華東師范大學數(shù)學分析歷年真題

1、第14頁華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題一(12分)設f(x)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)。證明：若f(x)為一一映射，則f(x)在區(qū)間I上嚴格單調。二(12分)設證明：若f(x),D(x)f(x)在點x=0處都可導，且f(0)=0,則f'(0)=0三(16分)考察函數(shù)f(x)=xlnx的凸性，并由此證明不等式：四(16分)設級數(shù)aanJn收斂，試就ddn為正項級數(shù)和一般項級數(shù)兩種n1n81情況分別證明'an'nn也收斂n1五(20分)設方程F(x,y)=0滿足隱函數(shù)定理條件，并由此確定了隱函數(shù)y=f(x)。又設F(x,y)具有連續(xù)的二階偏導數(shù)。(D求f'

2、;'(x)(2) 若F(x°,y°)=0,y0=f(x°)為f(x)的一個極值，試證明：當Fy(%,y。)與Fxx(%,y。)同號時，f(比)為極大值；當Fy(比,y°)與Fxx(%,yO)異號時，f(小)為極小值。,、一一22(3) 對萬程x+xy+y=27，在隱函數(shù)形式下(不解出y)求y=f(x)的極值，并用(2)的結論判別極大或極小。六(12分)改變累次積分的積分次序，并求其值。七(12分)計算曲面積分I=1n(x2cosa+y2cosP+z2cos)dss其中s為錐面z=Jx2+y2上介于0WzWh的一塊，coas,Cos為,scro側s

3、t向的方向余弦。華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題一.簡答題(20分)(D用定義驗證:limnj：3n2222n n 13(2)計算/_dx.、E2二(12分)設f(x)有連續(xù)的二階導函數(shù)，且31f(冗)=2,f(x)+f(x)sinxdx=5,求f(0).0三(20分).一1(1)已知工an為發(fā)散的一般項級數(shù)，試證明Z(1+)an也是發(fā)散級數(shù)。n1n=1n1(2)證明22sinr在(0,十電)上處處收斂，而不一致收斂。n=13x222.2ccc.四(12分)設D：x+y+zwt,F6=川f(x2+y2+z2)dxdydz,其D中f為連續(xù)函數(shù)，f(1)=1.證明F(1)=4工22

4、五(12分)設D為由兩拋物線y=x-1與丫=-x+1所圍成的閉域。22試在D內求一橢圓，J+4=1,使其面積為最大。ab六(12分)設u(x,y)有連續(xù)二階偏導數(shù)，F(xiàn)(u,t)有連續(xù)一階偏導數(shù)，且'、2'、2滿足F(Ux,Uy)=0,(Fs)(Ft)o0,證明：七(12分)設f(x)為(-8，+g)的周期函數(shù)，其周期可小于任意小的正數(shù)。證明若f(x)在(一空，十笛)上連續(xù)，則f(x)三常數(shù)。華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題、一一，-x1 .設a>0,0Mxma,xn書=xn(2),n=N,a證明：x。收斂，并求其極限。2 .證明：若函數(shù)f在區(qū)間I上處處連續(xù)

5、，且為一一映射，則f在I上為嚴格單調.3 .用條件極值的方法證明不等式：4 .設f(x)在(a,g)上可導，且Jim，f'(x)=+電，證明f(x)在(a,00)上不一致連續(xù)。5 .設f(x)在【a,b上二階可導，且f(x)>0,f''(x)<0,證明：2bf(x)-f(t)dt,xIa,b1.b-aa六.設f(x,y)在D=Ia,bkIc,d】上有二階連續(xù)偏導數(shù)。''''(1) 通過計算驗證：nfxy(x,y)dxdy="fyx(x,y)dxdyDD''''(2) 利用(1)證明：f

