高中物理 “帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”解析

1、 “帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”解析處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，其本質(zhì)是平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用。重要的是正確建立完整的物理模型，畫出準(zhǔn)確、清晰的運(yùn)動(dòng)軌跡。下面我們從基本問(wèn)題出發(fā)對(duì)“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”進(jìn)行分類解析。一、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的基本型問(wèn)題找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場(chǎng)進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場(chǎng)后在洛侖茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及粒子經(jīng)過(guò)的圓心角從而解答物理問(wèn)題?！纠?】圖示在y<0的

2、區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一帶正電的粒子以速度V0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)中，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正方向的夾角為；若粒子射出磁場(chǎng)的位置與O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)。求該粒子的電荷量和質(zhì)量比；粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。分析：粒子受洛侖茲力后必將向下偏轉(zhuǎn)，過(guò)O點(diǎn)作速度V0的垂線必過(guò)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心O；由于圓的對(duì)稱性知粒子經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角必為，故點(diǎn)P作速度的垂線與點(diǎn)O處速度垂線的交點(diǎn)即為圓心O（也可以用垂徑定理作弦OP的垂直平分線與點(diǎn)O處速度的垂線的交點(diǎn)也為圓心）。由圖可知粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑由有。再由洛侖茲力作向心力得出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半

3、徑為故有，解之。由圖知粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為，故粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?！纠?】如圖以ab為邊界的二勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B12B2，現(xiàn)有一質(zhì)量為m帶電+q的粒子從O點(diǎn)以初速度V0沿垂直于ab方向發(fā)射；在圖中作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出粒子第6次穿過(guò)直線ab所經(jīng)歷的時(shí)間、路程及離開點(diǎn)O的距離。（粒子重力不計(jì)）分析：粒子在二磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑分別為，由粒子在磁場(chǎng)中所受的洛侖茲力的方向可以作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。粒子從點(diǎn)O出發(fā)第6次穿過(guò)直線ab時(shí)的位置必為點(diǎn)P；故粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為，而粒子的運(yùn)動(dòng)周期代入前式有。粒子經(jīng)過(guò)的路程。點(diǎn)O與P的距離為?！灸Ｐ鸵c(diǎn)】畫軌跡、找圓心、求半徑、利用幾何關(guān)系

4、、構(gòu)造直角三角形。二、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的范圍型問(wèn)題尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍?！纠?】如圖所示真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向如圖，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成角的速度V0垂直射入磁場(chǎng)中；要使粒子必能從EF射出則初速度V0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？分析：粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后受洛侖茲力作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子必能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過(guò)點(diǎn)A并與EF相切的軌跡如圖示，作出A、P點(diǎn)速度的垂線相交于O即為該臨界軌跡的圓心，臨界半徑R0由有；故粒子必能穿出EF的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡半徑

5、RR0，即 有。由圖知粒子不可能從P點(diǎn)下方向射出EF，即只能從P點(diǎn)上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點(diǎn)A進(jìn)入磁場(chǎng)后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見(jiàn)EF中有粒子射出的區(qū)域?yàn)镻G，且由圖知。【例4】如圖所示S為電子射線源能在圖示紙面上和360°范圍內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率相等的質(zhì)量為m、帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直檔板且與S的水平距離OSL，檔板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；若電子的發(fā)射速率為V0，要使電子一定能經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的條件？若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，要使S發(fā)射出的電子能到達(dá)檔板，則電子的發(fā)射速率多大？若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

6、，從S發(fā)射出的電子的速度為，則檔板上出現(xiàn)電子的范圍多大？分析：電子從點(diǎn)S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于電子從點(diǎn)S射出的方向不同將使其受洛侖茲力方向不同，導(dǎo)致電子的軌跡不同，分析知只有從點(diǎn)S向與SO成銳角且位于SO上方發(fā)射出的電子才可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)O。要使電子一定能經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，即SO為圓周的一條弦，則電子圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必滿足，由。要使電子從S發(fā)出后能到達(dá)檔板，則電子至少能到達(dá)檔板上的O點(diǎn)，故仍有粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑，由有。當(dāng)從S發(fā)出的電子的速度為時(shí)，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑，但由于電子發(fā)射出的方向不同則其軌道不同，因而到達(dá)MN板的位置不同。由此作出圖示的二臨界軌跡，故電子擊中檔

