第3章 3.1 3.1.4　空間向量的直角坐標運算

1、.3.1.4空間向量的直角坐標運算學習目的：1.理解空間向量坐標的定義.2.掌握空間向量運算的坐標表示重點.3.可以利用坐標運算來求空間向量的長度與夾角難點、易混點自 主 預 習探 新 知1空間向量的坐標表示空間直角坐標系及空間向量的坐標1建立空間直角坐標系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量構成空間向量的一個基底i，j，k，這個基底叫做單位正交基底單位向量i，j，k都叫做坐標向量2空間向量的坐標在空間直角坐標系中，任一向量a，根據空間向量分解定理，存在唯一實數組a1，a2，a3，使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，

2、j，k方向上的分向量，有序實數組a1，a2，a3叫做向量a在此直角坐標系中的坐標上式可簡記作aa1，a2，a3考慮1：假設ax1e1ye2ze3，那么a的坐標一定是x，y，z嗎？提示不一定，當e1，e2，e3是單位正交基底時，坐標是x，y，z，否那么不是2空間向量的坐標運算空間向量a，b，其坐標形式為aa1，a2，a3，bb1，b2，b3向量運算向量表示坐標表示加法aba1b1，a2b2，a3b3減法aba1b1，a2b2，a3b3數乘aa1，a2，a3數量積aba1b1a2b2a3b33.空間向量的平行、垂直及模、夾角1設Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2那么x2x1，y2y1，z2z1

3、|.2設aa1，a2，a3，bb1，b2，b3，名稱滿足條件向量表示形式坐標表示形式ababRa1b1，a2b2，a3b3Rabab0a1b1a2b2a3b30模|a|a|夾角cosa，bcosa，b考慮2：假設向量x，y，z，那么點B的坐標是x，y，z嗎？提示不一定A點與原點重合是，不與原點重合那么不是根底自測1考慮辨析1i，j，k是空間直角坐標系Oxyz的坐標向量，并且ijk，那么B點的坐標為1,1，12向量a2，3,1與向量b4,6，2平行3假設向量a1，1,2與向量bx,2，1垂直，那么x4.提示1向量的坐標與B點的坐標不同232向量a3，2,1，b2,4,0，那么4a2b等于A16,

4、0,4B8，16,4C8,16,4D8,0,4D4a2b43，2,122,4,012，8,44,8,08,0,43A2，5,1，B2，2,4，C1，4,1，那么向量與的夾角為_【導學號：33242263】600,3,3，1,1,0，|3，|，3，cos，60.合 作 探 究攻 重 難空間向量的坐標表示與運算1如圖3135，在棱長為1的正方體ABCDABCD中，E、F、G分別為棱DD、DC、BC的中點，以，為基底，求以下向量的坐標圖3135，；，.2空間四點A、B、C、D的坐標分別是1,2,1、1,3,4、0，1,4、2，1，2；假設p，q.求p2q；3pq；pqpq；解1，.，.2由于A1,2

5、,1，B1,3,4，C0，1,4，D2，1，2，所以p2,1,3，q2,0，6p2q2,1,322,0，62,1,34,0，126,1，9；3pq32,1,32,0，66,3,92,0，64,3,15；pqpqp2q2|p|2|q|222123222026226.規(guī)律方法1用坐標表示空間向量的步驟2空間向量進展坐標運算的規(guī)律是首先進展數乘運算，再進展加法或減法運算，最后進展數量積運算，先算括號里，后算括號外提醒：空間向量的坐標運算與平面向量的坐標運算法那么根本一樣，應注意一些計算公式的應用跟蹤訓練1如圖3136所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PAAB

6、1.試建立適當的空間直角坐標系，求向量的坐標圖3136解因為PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，所以，是兩兩垂直的單位向量設e1，e2，e3，以e1，e2，e3為基底建立空間直角坐標系Axyz.因為e2e3，所以.空間向量的平行與垂直探究問題1空間向量的平行與垂直與平面向量的平行與垂直有什么關系？提示1類比平面向量平行、垂直：空間兩個向量平行、垂直與平面兩個向量平行、垂直的表達式不一樣，但本質是一致的2轉化：斷定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對應的方向向量是否平行或垂直2空間中三點共線的充要條件是什么？提示三個點Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2，Cx3，y3，z3共線的充要條

