課例造橋選址問題

1、課例造橋選址問題 中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0112-02 造橋選址問題在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，在一條河上造橋，利用橋的長度始終保持不變，通過平移橋到河的岸邊，再利用兩點之間線段最短，從而達到最佳的建造一座橋選址的問題，有了在一條河道上建一座橋的基礎，可以得到在兩條河道、三條河道、直到在n條河道分別建造兩座橋、三座橋、n座橋的方法。利用平移變換進行造橋選址問題，是平移變換的一個重要應用，體現(xiàn)了數學源于生活，同時用運用于生活。從而達到平移知識的遷移在實際生活中的具體應用。 一、背景介紹 本節(jié)內容是我校實施的省級科研課題：“初中數學

2、“課題學習”校本化實施與評價的行動研究”研究實施方案的研討內容之一。本節(jié)內容經過了幾位教師的執(zhí)教與研討，本文展示的是筆者的實踐設計與實錄。 （一）內容與學情分析 “造橋選址問題”是人教版數學八年級上冊第十三章“軸對稱”的最后一節(jié)“ 課題學習”的第二節(jié)內容。比“將軍飲馬”問題較難，本節(jié)內容的解決主要是平移知識的綜合應用。是對學生動手操作能力的一個考查，本節(jié)的難點在于如何把問題轉化為“兩點之間，線段最短的問題”，在解決的過程中滲透了化歸的思想。 （二）目標與目標解析 1.能利用軸對稱、平移解決簡單的最短路徑問題. 2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用； 3.能通過邏輯推理證明所求距離最短，感悟

3、轉化思想，體會利用作圖解決最短路徑問題。 達成目標的標志是：能夠將實際問題中的“河”的兩岸抽象為數學中的“平行線”，把實際問題抽象為線段和最小問題。通過學生獨立思考、合作討論、教師點撥等方式；能利用平移將線段的最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求路徑最短；在探索最短路徑的過程中，體會平移的“橋梁”作用，感悟化歸的轉化思想， （三） 教學思路與理念 本節(jié)教學的重點是利用平移變換解決造橋選址問題并利用“兩點之間，線段最短”公理進行證明，難點是體會利用平移作圖將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。 最短路徑問題從本質上說是極值問題，作為初中學生，以前涉及這方面的極值問題很少

4、，特別是遇到具有實際背景的極值問題，更會無從下手。 在河岸的什么位置造橋，使得路徑最短，采用通過平移橋、或者河道的辦法，如何平移，為什么要這樣平移，多少學生存在理解上和操作上的困難。在教學時，教師要適時點撥學生。 二、教學過程 引言：前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”、軸對稱、平移等的問題， 1.下圖中的變換屬于平移的有哪些？ 師生活動：讓學生獨立思考回答后，教師作補充。 設計意圖：通過問題1讓學生對軸對稱性質、平移的定義及其性質的應用進行再認識。 （一）將實際問題抽象為數學問題 歷史上著名的造橋選址問題： A和B兩地在

5、一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直） 師生活動：1.如上圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑指的是哪些線段的和？ 學生：AM+MN+BN， 教師：這三條線段哪些線段的長度是固定不變的，那么怎樣確定什么情況下路徑最短呢？ 學生：橋的程度MN是固定的不變的。 教師：利用線段公理解決問題：我們遇到了什么困難呢？ 思維點撥：在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？ 學生： （1）把A平移到岸邊 （2）把B平移到岸邊 （3）把橋平移到和A相連 （4）把橋平移到和B

6、相連 （5）平移河道 師生活動：由于河道寬度是固定不變的，造的橋要與河垂直，因此路徑AMNB中的MN的長度是固定的。 我們可以將點A沿與河垂直的方向平移MN的距離到A1，那么為了使AMNB最短，只需A1B最短。根據兩點之間線段最短，連接A1B，交河岸于點N，在此處造橋MN，所得路徑AMNB就是最短路徑，如圖2。 證明：如圖3，如果在不同于MN的位置造橋M1N1。由于M1N1=MN=AA1；又根據“兩點之間，線段最短”?？芍?，AN1+N1B>A1N+NB。 所以，路徑AMNB要短于AM1N1B。 設計意圖：讓學生將實際問題抽象為數學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小的問題”。通過平移

7、搭建臺階，即平移橋或河道的辦法，將問題轉化為易于解決的問題，滲透了化歸的轉化思想。 （二）小結 師生一起回顧本節(jié)所學主要內容，并請學生回答 （1）本節(jié)研究問題的基本過程是什么？ （2）平移在研究問題中起什么作用？ 設計意圖：引導學生把握研究問題的基本策略、基本思路、基本方法，體會平移在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化化歸思想的重要價值。 （三）作業(yè) 由學生畫圖并完成四條河、五條河、直到n條河相互平行和相互不平行的橋的建造，并總結出規(guī)律。 設計意圖：進一步考查學生對本節(jié)所學知識的掌握程度以及平移等相關知識的綜合運用能力。 教學反思：本節(jié)課應著重體現(xiàn)小組合作學習的重要性，通過探究相互交流得到解決最短路徑的方法，由于難度較大，中差生學起來顯得力不從心。通過本節(jié)課的探究，我們不難體會到，造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，就是要通過平移變換，使除橋長不變外所得到