第2章 2.2　2.2.2　橢圓的幾何性質(zhì)

1、.2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)學習目的：1.掌握橢圓的幾何圖形和簡單幾何性質(zhì)重點2.感受如何運用方程研究曲線的幾何性質(zhì)難點3.能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題重點、難點自 主 預 習探 新 知1橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程1ab01ab0范圍axa且bybbxb且aya頂點a,0，0，bb,0，0，a軸長長軸長2a，短軸長2b焦點c,00，c焦距F1F22c對稱性對稱軸x軸、y軸，對稱中心0,0離心率e0e12.橢圓的離心率根底自測1判斷正誤：1橢圓1ab0的長軸長等于a.2橢圓上的點到焦點的間隔 的最小值為ac.3橢圓的離心率e越小，橢圓越

2、圓【解析】1.橢圓1ab0的長軸長等于2a.2.橢圓上的點到焦點的間隔 的最大值為ac，最小值為ac.3.離心率e越小c就越小，這時b就越接近于a，橢圓就越圓【答案】1232橢圓1的離心率是_. 【導學號：95902089】【解析】由方程可知a225，a5，c2a2b225169，c3，e.【答案】合 作 探 究攻 重 難橢圓方程求其幾何性質(zhì)橢圓x2m3y2mm0的離心率e，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標思路探究【自主解答】橢圓方程可化為1.m0，m，即a2m，b2，c.由e得，m1.橢圓的標準方程為x21.a1，b，c.橢圓的長軸長為2，短軸長為1；兩焦點分別為F1，F(xiàn)2

3、；四個頂點分別為A11,0，A21,0，B1，B2.規(guī)律方法用標準方程研究幾何性質(zhì)的步驟跟蹤訓練1求橢圓9x216y2144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標. 【導學號：95902090】【解】把方程化成標準方程1，于是a4，b3，c，橢圓的長軸長和短軸長分別是2a8和2b6，離心率e，兩個焦點坐標分別是，0，0，四個頂點坐標分別是4,0，4,0，0，3，0,3.由橢圓的幾何性質(zhì)求方程1橢圓1ab0的離心率為，點C在橢圓上，那么橢圓的標準方程為_2假設橢圓短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形；且焦點到同側頂點的間隔 為，那么橢圓的標準方程為_思路探究解決問題的關鍵是根據(jù)條件求出a2

4、和b2.【自主解答】1由e得，又c2a2b2，所以得. 又點C在橢圓上得1， 由，解得a29，b25.所以所求橢圓的標準方程為1.2由從而b29，所求橢圓的標準方程為1或1.【答案】1121或1.規(guī)律方法1利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程通常采用待定系數(shù)法2根據(jù)條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準、定參數(shù)，一般步驟是：1求出a2，b2的值；2確定焦點所在的坐標軸；3寫出標準方程跟蹤訓練2直線x2y20過橢圓1的左焦點F1和一個頂點B，那么橢圓的方程為_. 【導學號：95902091】【解析】直線x2y20與x軸的交點為2,0，即為橢圓的左焦點，故c2.直線x2y20與y軸的交點為0,1，即為

5、橢圓的頂點，故b1.故a2b2c25，橢圓方程為y21.【答案】y21求橢圓的離心率1橢圓1ab0的半焦距為c，假設直線y2x與橢圓的一個交點P的橫坐標恰為c，那么橢圓的離心率為_2橢圓上橫坐標等于焦點橫坐標的點，它到x軸的間隔 等于短半軸長的，那么橢圓的離心率為_思路探究1求出點P的坐標，利用點P在橢圓上其坐標滿足橢圓的方程構建關于離心率e的方程，解方程可得離心率2在焦點三角形PF1F2中利用橢圓的定義與勾股定理得到a，b的關系式，可求離心率；或仿照1題的做法也可以求解【自主解答】1依題意有Pc,2c，點P在橢圓上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因為b2a2c2，代入得c46

6、a2c2a40，即e46e210，解得e23232舍去，從而e1.2方法一：設焦點坐標為F1c,0，F(xiàn)2c,0，M是橢圓上一點，依題意設M點坐標為c，b在RtMF1F2中，F(xiàn)1FMFMF，即4c2b2MF，而MF1MF2b2a，整理，得3c23a22ab.又c2a2b2 3b2a.e21，e.法二：設M，代入橢圓方程，得1，即e.【答案】11 2規(guī)律方法求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：假設a，c可直接利用e求解.假設a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解.(2)方程法：假設a，c的值不可求，那么可根據(jù)條件建立a，b，c的關系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關于a

