高考數(shù)學(xué)難點突破難點08奇偶性與單調(diào)性(二)

1、難點8奇偶性與單調(diào)性(二)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點和熱點內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識難點磁場2 ()已知偶函數(shù)f(x)在(0 ,+8)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式flog2(x+5x+4)> 0.案例探究例1 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(一3,3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x 3)+f(x2 3)<0,設(shè)不等式解集為 A, B=AU x|1w x< .、5,求函數(shù)g(x)= 3x2+3x 4(x B)的最大值.命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決

2、問題的能力，屬級題目知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時，學(xué)生容易漏掉定義域 技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進行集合運算和求最值解:由3 ： x3 ： 32一3 ：x2-3 ：3得/0 ： x ：6-.6 : x :-且 x豐 0,故 0<x< . 6 ,-.6又T f(x)是奇函數(shù)，f(x 3)< f(x2 3)=f(3-x2),又 f(x)在(3, 3)上是減函數(shù),二 x 3>3 x2,即 x2+x 6>0，解得 x>2 或 x&

3、lt; 3,綜上得 2<x<、6 ,即 A=x|2<x<、6 , B=AU x|1< xw . 5 = x|1< x< . 6 ,又 g(x)= 3x2+3x 4= 3(x 1 )2 13 知：g(x)2 4在 B 上為減函數(shù)， g(x)max=g(1)= 4.例2已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在f 0, +8)上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m,使f(cos2 0 3)+f(4m 2mcos 0 )>f(0)對所有0 f 0,都成立？若存在，求出符合條件2的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜

4、合分析能力和邏輯思維能力以及運 算能力，屬題目知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.錯解分析：考生不易運用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法.技巧與方法：主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題解： f(x)是R上的奇函數(shù)，且在f 0, + )上是增函數(shù)， f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2 0 3)>f(2mcos0 4m),即 cos2 0 3>2mcos0 4m,即 cos2 0 mcos 0 +2m 2>0.2設(shè)t=cos 0，則問題等價地轉(zhuǎn)

5、化為函數(shù)g(t) =t2 mt+2m 2=(t m )2 +2m 2在0,241上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)在0, 1上的最小值為正.當(dāng) m<0,即 m<0 時,g(0)=2m 2>0= m>1 與 m<0 不符；22當(dāng) 0< m < 1 時，即 0< mW 2 時，g(m)= m +2m 2>024=4 2、2 <m<4+2、2 ,4 2 . 2<mW 2.當(dāng) m>1,即 m>2 時，g(1)=m 1>0 二 m>1. m>2 2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>

6、4 22 錦囊妙計本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1) 運用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力(2) 應(yīng)用問題在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實際應(yīng)用題中的最值問題殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題%)設(shè) f(x)是(一 ,+s)上的奇函數(shù)，f(x+2)= f(x),當(dāng) 0W xW 1 時，f(x)=x,則 f(7.5) 等于()A.0.5B. 0.5C.1.5D. 1.522

7、. ( )已知定義域為(一1, 1)的奇函數(shù) y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a 3)+f(9 a2)<0,a的取值范圍是()A.(2 2 , 3)B.(3, .10)C.(2 . 2 , 4)D.( 2, 3)二、填空題3. ( )若f(x)為奇函數(shù)，且在(0, +8)內(nèi)是增函數(shù)，又 f( 3)=0,則xf(x)<0的解集為.(* )如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(1, 0)上是增函數(shù)，且f(x+2)= f(x),1 2試比較f(-),f(-),f(1)的大小關(guān)系.3 3三、解答題5.&H )已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0, + 8)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(8 ,0

