變化與比較問題表述

1、變化與比較問題表述例談理解題意的有效途徑余 勇浙江傳媒學院實驗中學 杭州師范大學在職教育碩士 3100041 問題的提出波利亞指出“掌握數學就意味著善于解題，”并把解題過程分為：理解題意，擬定方案，執(zhí)行方案，回顧與反思四個過程理解題意是解題的第一步只有在正確理解題意的基礎上才有可能產生正確的解法.而題意理解錯誤往往是導致解題錯誤的主要原因.理解題意貫穿了解題的始終，對解題過程的回顧與反思也包含了對問題的進一步理解認識. 由于對題意的不同理解而產生了不同的解法和答案，甚至引發(fā)爭論的現象時有發(fā)生.本文欲以一道因理解題意的不同而在中學教師中引發(fā)了莫衷一是的爭論的問題為例.意在說明在解題中加強理解題意

2、過程，在制題中加強題目語言規(guī)范是當前數學教學中值得注意的問題.愿以此拋磚引玉.例題再現：已知不等式 有解，且每一個滿足條件的x至少滿足下述兩式之一. 求a的取值范圍.這是一道有關一元二次不等式的解集問題.還涉及到與一元二次方程，二次函數的關系及相互轉化.對幫助中學生理解和掌握一元二次不等式問題，理解和掌握一元二次不等式、一元二次方程、二次函數之間的關系及相互轉化而言，是一道極為典型的問題.但由于對題目所表達的意思產生了不同的理解，得到了兩種不同的解法和答案，在中學教師中引發(fā)爭論.羅增儒教授關注到此題的典型性和教育性，在文1對兩種解法進行了正誤的分析.筆者讀后深受啟發(fā)，在此想在分析兩種解法差異的

3、基礎上對問題進行不同的表述與比較，以便進一步看清問題的實質、明辨正誤.2 兩種解法的異同點2.1 兩種解法的共同點由有解得，=81-8a0得，得出的解集化簡得解集B=(1,3),化簡得解集C=(2,4).2.2 兩種解法的分歧解法一先由，分別得出a的范圍，再求兩種情況下 a的取值集合的并集.得答案.解法二先求集合B,C的并集，再由得出a的范圍. 得答案.兩種解法都是采用對問題直接解答的方式.兩種解法的區(qū)別從表面上看僅是解題中兩個步驟的先后次序不同.正如文（1）所分析的一樣，如代入a=7即可檢驗出解法一的錯誤.說明回顧與反思是理解題意的一道重要環(huán)節(jié).但我們要進一步思考的是：解題步驟如何從題目中確

4、定？錯誤的解題步驟代表什么樣的問題？兩種解題步驟所代表的問題有什么樣不同？兩者的問題表述有些什么樣的形式和區(qū)別呢？本文擬從兩種解法所代表的問題的不同表述與比較上來分析問題實質、明辨正誤.3 變化和比較問題表述是理解問題的有效途徑我們知道，運動是絕對的，靜止是相對的，事物在運動變化中保持不變的性質即事物的本質屬性.在保持問題本質不變的情況下，變化問題的形式，是理解問題本質的有效手段.俗話說的好“不怕不識貨，就怕貨比貨”.有比較，才有鑒別. 變化和比較問題表述是理解問題的有效途徑.在此我們對問題采用不同表述與比較，以助理解題意.3.1 表述比較1條件非常簡單，此處直接使用其化簡式，以便更好地明確題

5、意和進行比較.問題1：已知關于x的不等式的解集為A， 求實數a的取值范圍.問題2：已知關于x的不等式的解集為A， 或求實數a的取值范圍.經比較可得問題1的正確解法為解法二，問題2的正確解法為解法一.在集合語言下兩問題表述規(guī)范、清楚明了.兩者的區(qū)別在于：問題1實為求一種情況下a的取值范圍； 問題2則為先求兩種情況下a的取值范圍再求其并集.3.2 表述比較2在上述基礎上，我們在原問題語言下進行問題表述比較問題3即原問題.問題4：已知不等式 有解，且每一個滿足條件的x滿足下述兩式之一. 求a的取值范圍.問題4與問題3（即原問題）比較，題目中只是少了“至少”兩字. “每一個滿足條件的x滿足兩式之一”指

6、兩種情況：（1）所有滿足條件x的滿足式；（2）所有滿足條件x的滿足式；“每一個滿足條件的x至少滿足兩式之”指滿足條件的x部分滿足式，部分滿足式.所以問題3（即原問題）應等同于問題1，問題4應等同于問題2.兩種理解和解法的差異僅由兩字之差引起，如果不對題目中這關鍵兩字做出準確分析而判斷兩種解法誰對誰錯就很難說服于人，從文1的解答中也可看出，作者對題目中這關鍵兩字對題意引發(fā)的區(qū)別也未引起足夠的重視，解題過程中的解釋也有一些混淆和錯誤，爭論的莫衷一是看來也是可理解的了.3.3 表述比較3設，原問題的實質是拋物線與x 軸交點位置的范圍問題，即轉化為關于x的方程的根的分布問題.原問題可表述為問題5，而解法一所代表的問題可產生問題6.問題5：已知關于x的方程在上有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍.解：令，對稱軸為，則只須得問題6：已知關于x的方程在1，3或2，4上有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍.解：令，對稱軸為，則或得此處，兩個問題字面的區(qū)別也僅“”與“或”.問題5實為一種情況，關于x的方程在上有兩個相異的實根. 問題6 表示的是兩種情況：一種情況：關于x的方程在上有兩個相異的實根；另一種情況：關于x的方程在上有兩個相異的實根.這即是兩種問題的區(qū)別所在.從上述對問題的不同