7、，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍.跟蹤訓練3橢圓1ab0的左、右焦點分別是F1、F2，過F1作傾斜角為45的直線與橢圓的一個交點為M，假設MF2垂直于x軸，那么橢圓的離心率為_. 【導學號：95902092】【解析】因為MF2垂直于x軸，MF1F245，所以MF1F2是等腰直角三角形，以MF1為斜邊設MF1mm0，那么MF2F1F2m，又因為F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，所以MF1MF22a，即2a1m，而2cF1F2m，所以e1.【答案】1直線與橢圓的綜合應用探究問題1直線ykxm和橢圓1ab0，如何判斷直線與橢圓

8、的位置關系？【提示】由得a2k2b2x22kma2xa2m2b20，設該二次方程的判別式為，假設0，那么直線與橢圓有兩個交點；假設0，那么直線與橢圓有一個交點；假設0，那么直線與橢圓沒有交點2假如直線與橢圓有兩個交點，那么直線與橢圓交點的橫坐標與探究1中得到的關于x的二次方程有什么關系？【提示】探究1中得到的關于x的二次方程a2k2b2x22kma2xa2m2b20的兩個根分別是直線與橢圓交點的橫坐標3設直線與橢圓有兩個交點為Ax1，y1，Bx2，y2，線段AB的中點為M，那么如何求線段AB的長和M的坐標？【提示】方法一：解方程a2k2b2x22kma2xa2m2b20，可得x1，x2，由yk

9、xm可得y1，y2，即得Ax1，y1，Bx2，y2的坐標，然后利用兩點間間隔 公式和中點坐標公式可求線段AB的長和M的坐標方法二：根據(jù)根與系數(shù)的關系，采取“設而不求思路解決問題即 AB，點M的坐標可直接利用根與系數(shù)的關系求解上述兩種方法，第一種方法運算太過繁瑣，一般采用第二種方法求解此類問題如圖222所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓1ab0的焦距為2，過右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，當l與x軸垂直時，AB長為.圖2221求橢圓的標準方程；2假設橢圓上存在一點P，使得，求直線l的斜率. 【導學號：95902093】【自主解答】1由題意可知2c2，c1，當l與x軸垂直時|AB|，由a2b

10、2c2，得a，b，故橢圓的標準方程是：1.2設直線l的斜率為k，那么直線l的方程：ykx1，設點Ax1，y1，Bx2，y2，Px3，y3由，可得3k22x26k2x3k260，那么x1x2，x1x2.因為那么，代入橢圓方程1，又1，1，化簡得2x1x23y1y230，即3k22x1x23k2x1x23k230將x1x2，x1x2代入得3k263k230，化簡得k22，k，故直線l的斜率為.規(guī)律方法橢圓是圓錐曲線中重要的一種曲線，它可以同其它章節(jié)知識結合考察，如不等式、三角函數(shù)及平面向量，特別是與直線方程，解決這類問題時要注意方程思想、函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想，其中利用方程中根與系數(shù)的關系構造方程或函

11、數(shù)是常用的技巧.跟蹤訓練4橢圓1ab0的離心率為，短軸一個端點到右焦點的間隔 為2.1求該橢圓的方程；2假設P是該橢圓上的一個動點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，求的最大值與最小值【解】1設橢圓的半焦距為c，由題意，且a2，得c，b1，所求橢圓方程為y21.2設Px，y，由1知F1，0，F(xiàn)2，0，那么x，yx，yx2y23x23x22，x2,2，當x0，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值2；當x2，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值1.構建體系當 堂 達 標固 雙 基1中心在原點的橢圓C的右焦點為F1,0，離心率等于，那么C的方程是_. 【導學號：95902094】【解析】由題意知c1，e，所

12、以a2，b2a2c23.故所求橢圓方程為1.【答案】12橢圓1有兩個頂點在直線x2y2上，那么此橢圓的焦點坐標是_【解析】直線x2y2過2,0和0,1點，a2，b1，c，橢圓焦點坐標為，0【答案】，03假設橢圓x2my21的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍那么m的值為_. 【導學號：95902095】【解析】將原方程變形為x21.由題意知a2，b21，a，b1.2，m.【答案】4橢圓1ab0的兩焦點為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，假設橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，那么橢圓的離心率為_【解析】設過左焦點F1的正三角形的邊交橢圓于A，那么AF1c，AF2c，有2a1c，e1.【答案】15當m取何值時，直線l：yxm與橢圓