高中數(shù)學(xué)推理與證明 222 間接證明習(xí)題 蘇教版選修22

1、2.2.2間接證明明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題1間接證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明2反證法從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)3反證法步驟反證法的過程包括下面3個(gè)步驟：反設(shè)，歸謬，存真4反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等情境導(dǎo)學(xué)王戎小時(shí)候，愛和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動(dòng)，等到小朋友們

2、摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的”這就是著名的“道旁苦李”的故事王戎的論述，運(yùn)用的方法即是本節(jié)課所要學(xué)的方法反證法探究點(diǎn)一反證法思考1通過情境導(dǎo)學(xué)得上述方法的一般模式是什么？答(1)假設(shè)原命題不成立(提出原命題的否定，即“李子苦”)，(2)以此為條件，經(jīng)過正確的推理，最后得出一個(gè)結(jié)論(“早被路人摘光了”)，(3)判定該結(jié)論與事實(shí)(“樹上結(jié)滿李子”)矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法稱為反證法思考2反證法證明的關(guān)鍵是經(jīng)過推理論證，得出矛盾反證法引出的矛

3、盾有幾種情況？答(1)與原題中的條件矛盾；(2)與定義、公理、定理、公式等矛盾；(3)與假設(shè)矛盾思考3反證法主要適用于什么情形？答要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形例1已知直線a，b和平面，如果a，b，且ab，求證：a.證明因?yàn)閍b，所以經(jīng)過直線a，b確定一個(gè)平面.因?yàn)閍，而a，所以與是兩個(gè)不同的平面因?yàn)閎，且b，所以b.下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點(diǎn)假設(shè)直線a與平面有公共點(diǎn)P，如圖所示，則Pb，即點(diǎn)P是直線a與b的公共點(diǎn)，這與ab矛盾所以a.反思與感悟數(shù)學(xué)中的

4、一些基礎(chǔ)命題都是數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常用到的明顯事實(shí)，它們的判定方法極少，宜用反證法證明正難則反是運(yùn)用反證法的常見思路，即一個(gè)命題的結(jié)論如果難以直接證明時(shí)，可考慮用反證法跟蹤訓(xùn)練 1如圖，已知ab，a平面A.求證：直線b與平面必相交證明假設(shè)b與平面不相交，即b或b.若b，因?yàn)閎a，a，所以a，這與aA相矛盾；如圖所示，如果b，則a，b確定平面.顯然與相交，設(shè)c，因?yàn)閎，所以bc.又ab，從而ac，且a，c，則a，這與aA相矛盾由知，假設(shè)不成立，故直線b與平面必相交探究點(diǎn)二用反證法證明否定性命題例2求證：不是有理數(shù)證明假設(shè)是有理數(shù)于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)m，n，使得，從而有mn，因此m22n2，所以m為偶

5、數(shù)于是可設(shè)m2k(k是正整數(shù))，從而有4k22n2，即n22k2，所以n也為偶數(shù)這與m，n互質(zhì)矛盾由上述矛盾可知假設(shè)錯(cuò)誤，從而不是有理數(shù)反思與感悟當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命題時(shí)，由于此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法跟蹤訓(xùn)練2已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：，不成等差數(shù)列證明假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20.即，從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故，不成等差數(shù)列探究點(diǎn)三含至多、至少、唯一型命題的證明例 3 函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有

6、一個(gè)實(shí)根證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)、為其中的兩個(gè)實(shí)根因?yàn)?，不妨設(shè)<，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()<f()這與假設(shè)f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根反思與感悟當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字樣時(shí)，常用反證法來證明，用反證法證明時(shí)，注意準(zhǔn)確寫出命題的假設(shè)跟蹤訓(xùn)練3若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x.求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0.證明假設(shè)a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0，而abc(x22y)(y22z)(z22x)(x

