解決圖的編程問題PPT課件

1、2021/3/91解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版)解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/92目標目標 在本章中,你將學到: 在圖中存儲數(shù)據(jù) 圖的深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索算法 最小生成樹 圖的最短路徑 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/93學習情境學習情境用圖高速公路交通網(wǎng)的編程用圖高速公路交通網(wǎng)的編程 問題描述問題描述 一個地區(qū)由許多城市組成，為實現(xiàn)城市間的高速運輸，需要在這些城市間鋪設(shè)高速公路，以達到任意兩個城市間高速運輸?shù)哪康?。?jīng)過考察和預算，鋪設(shè)的高速公路交通網(wǎng)如圖9.1所示。其中每個頂點

2、代表一個城市，頂點間的連線代表兩個城市間鋪設(shè)的高速公路，而線上的數(shù)字表示兩個城市間的距離（單位：公理）。如圖所示。請根據(jù)上面的描述，解決下面的問題： 用C#編寫一程序來存儲該高速公路交通網(wǎng)的信息 。 從任何一個城市出發(fā)，訪問所有的城市，給出訪問城市的順序。 如果想從一個城市到另一個城市旅行，給出最短的旅行路線。 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/94 圖是一系列頂點（結(jié)點）和描述頂點之間的關(guān)系邊（?。┙M成。圖是數(shù)據(jù)元素的集合，這些數(shù)據(jù)元素被相互連接以形成網(wǎng)絡(luò)。其形式化定義為： G=（V，E） V=Vi | Vi某個數(shù)據(jù)元素集合 E=(Vi,Vj)

3、 | Vi,VjVP(Vi,Vj) 認識圖認識圖圖的定義和術(shù)語圖的定義和術(shù)語1. 圖的定義圖的定義 其中，G表示圖，V是頂點的集合，E是邊或弧的集合。在集合E中，P(Vi,Vj)表示頂點Vi和頂點Vj之間有邊或弧相連。解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/95認識圖認識圖圖的定義和術(shù)語圖的定義和術(shù)語2. 圖的術(shù)語圖的術(shù)語頂點集：圖中具有相同特性的數(shù)據(jù)元素的集合稱為頂點集邊（?。哼吺且粚旤c間的路徑，通常帶箭頭的邊稱為弧弧頭：每條箭頭線的頭頂點表示構(gòu)成弧的有序?qū)χ械暮笠粋€弧尾：每條箭頭線的尾頂點表示構(gòu)成弧的有序?qū)χ械那耙粋€頂點，稱為弧尾或始點。度：在

4、無向圖中的頂點的度是指連那個頂點的邊的數(shù)量。在有向圖中，每個頂點有兩種類的的度：出度和入度。 入度：頂點的入度是指向那個頂點的邊的數(shù)量。 出度：頂點的出度是由那個頂點出發(fā)的邊的數(shù)量。 權(quán)：有些圖的邊（或?。└綆в幸恍?shù)據(jù)信息，這些數(shù)據(jù)信息稱為邊（或?。┑臋?quán)（weigh）.解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/96認識圖認識圖圖的定義和術(shù)語圖的定義和術(shù)語3. 圖的分類圖的分類有向圖：在一個圖中，如果任意兩頂點構(gòu)成的偶對（Vi,Vj）是有序的，那么稱該圖為有向圖。這里Vi是弧尾，Vj是弧頭。這表示有一個從頂點Vi到頂點 Vj的路徑。但是從Vj到Vi是不可

5、能的 無向圖：在一個圖中，如果有任意兩頂點構(gòu)成的邊（Vi,Vj），（Vi,Vj）和（Vj ，Vi）是相同的 在一個無向圖中，如果任意兩個頂點之間都有邊相連，則稱該圖為無向完全圖。無向完全圖又稱完全圖 在一個有向圖，如果任意兩個頂點之間都是弧相連，則稱該圖為有向完全圖。 有很少條邊或弧的圖稱為稀疏圖，反之稱為稠密圖。 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/97 SetNode()：在圖中增加一個新的頂點 GetNode()：獲取圖中指定頂點 SetEdge()：在兩個頂點之間添加指定權(quán)值的邊或弧 GetEdge()：獲取兩個頂點之間的邊 DelEdge

6、()：刪除兩個頂點之間的邊或弧 GetNumOfVertex()：獲取鄰接矩陣頂點數(shù) GetNumOfEdge()：獲取鄰接矩陣邊或弧的數(shù)目 GetIndex()：獲取指定頂點在數(shù)組中的索引 IsEdge()：判斷兩個頂點之間是否存在邊或弧 IsNode()：判斷指定結(jié)點是否是圖的頂點認識圖認識圖識別圖的基本操作識別圖的基本操作圖的基本操作有以下幾種：圖的基本操作有以下幾種：解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/98鄰接矩陣(Adjacentcy Matrix)是用兩個數(shù)組來表示圖，一個數(shù)組是一維數(shù)組，存儲圖中的頂點信息，一個數(shù)組是二維數(shù)組，即矩陣，