7、件是.簡證：三個點Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2，Cx3，y3，z3共線的充要條件為，即向量與向量共線，其坐標對應成比例，從而有.空間三點A2,0,2，B1,1,2，C3,0,4，設a，b.1假設|c|3，c.求c；2假設kab與ka2b互相垂直，求k.【導學號：33242264】思路探究先求a，b，再根據向量平行與垂直的充要條件列方程求解解1因為2，1,2，且c，所以設c2，2，得|c|3|3，解得1.即c2，1,2或c2,1，22因為a1,1,0，b1,0,2，所以kabk1，k,2，ka2bk2，k，4又因為kabka2b，所以kabka2b0.即k1，k,2k2，k，42k2k

8、100.解得k2或k.故所求k的值為2或.母題探究：1.變條件假設將本例1中“c改為“ca且cb，求c.解a1,1,0，b1,0,2設cx，y，z由題意得解得x2，y2，z1或x2，y2，z1，即c2，2,1或c2,2，12變條件假設將本例2中改為“假設kab與ka2b互相垂直求k的值解a1,1,0，b1,0,2所以kabk1，k，2，ka2bk2，k,4kabka2b，kabka2b0，即k1，k，2k2，k,4k1k2k280，解得k2或k.故所求k的值為2或.規(guī)律方法解決空間向量垂直、平行問題的思路1假設有關向量時，通常需要設出向量的坐標，例如，設向量ax，y，z.2在有關平行的問題中，

9、通常需要引入參數，例如，ab，那么引入參數，有ab，再轉化為方程組求解.3選擇向量的坐標形式，可以到達簡化運算的目的.利用坐標運算解決夾角、間隔 問題如圖3137所示，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CGCD，H為C1G的中點圖31371求證EFB1C；2求EF與C1G所成角的余弦值；3求FH的長. 【導學號：33242265】思路探究根據正方體的特殊性，可考慮建立空間直角坐標系，寫出相關點及向量的坐標，套用數量積、夾角、模長公式即可解1證明：如下圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系Dxyz，易知E，F(xiàn)，C0,1,0，C10,1,

10、1，B11,1,1，G，H.，0,1,01,1,11,0，1，1010，即EFB1C.2由1易知0,1,1，|，|，01，cos，即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為.3由1知F，H，|.規(guī)律方法通過分析幾何體的構造特征，建立適當的坐標系，使盡可能多的點落在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷.建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，把向量坐標化，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和間隔 問題.提醒：建立適當的坐標系能給解題帶來方便.跟蹤訓練2如圖3138所示，在直三棱柱側棱垂直于底面的棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N為A1A的中點圖31381求

11、BN的長；2求與夾角的余弦值解如圖，以，為正交基底建立空間直角坐標系Cxyz.1依題意得B0,1,0，N1,0,1，|，線段BN的長為.2依題意得A11,0,2，C0,0,0，B10,1,2，1，1,2，0,1,2，1011223.又|，|，cos，即與夾角的余弦值為.當 堂 達 標固 雙 基1向量a3,2,5，b1，x，1，且ab2，那么x的值為A3 B4C5 D6Cab312x512，x5.2向量a1,1,0，b1,0,2，且kab與2ab互相垂直，那么k的值是A1 B C. DD由于kabk1,1,01,0,2k1，k,2，2ab21,1,01,0,23,2，2，因為兩向量互相垂直，那么有k13k2220，解得k.3ABC的頂點分別為A1，1,2，B5，6,2，C1,3，1，那么AC邊上的高BD等于【導學號：33242266】A5 B C4 D2A設，又0,4，3，那么0,4，3又4，5,0，4,45，3由0，得04445330，解得，|5.4空間三點A1,1