7、22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，所以abc>0，這與abc0矛盾，故a、b、c中至少有一個(gè)大于0.1證明“在ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)_答案三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角2用反證法證明“三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中_答案每一個(gè)內(nèi)角都小于60°3用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_答案a與b相交4已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)證明(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)設(shè)a2n1(nZ)，則a24n24n1.4(n2n)是偶數(shù)，4n24n1是奇數(shù)，這與已知a

8、2是偶數(shù)矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1反證法證明的3個(gè)步驟(1) 反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；(2) 歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；(3) 存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立2反證法與逆否命題區(qū)別反證法的理論基礎(chǔ)是逆否命題的等價(jià)性，但其證明思路不完全是證明一個(gè)命題的逆否命題反證法在否定結(jié)論后，只要找到矛盾即可，可以與題設(shè)矛盾，也可以與假設(shè)矛盾，與定義、定理、公式、事實(shí)矛盾因此，反證法與證明逆否命題是不同的.一、基礎(chǔ)過關(guān)1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個(gè)矛盾可以是_(填序號)與已知條件矛盾；與假設(shè)矛

9、盾；與定義、公理、定理矛盾；與事實(shí)矛盾答案2否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為_答案a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)解析自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個(gè)都是奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)1個(gè)奇數(shù)，3個(gè)都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為“a，b，c”中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)3有下列敘述：“a>b”的反面是“a<b”；“xy”的反面是“x>y或x<y”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確的敘述有_答案解析錯(cuò)：應(yīng)為ab；對

10、；錯(cuò)：應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯(cuò)：應(yīng)為三角形可以有2個(gè)或2個(gè)以上的鈍角4用反證法證明命題：“a、bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，即“a，b都不能被5整除”5用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時(shí)，否定結(jié)論應(yīng)為_答案a，b，c都不是偶數(shù)解析a，b，c中存在偶數(shù)即至少有一個(gè)偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)6“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是_.答案存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角解析“任何三角形”的

11、否定是“存在一個(gè)三角形”，“至少有兩個(gè)”的否定是“最多有一個(gè)”7設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證：f(x)0無整數(shù)根證明設(shè)f(x)0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2bkc.又f(0)c，f(1)abc均為奇數(shù)，ab為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然與式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)·(2naab)為偶數(shù)，也與式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)0無整數(shù)根二、能力提升8用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a、b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_答案a，b不全為0解析“a，b全為0”即是“a0且b0”，因此它

12、的反設(shè)為“a0或b0”9設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則下面關(guān)于三個(gè)數(shù)a，b，c的說法正確的是_都大于2 至少有一個(gè)大于2至少有一個(gè)不小于2 至少有一個(gè)不大于2答案解析假設(shè)a<2，b<2，c<2，則(a)(b)(c)<6.又(a)(b)(c)(a)(b)(c)2226，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.10若下列兩個(gè)方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實(shí)根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)<0，a<1或a>.2(2a)28a4a(a

13、2)<0，2<a<0，故2<a<1.若兩個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則a2或a1.11已知a，b(0，)，求證：(a3b3)<(a2b2).證明因?yàn)閍，b(0，)，所以要證原不等式成立，只需證(a3b3)6<(a2b2)6，即證(a3b3)2<(a2b2)3，即證a62a3b3b6<a63a4b23a2b4b6，只需證2a3b3<3a4b23a2b4.因?yàn)閍，b(0，)，所以即證2ab<3(a2b2)而a2b22ab,3(a2b2)6ab>2ab成立，以上步驟步步可逆，所以(a3b3)<(a2b2).12已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.證明假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于，即(1a)b>，(1b)c>，(1c)a>，三式相乘得(1a)a·(1b)b·(1c)c>，又因?yàn)?<a<1，所以0<a(1a)()2.同理0<b(1b)，0<c(1c)，所以(1a)a·(1b)b·(1c)c與矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立三、探究與拓展13.已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，bR.證明下面兩個(gè)命題：(1)若ab0，則f(a)f(b)f(