7、板的范圍在P1P2間；對(duì)SP1弧由圖知，且該電子的發(fā)射方向與SO必成30°向SO下方發(fā)射；對(duì)SP2弧由圖知，且該電子的發(fā)射方向與SO成為而向SO的左上方發(fā)射。三、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的極值型問(wèn)題尋找產(chǎn)生極值的條件：直徑是圓的最大弦；同一圓中大弦對(duì)應(yīng)大的圓心角；由軌跡確定半徑的極值?！纠?】圖中半徑r10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切；磁場(chǎng)B033T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為的粒子；已知粒子質(zhì)量為，電量，則粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t各多少？分析：粒子從點(diǎn)O進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后必作勻速圓周運(yùn)

8、動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)半徑由一定；由于粒子從點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場(chǎng)位置均不同，則粒子通過(guò)磁場(chǎng)的速度偏向角不同；要使粒子在運(yùn)動(dòng)中通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角最大，則必使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的弦長(zhǎng)最大；因而圓形磁場(chǎng)區(qū)域的直徑OP即為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的最大弦；故粒子從點(diǎn)O入磁場(chǎng)而從點(diǎn)P出場(chǎng)的軌跡如圖圓O所對(duì)應(yīng)的圓弧示，該弧所對(duì)的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角。由前面計(jì)算知SO/P必為等邊三角形，故30°且260°。此過(guò)程中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由即為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。【例6】一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點(diǎn)沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓形勻強(qiáng)

9、磁場(chǎng)區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場(chǎng)后沿BC射出，求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。分析：由題中條件求出粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為一定，故作出粒子沿AB進(jìn)入磁場(chǎng)而從BC射出磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖中虛線圓所示，只要小的一段圓弧PQ能處于磁場(chǎng)中即能完成題中要求；故由直徑是圓的最大弦可得圓形磁場(chǎng)的最小區(qū)域必為以直線PQ為直徑的圓如圖中實(shí)線圓所示。由于三角形ABC為等邊三角形，故圖中30°，那么 ，故最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積為?！纠?】有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點(diǎn)O處，如圖所示相同的速率v0向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m，電量為e。欲使這些電子穿過(guò)垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)

10、后，都能平行于x軸沿+x方向運(yùn)動(dòng)，求該磁場(chǎng)方向和磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積s。分析：由于電子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑Rmv0/Be是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動(dòng)的最上面一條軌跡必為圓O1，它就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧O1O2On。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何知識(shí)有電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。如對(duì)圖中任一軌跡圓O2而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，過(guò)O2作弦的垂線O2A，則電子必將從點(diǎn)A飛出，相當(dāng)于將此軌跡的圓心O2沿y方向平移了半徑

11、R即為此電子的出場(chǎng)位置。由此可見(jiàn)我們將軌跡的圓心組成的圓弧O1O2On沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場(chǎng)的下邊界，圖中圓弧OAP示。綜上所述，要求的磁場(chǎng)的最小區(qū)域?yàn)榛AP與弧OBP所圍。利用正方形OO1PC的面積減去扇形OO1P的面積即為OBPC的面積；即R2-R2/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積為S2（R2-R2/4）（/2 -1）（mv0/Be）2。四、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的多解型問(wèn)題抓住多解的產(chǎn)生原因：速度方向的不確定引起的多解，與自然數(shù)相關(guān)的多解即粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間與運(yùn)動(dòng)周期的倍數(shù)不確定。【例8】在前面“【例4】”中若將檔板取走，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，當(dāng)電子以速率從