7、存儲頂點之間相鄰的信息，也就是邊（或弧）的信息。如果圖中有n個頂點，你需要大小為nn的二維數(shù)組來表示圖。用C#語言表示鄰接矩陣的代碼 參見P190頁用鄰接矩陣解決圖的編程問題用鄰接矩陣解決圖的編程問題 用鄰接矩陣表示圖用鄰接矩陣表示圖 對鄰接矩陣進行操作參見P191頁代碼。解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/99鄰接表的存儲方法是一種順序存儲與鏈式存儲相結(jié)合的存儲方法，順序存儲部分用來保存圖中頂點的信息，鏈式存儲部分用來保存圖中邊（或?。┑男畔ⅰ＞唧w的做法是：使用一個一維數(shù)組，其中每個數(shù)組元素包含兩個域，其結(jié)構(gòu)如右圖所示。 其中 頂點域（data）

8、：存放與頂點有關(guān)的信息；頭指針域（firstadj）：存放與該頂點相鄰接的所有頂點組成的單鏈表的頭指針 用鄰接表解決圖的編程問題用鄰接表解決圖的編程問題 用鄰接表表示圖用鄰接表表示圖 鄰接單鏈表中每個結(jié)點表示依附于該頂點的一條邊，稱作邊結(jié)點，邊結(jié)點的結(jié)構(gòu)如右圖所示。 其中鄰接點域(adjvex)：指示與頂點鄰接點在圖中的位置，對應著一維數(shù)組中的序號，對于有向圖，存放的是該邊結(jié)點所表示的弧的弧頭頂點在一維數(shù)組中的序號；數(shù)據(jù)域(info)：存儲邊或弧相關(guān)的信息，如權(quán)值等，當圖中邊（或弧）不含有信息時，該域可以省略。鏈域(nextadj)：指向依附于該頂點的下一個邊結(jié)點的指針。無向圖鄰接表的鄰接表結(jié)

9、點類的代碼參見P197頁 。解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/910用鄰接表解決圖的編程問題用鄰接表解決圖的編程問題 用鄰接表表示圖用鄰接表表示圖 （舉例）（舉例）對鄰接表進行操作的代碼參見P199頁 。解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/9119.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 1.理解深度優(yōu)先搜索算法理解深度優(yōu)先搜索算法 從圖的某一頂點x出發(fā)，訪問x，然后遍歷任何一個與x相鄰的未被訪問的頂點y，再遍歷任何一個與y相鄰的未被訪問的頂點z，如此下去，直到到達一個所有鄰接點都

10、被訪問的頂點為止。然后依次回退到尚有鄰接點未被訪問過的頂點，重復上述過程，直到圖中的全部頂點都被訪問過為止。 對圖進行深度優(yōu)先遍歷。深度優(yōu)先遍歷背后基于堆棧，有2種形式: 第一種是程序中顯示構(gòu)造堆棧，利用壓棧出棧操作實現(xiàn);第二種是利用遞歸函數(shù)調(diào)用，基于遞歸程序棧實現(xiàn)。本章介紹壓棧和出棧的操作。解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/912v1 將起始頂點v1壓入棧。9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/913v1將頂點v1彈出棧訪問 v1在棧中壓

11、入所有與v1相鄰接的未訪問頂點v1Visited:9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/914v4從棧中彈出頂點 v1訪問 v1在棧中壓入所有與v1相鄰接的未訪問頂點v1Visited:v29.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/915Visited:從棧中彈出頂點 v2訪問 v2在棧中壓入所有與v2相鄰接的未訪問頂點v1 v2v4v29.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜

12、索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/916Visited:從棧中彈出頂點 v2訪問 v2在棧中壓入所有與v2相鄰接的未訪問頂點v1 v2v3v6v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/917Visited:從棧中彈出頂點 v3訪問v3在棧中壓入所有與v3相鄰接的未訪問頂點v1 v2 v3有與v3相鄰接的未訪問頂點v6v3v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)

13、構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/918Visited:從棧中彈出頂點 v3訪問v3在棧中壓入所有與v3相鄰接的未訪問頂點v1 v2 v3有與v3相鄰接的未訪問頂點v6v5v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/919Visited:從棧中彈出頂點 v5訪問v5在棧中壓入所有與v5相鄰接的未訪問頂點v1 v2 v3v5v6v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 v5解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/9