8、)上的增 減性并加以證明.a 2x -16.( )已知f(x)= x (a R)是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值；1求f(x)的反函數(shù)f(X)；+ 11 + x對任意給定的k R，解不等式f (x)>lgkX)對?.()定義在(o ,4上的減函數(shù) f(x)滿足 f(m sinx)< f(、1 亠 2m +cos24任意x R都成立,求實數(shù)m的取值范圍.ax2 +1f(x)已知函數(shù)y=f(x)=(a,b,c R,a>0,b>0)是奇函數(shù)，當(dāng) x>0時,bx +c有最小值2,其中b N 且 f(1)< 52(1) 試求函數(shù)f(x)的解析式；(2) 問函數(shù)f(x)圖

9、象上是否存在關(guān)于點(1 , 0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不 存在，說明理由.參考答案難點磁場解：T f(2)=0, 原不等式可化為f log2(x2+5x+4)A f(2).+ g)上為增函數(shù),f(-2)=f(2)=0又 f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0, f(x)在( 一 OO ,0)上為減函數(shù)且不等式可化為 Iog2(x+5x+4) > 2 或 |og2(x?+5x+4) W 2 由得 x2+5x+4 > 4 x< 5 或 x> 0由得 0vx2+5x+4< -得 一5一 10 < xv 4 或一1vxw -5104 2 2由得原不等式的解

10、集為xx< 5 或 _5 _ 10 w x< 4 或1 v xw或 x> 02 2殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)= f(5.5)= f(3.5+2)= f(3.5)=f(1.5+2)= f(1.5)= f( 0.5+2)= f( 0.5)= f(0.5)= 0.5.答案：B2.解析： f(x)是定義在(1, 1) 上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且f(a 3)+ f(9 a2)v 0.- f(a 3) v f(a2 9).一1 ：a 一3 <1 -1 ca2 -9 <1 a (2 V2 ,3).2a 3 a a 9x >0、f(X)CO答案：

11、AX £0x >0x<0 十或丿f(x)f(3)J(x)<f(3)X A 3x 0x ： 3；d二、3.解析：由題意可知：xf(x)v 0二 x ( 3,0) U (0,3)答案：(3, 0)U (0, 3)4解析：I f(x)為R上的奇函數(shù)1 12 2 1.f( )= f( ),f( )= f( ),f(1)= f( 1),又 f(x)在(1, 0)上是增函數(shù)且>333332->1.31212f()>f()>f( 1), . f( ) v f( ) v f(1).333312答案：f(2) v f(-) v f(1)3 3三、5解：函數(shù)f(

12、x)在( a ,0)上是增函數(shù)，設(shè) X1V X2V 0,因為f(x)是偶函數(shù)，所以f( X1)=f(X1),f( X2)=f(x2),由假設(shè)可知X1> x2>0,又已知 f(x) (0 , + 8)上是減函數(shù)，于是 有f( X1) v f( X2),即f(X1)v f(X2),由此可知，函數(shù)f(x)在 ( 8 ,0)上是增函數(shù).6解：(1) a=1.2 1 -11 + x、(2) f(x)= x (x R)= f (x)=log2 ( 1 vxv 1) 2+11 -x(3) 由 log21 x >log21 - = log2(1 x) v log2k, 當(dāng) 0v kv 2 時

13、，不等式解集為x|1 k1 -xkvxv 1;當(dāng)k>2時，不等式解集為x| 1 vxv 1 m sinx E4m 4 Esinx8解：(1) / f(x)是奇函數(shù)，f( x)= f(x),即 4bx +c-ax-= bx c = bx - c-bx c c=0, / a>0, b>0,x>0, f(x)=,當(dāng)且僅當(dāng)x=應(yīng)丄> 2 bx b bx1時等號成立,a7.解：*1+2m+cos2 x 蘭 4即72，對4m丁1+2m +啟一sin2 x + sin x+17I4m sin xXPr/21 +2m +cos X14 R恒成立,m蘭31J313 ,、1 m-,3U-或m =一22-2 2于是 2 ”=2, a=b2，由 f(1) v 得_1 v 5 即 b 1 v , 2b2 5b+2 v 0,解得v bv 2,b22 b 2 b 221又 b N,