12、點(diǎn)S射出后要擊中O點(diǎn)，則點(diǎn)S處電子的射出方向與OS的夾角為多少？從S到點(diǎn)O的時(shí)間多少？分析：由已知條件知電子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，電子從點(diǎn)S射出后要經(jīng)過(guò)點(diǎn)O即直線SO為圓的一條弦，由圖知必有兩種運(yùn)動(dòng)軌跡存在；由于題中SOLr，故OSO260°，那么電子從點(diǎn)S的發(fā)射速度V2的方向與SO所成的夾角30°；圖中OSO160°，故電子的發(fā)射速度V1的方向與SO所成的夾角150°。【例9】一質(zhì)量m帶電q的粒子以速率V垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間受到的沖量的大小為mv，粒子重力不計(jì)。則此過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間為多少？分析：粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，

13、右圖示設(shè)粒子的初位置為a，因其受沖量的大小為mv而方向未知故必有右圖中的兩種情況，即未動(dòng)量的方向有P1、P2兩個(gè)，對(duì)應(yīng)的沖量方向仍有I1、I2兩個(gè)。粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)中動(dòng)量的大小始終為mv不變，由動(dòng)量定理可知而；故粒子在該過(guò)程中經(jīng)歷的時(shí)間為，其中?！纠?0】在半徑為r的圓筒中有沿筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一質(zhì)量為m帶電+q的粒子以速度V從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場(chǎng)射入筒中；若它在筒中只受洛侖茲力作用且與筒壁發(fā)生彈性碰撞，欲使粒子與筒壁連續(xù)相碰撞并繞筒壁一周后仍從A處射出；則B必須滿足什么條件？帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間？分析：由于粒子從A處沿半徑射入磁場(chǎng)后必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒

14、子又從A處沿半徑方向射向磁場(chǎng)，且粒子與筒壁的碰撞次數(shù)未知，故設(shè)粒子與筒壁的碰撞次數(shù)為n（不含返回A處并從A處射出的一次），由圖可知，其中n為大于或等于2的整數(shù)（當(dāng)n1時(shí)即粒子必沿圓O的直徑作直線運(yùn)動(dòng)，表示此時(shí)B0）；由圖知粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R為，再由粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑可求出。粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為，粒子每碰撞一次在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度由圖得，粒子從A射入磁場(chǎng)再?gòu)腁沿半徑射出磁場(chǎng)的過(guò)程中將經(jīng)過(guò)n+1段圓弧，故粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：，將前面B代入T后與共同代入前式得。五、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題注意洛侖茲力不做功，洛侖茲力的方向?qū)㈦S物體的運(yùn)動(dòng)方向的變化而發(fā)生相應(yīng)的變化；正確結(jié)合變

15、速圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)關(guān)系與能量守恒定律處理?！纠?1】金屬小球質(zhì)量m帶電-q，由長(zhǎng)L的絕緣細(xì)線懸掛于圖示勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的O點(diǎn)，然后將小球拉到600處由靜止釋放，小球沿圓弧運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)懸線上的張力恰好為0；求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B？小球住復(fù)擺動(dòng)中懸線上的最大張力多少？分析：小球從點(diǎn)A由靜止釋放后在繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)中必同時(shí)受到重力、線的拉力及洛侖茲力作用，由左手定則知小球從A向P運(yùn)動(dòng)中洛侖茲力方向必沿半徑指向圓心，且洛侖茲力對(duì)小球不做功；故小球到達(dá)P點(diǎn)的速度大小為；小球在P點(diǎn)受力如圖示由圓周運(yùn)動(dòng)有；由共得，由“”求出故。小球從右向左運(yùn)動(dòng)或從左向右運(yùn)動(dòng)中由于所受洛侖茲力的方向?qū)l(fā)生變化故懸線上的張力大小將作相應(yīng)的變