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1、高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)一、直線與方程(1)直線的傾斜角定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°180°(2)直線的斜率定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),不存在。過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式: 注意下面四點(diǎn):(1)當(dāng)時(shí),公式右邊無(wú)意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān);(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直
2、接求得;(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。(3)直線方程點(diǎn)斜式:直線斜率k,且過(guò)點(diǎn)注意:當(dāng)直線的斜率為0°時(shí),k=0,直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí),直線的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1。斜截式:,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式:()直線兩點(diǎn),截矩式:其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。一般式:(A,B不全為0)注意:各式的適用范圍 特殊的方程如:平行于x軸的直線:(b為常數(shù)); 平行于y軸的直線:(a為常數(shù)); (4)直線系方程:即具有某一共同性
3、質(zhì)的直線(一)平行直線系平行于已知直線(是不全為0的常數(shù))的直線系:(C為常數(shù))(二)垂直直線系垂直于已知直線(是不全為0的常數(shù))的直線系:(C為常數(shù))(三)過(guò)定點(diǎn)的直線系()斜率為k的直線系:,直線過(guò)定點(diǎn);()過(guò)兩條直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(為參數(shù)),其中直線不在直線系中。(5)兩直線平行與垂直當(dāng),時(shí),;注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否。(6)兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無(wú)解 ; 方程組有無(wú)數(shù)解與重合(7)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),則 (8)點(diǎn)到直線距離公式:一點(diǎn)到直線的距離(9)兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn),
4、再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。二、圓的方程1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心,半徑為r;(2)一般方程當(dāng)時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為,半徑為當(dāng)時(shí),表示一個(gè)點(diǎn); 當(dāng)時(shí),方程不表示任何圖形。(3)求圓方程的方法:一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F(xiàn);另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn),以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系:直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況:(1)設(shè)直線,圓,圓心到l的
5、距離為,則有;(2)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線:k不存在,驗(yàn)證是否成立k存在,設(shè)點(diǎn)斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圓與圓的位置關(guān)系:通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓,兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線四條;當(dāng)時(shí)兩圓外切,連心線過(guò)切點(diǎn),有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;當(dāng)時(shí)兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外
6、公切線;當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn),只有一條公切線;當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)含; 當(dāng)時(shí),為同心圓。注意:已知圓上兩點(diǎn),圓心必在中垂線上;已知兩圓相切,兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)三、立體幾何初步1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱:幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。(2)棱錐幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。(3)棱臺(tái): 幾何特征:上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)(4)圓柱:定義
7、:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成幾何特征:底面是全等的圓;母線與軸平行;軸與底面圓的半徑垂直;側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征:底面是一個(gè)圓;母線交于圓錐的頂點(diǎn);側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。(6)圓臺(tái):定義:以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征:上下底面是兩個(gè)圓;側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征:球的截面是圓;球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖:主視圖(光線從幾何體的前面
8、向后面正投影);左視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)注:主視圖反映了物體的高度和長(zhǎng)度;俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;左視圖反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法特點(diǎn):原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng),h為高,為斜高,l為母線) (3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 (4)球體的表面積和體積公式:V= ; S=4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條
9、直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。應(yīng)用: 判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1:公理2:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論:一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用:它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào):平面和相交,交線是a,記作a。符號(hào)語(yǔ)言:公理3的作用:它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線必過(guò)公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相
10、平行空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交。 異面直線判定:過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 異面直線所成角:作平行,令兩線相交,所得銳角或直角,即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°,若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。求異面直線所成角步驟:A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分
11、別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ)。(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)三種位置關(guān)系的符號(hào)表示:a aA a(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行沒(méi)有公共點(diǎn);相交有一條公共直線。b5、空間中的平行問(wèn)題(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行(
12、線面平行面面平行),(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行。(線線平行面面平行),(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行線面平行)(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行線線平行)7、空間中的垂直問(wèn)題(1)線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。線面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(
13、從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。9、空間角問(wèn)題(1)直線與直線所成的角兩平行直線所成的角:規(guī)定為。兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩
14、條直線所成的角。兩條異面直線所成的角:過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。(2)直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為。 平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為。平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線,在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息:(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線;(2)過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線。(3)二面角和二面角的平面角二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二
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