東高考題改編）在等量同種電荷連線的中垂線上有A、B兩點(diǎn)，如圖3所示，下列結(jié)論正確的是 A. EAEB,方向相同 圖3

4、B. EA不可能等于EB,且方向相反 C. EA和EB大小可能，但方向相反D. EA和EB有可能大小相等，方向相同 圖3解析 設(shè)兩點(diǎn)電荷間的距離為2a，電荷的電荷量為q, 在等量同種電荷連線的中垂線上有一點(diǎn)p,p點(diǎn)與點(diǎn)電荷的連線與等量同種電荷連線的夾角為，兩電荷在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為E1、E2,根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算公式可得：E1=E2=kqcos2/a2由平行四邊形定則得，p點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為E合=2E1sin=2kqcos2sin/a2欲判斷p點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)的變化，則應(yīng)判斷sincos2的變化情況，為此構(gòu)造函數(shù)y=sincos2,判斷其在（0，/2）區(qū)間內(nèi)的變化情況。令sin=x,這有y=x(1-x2)=x-x3,關(guān)于y對(duì)x求導(dǎo)得：y=1-3x2當(dāng)y/=0時(shí)，x=當(dāng)0時(shí)，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)0時(shí)，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)。即當(dāng)0arcsin時(shí)，E合為單調(diào)遞增函數(shù)，arcsin/2時(shí)， E合單調(diào)遞減函數(shù)。由此可以判斷，從等量同種電荷連線的中點(diǎn)沿著中垂線合場(chǎng)強(qiáng)的大小先增大后減小，由于A、B兩點(diǎn)位置的不確定性，故EA和EB有可能大小相等的，即選