6、xy(x,y)=fyx(x,y),(x,y)uD.七.設對每個n,fn(x)在a,b上有界，且當n->«時，fn(xRf(x)w,xa,b證明：(1)f(x)在la,b上有界；八.設S仁R2,Po(x。，y。)為S的內點，Pi(xyj為S的外點，證明：直線段P0P1至少與S的邊界dS有一個交點華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題一.(24分)計算題：(Dlim(x.01_ 1ln(1 x) x.3(2)cosxsinx2dx;1 cosx(3)設z=z(x,y)是由方程2 22、F(xyz,x+y+z)=0,所確定的可微Bt函數(shù)，試求grad乙1-n二.(14分)證

7、明：(1)41+1卜為遞推數(shù)列；n1 .1、1(2)<ln(1+)<,n=1,2，.n1nn.(12分)設f在a,b中任意兩點之間都具有介值性，而且f在(a,b)內可導，|f(x)怪K(正常數(shù))，x亡(a,b).證明f在點a右連續(xù)(同理在點b左連續(xù)).1cn四.(14分)設In=Jo(1-x)dx.證明：(1) In2n2n 1In，n=2,3 ;,一2(2) In-7=，n=1,2,3.3乂n五(12分)設S為一旋轉曲面，由平面光滑曲線H(x),xwa,b(f(x)之0)饒x軸旋轉而成。試用二重積分計算曲面面積的方法，導出S的面積公式為222.、(提示：據(jù)空間解幾知道s的方程為y

8、+z=f(x)六(24分)級數(shù)問題：sinxJ，x=0(k),(1) 設f(x)=<x，求f(0)o,1,x=0n(2) 設Zan收斂，limnan=0證明：nTn>：(3) 設fn(x)為a,b上的連續(xù)函數(shù)序列，且證明：若f(x)在a,b上無零點。則當n充分大時fn(x)在Ia,b上也無零點，并有華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題一.(30分)簡單計算題.xt221)驗證：當xt十g時，2x1。edt與ex為等價無窮大量.2)求不定積分產：x)dx。x23)求曲線積分：I=(ycosy)dx+xsinydy,OA其中有向曲線OA如圖所示.4)設f為可微函數(shù)，u=f(

9、x2+y2+z2)和方程3x2y2z3=6xyz(*)Fu試對以下兩種情形，分別求在點Po(1,1,1)處的值：?x(D由方程(*)確定了隱函數(shù)：z=z(x,y);(2)由方程(*)確定了隱函數(shù)：y=y(x,z).222,xyz,二.(12分)求由橢球面f+上了+f=1與錐面abc222xyz+-2=0z以所圍0體的體積。abc三.(12分)證明：若函數(shù)f(x)在有限區(qū)間(a,b)內可導，但無界，則其導函數(shù)f(x)在(a,b)內亦必有界.n四.(12分)證明：若£an絕對收斂，則£an(a1十a2十十an)亦必絕n1n-1對收斂.五(17分)設f(x)在0,1上連續(xù)，f(1

10、)=0.證明：1) xn在此1】上不一致收斂；2) f(x)xn在b,1上一致收斂。六(17分)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上無界，證明：1)gx#ub,b】，使；l/m.f(xn)=00;2)設wla,b，使得：v000,f(x)在(c6,c+6)ca,b上無界。(若能用兩種不同方法證得2),獎勵5分)華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題(12分)計算:2nsin(n2)2n2n-1002. lim(x.0sin xo一，23、3.設F為R3上的可微函數(shù)，由方程F(xy,yz,zx)=0確定了z為x與y的函數(shù)，求zx,zy在點(1,1)的值.二.(15分)設函數(shù)f,g均在(a,b

11、)內有連續(xù)導數(shù)，且對于任何xw(a,b),''有F(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)>0,求證：1. f,g不可能有相同的零點;2. f的相鄰點之間必有g的零點；3. 在f(x)的每個極值點x0w(a,b)，存在x0的某鄰域，使得g(x)在該鄰域中是嚴格單調的.2a3.一.三.(15分)設初始值a1二R給定，用遞推公式an書=nr(n=1,2.)1an得到數(shù)列an。1 .求證數(shù)列an收斂；2 .求an所有可能的極限值；3 .試將實數(shù)軸R分成若干個小區(qū)間，使得當且僅當在同一區(qū)間取初始值，an都收斂于相同的極限值.2224 .(12分)設a>c>0,求橢球

12、體-M+備=1的表面積.ac5 .(18分)設數(shù)列an有界但不收斂，求證：8nx1 .對于任何x>0,乙ane收斂；n=1qQ2 .對于任何6>0,I-anef在,十°°)上一致收斂；n=10a、：-nx3 .乙ane在(0,十8)上不一致收斂.n1六.(12分)設函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，求證：七.(16分)設函數(shù)f在10,a】上嚴格遞增，且有連續(xù)導數(shù)，f(0)=0.設g是f的反函數(shù)，求證：f(x)x1. 對于任何xw0,a,都有0(x-g(u)du=0f(t)dt2. 當0wxwa,0wywf(a)時，下列不等式成立yxxymJ0g(u)du+10f(t)

13、dt,其中當且僅當y=f(x)時，等式成立.華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題(30分)簡答題(只需寫出正確答案)1. lim2sin(1-x)(x-1)2(x2)2. y = arc11 x223. lnxdx=x.(x)4. z=ysin|一|,則dz=IyJ225. D=(x,y)|x+yw1,則ffDexydxdy=226. L=(x,y)|x+y=1萬向為順時針萬向，則xd-y=ydxL二.(20分)判別題(正確的說明理由，錯誤的舉出反例)1 .若limxn=0則limn/x7=0.n)二二n)：:-'2 .若f(x)在(0,必)上可導，且導函數(shù)f(x)有界，則

14、f(x)在(0,七)上一致連續(xù)。3 .若f(x)在1a,b1上可積，x'F(x)=1f(t)dt在Xo=(a,b)上可導，則F(x0)=f(x0).aoOoQ4 .若Z(a2n+a2n)收斂，且liman=。則Zan收斂。n1nn=1xSint'sint_sinx三.(17分)求極限lim-，記此極限為f(x)Jx、sinxJf(x)的間斷點，并判別間斷點類型.(17分)設f '(x)在10, a 上連續(xù)，且 f ( 0f x dx 三Ma 2,其中M=max |0 <x <：af (x) |0(17分)若函數(shù)f (x, y)在R2上對x連續(xù)，且存在Vx,y

15、,y wR, |f(x,y)-f (x, y|.求證：f (x, y)在r2上連續(xù).六.(17分)求下列積分：I =Sf (x, y, z)dS ,( a 0)22其中 S = ( x, y, z) | x y22iz = a ,七(17分)設 0 ： r 二 1, x R(1)求證:1 - r2,2 1 11 - 2 rcsx r2 £ rn cos nx ；n 1(2)求證:2、.一0 ln(1 - 2 r cos x r )dx = 0八(15分)1a 0, b 0. a1 = a, a2 = b. a n 2 - 22a n 11,n an1,2,.求證： an收斂。華東師范

16、大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題.(30分)計算題(1)求 limx-.02 x cos x22'(2)右 y = e l + xsin(arctan x),求 y .(3)xxe 一求f(1 -x)2 dxqQ(4)求幕級數(shù)£-nxn的和函數(shù)f(x)n1(5)L為過O(0，球口A(0,a)的曲線y=asinx(a0求：l(xy3)dx(2y)dy.(6)求曲面積分n.(2x+z)dydz十zdxdy,其中S22z=x+y,(0<z<1),取上側.二(30分)判別題(正確的證明，錯誤的舉反例)1 .若xn,n=1,2,.,是互不相等的非無窮大數(shù)列，則xn至

17、少存在一個聚點Xo(-二，,二).2 .若f(x)在(a,b)上連續(xù)有界，則f(x)在(a,b)上一致連續(xù).3 .若f(x),g(x)在0,1上可積，則:°°co4 .若£an收斂，則匚an2收斂.n1nT5 .若在R2上定義的函數(shù)f(x,y)存在偏導數(shù)fx(x,y),fy(x,y),且fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)上連續(xù)，則f(x,y)在(0,0)上可微.6 .f(x,y)在R2上連續(xù)，2.、22-Dr(Xo,y。)=(x,y)|(x-Xo)+(y-y。)wr若2則f(x,y)=0,(x,y)R.三.(15分)函數(shù)f(x)在(-8，+s)上連續(xù)且li

18、mf(x)=A,求證：xf(x)在(-8,+8)上有最大值或最小值.x2四(15分)求證不等式：2主1+x,x=0,1.五(15分)設fn(x),n=1,2.在la,b】上連續(xù)且fn(x)在【a,b】上一致收斂于f(x)，若vx三a,b,f(x)>0，求證：vN,6>0,使-xa,b,nN,fn(x).六(15分)設an滿足：(1)0三ak三100an,nuk1,k2；(2)級數(shù)£an收斂。求證：limnan=0.nn二二n=1七(15分)若函數(shù)f(x)在1,+m)上一致連續(xù)，求證："Al在1,+s)上x有界.八(15分)設P(x,y,z),Q(x,y,z),R

19、(x,y,z)在R3有連續(xù)偏導數(shù)，而且對以任意點為(x0,y0,z。)中心，以任意正數(shù)r為半徑的上半球面包有：求證：-(x,y,z),R(x,y,z)=0,Px(x,y,z)Qy(x,y,z)-0華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題一(24分)判斷下列命題的真?zhèn)?正確就證明，錯誤舉反例)1 .liman=A的一個充要條件是：存在正整數(shù)N,對于任意正數(shù)名，當n_.>n>N時均有|an-A|名.2 .設f(x)在a,+°0)上連續(xù)，f(x)在a,+8)上一致連續(xù)，那么(f(x)2在上一致連續(xù).3.設ana -0,lim 丁 = 0那么正項級數(shù)6乙a n收斂.n =

20、14.f(x,y)在點(x°,y°)沿任意方向的方向導數(shù)都存在，則函數(shù)f(x,y而點(x°,y°)連續(xù).二(64分)計算下列各題。1 .求極限lim工x0xsinx2 .求極限1rimUsin2n+2cos2n.y23 .求曲線x=xy在。，1)處的切線萬程。te4 .設f(x)在R上連續(xù)，g(t)=t2f(x)dx,求g'(t).5 .求“x2+v2/3x+4y|dxdy.x.y二6 .設f(1,1)=1,fx(1,1)=a,fy(1,1)=b,g(x)=f(x,f(x,f(x,x),求g(1).2227.設S是有向曲面J+4+勺=1,外側。求

21、第二型曲面積分Hzdxdy.abcS222xyz8.求橢球面f+/+f=1,x>0,y>0,z>0的切平面與三個坐標平abc面所圍成的幾何體的最小體積.三(62分，1-4/(12分)，5(14分)證明以下各題：1 .設f(x)在有限區(qū)間(a,b)上一致連續(xù)。求證：f(x)在區(qū)間(a,b)上有界.n7/n2 .已知a2n_1=,a2n=Ldx。求證：£(-1)an條件收斂.nnxn=13 .設f(x)在區(qū)間a,b連續(xù)，f(x)A0.求證：函數(shù)列Wf(x)在a,b上一致連續(xù)于1.4 .設f(x,y)在a,b父c,d上連續(xù)，求證：g(y)=maxf(x,y)x二a,b在c,d上連續(xù).5 .設f(x)為在區(qū)間a,+8)上的有界連續(xù)函數(shù)，并且對于任意實數(shù)c,方程f(x)=c至多只有有限個解。求證：Jimf(x)存在.華東師范大學2019年攻讀碩士學位研究生入學試題一(30)判別題(正確證明，錯誤舉反例或說理由)1 .設數(shù)列an滿足條件：V&A0,mN,使VnAN,|an-aN|<名，則an收斂。'2 .設f(x)在(a,b)上可導。若f(x)在(a,b)上有界，則f(x)在(a,b)上有界.qQ3 .設正數(shù)列an滿足條件liman=0則(-I)nan收斂。nr-n二1b4 .設f(x)在a,b上可積，且f(x)dxA0,則存在c,dua,b