14、20Visited:從棧中彈出頂點 v6訪問v6在棧中壓入所有與v6相鄰接的未訪問頂點v1 v2 v3 v5 v6v6v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/921Visited:從棧中彈出頂點 v4訪問v4在棧中壓入所有與v4相鄰接的未訪問頂點v1 v2 v3 v5 v6 v4v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/922Visited:?，F(xiàn)在是空的因此，遍歷完成v1 v2

15、v3 v5 v6 v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/923盡管上述算法提供了一個簡單和常用的方法來遍歷圖，但是，如果圖不是連接的，算法將不能正確工作。在這樣的情況下，你將不能夠從單個起始頂點開始遍歷所有頂點。 9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/924為了解決這個問題，你需要對圖中所有未訪問頂點重復執(zhí)行上述算法。 對圖中每個頂點v重復步驟2 如果v未被訪問： a. 調(diào)用

16、DFS(v)9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題深度優(yōu)先搜索深度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/9259.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 2.理解廣度優(yōu)先搜索算法理解廣度優(yōu)先搜索算法 圖的廣度優(yōu)先搜索是從圖的某個頂點x出發(fā)，訪問x。然后訪問與x相鄰接的所有未被訪問的頂點x1,x2,.,xn；接著再依次訪問與x1,x2,.,xn相鄰接的未被訪問過的所有頂點。依此類推，直至圖的每個頂點都被訪問。解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/926訪問 v1將v1 插入隊列v

17、1v19.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/927從隊列中刪除頂點 v1 訪問與v1相鄰接的所有未訪問頂點并將它們插入隊列v1v1Visited:9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/928從隊列中刪除頂點 v1 訪問與v1相鄰接的所有未訪問頂點并將它們插入隊列v2v1 v2 v4v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)

18、據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/929從隊列中刪除頂點 v2訪問與v2相鄰接的所有未訪問頂點并將它們插入隊列v2v1 v2 v4v49.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/930從隊列中刪除頂點 v4 訪問與v4相鄰接的所有未訪問頂點并將它們插入隊列v1 v2 v4v4v3v3v6v6v5v59.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/931從隊列中刪除頂點 v3 訪問與v

19、3相鄰接的所有未訪問頂點并將它們插入隊列v1 v2 v4 v3v3v6v6v5v5v3沒有任何未訪問的鄰接頂點9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/932從隊列中刪除頂點 v6 訪問與v6相鄰接的所有未訪問頂點并將它們插入隊列v1 v2 v4 v3v6v6v5v5v3沒有任何未訪問的鄰接頂點9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/933從隊列中刪除頂點 v5 訪問與v5相鄰接的所有未

20、訪問頂點并將它們插入隊列v1 v2 v4 v3v6 v5v5v6沒有任何未訪問的鄰接頂點9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/934隊列現(xiàn)在是空的因此，遍歷完成v1 v2 v4 v3v6 v5v5沒有任何未訪問的鄰接頂點9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/935盡管上述算法提供了一個簡單和方便的遍歷圖的方法，但是，如果圖不是連接的，算法將不能正確工作。在這樣的情況中，你將不能從單

21、個開始頂點遍歷所有頂點。9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/936為了解決這個問題，你需要對圖中的未訪問頂點重復執(zhí)行這個算法。 為圖中每個頂點V重復步驟2。 如果 v 未被訪問： a. 調(diào)用BFS(v)9.4解決圖的遍歷問題解決圖的遍歷問題廣度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索 解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/937圖的最短路徑問題圖的最短路徑問題 Dijkstra算法的引入算法的引入 Dijkstra算法的基本思想是：算法的基本思想是： 設(shè)置兩個頂

22、點集合T和S，集合S中存放己經(jīng)找到最短路徑的頂點，集合T中存放當前還未找到最短路徑的頂點。初始狀態(tài)時，集合S中只包含源點v0，然后不斷從集合T中選取到源點v0路徑長度最短的頂點w加入集合S，集合S中每加入一個新的頂點w，都要修改頂點v0到集合T中剩余頂點的最短路徑長度值，集合T中各頂點新的最短路徑長度值為原來最短路徑長度值與頂點w的最短路徑長度加上w到該頂點的路徑長度值中的較小值。此過程不斷重復，直到集合T的頂點全部加入集合S為止。解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/938圖的最短路徑問題圖的最短路徑問題 分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑分析高速公路交

23、通網(wǎng)的最短路徑 下面用Dijkstra算法解決高速公路最短路徑的問題?，F(xiàn)在假設(shè)高速公路交通網(wǎng)采用鄰接矩陣作為存儲結(jié)構(gòu)。若鄰接矩陣為matrix，并規(guī)定：用Dijkstra算法來確定從城市A到其他城市的最短踐離。Dijkstra算法的步驟 參見教材P212頁解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/939finaldistance110000090150180圖的最短路徑問題圖的最短路徑問題 分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑 ABCDEF012345解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/9

24、40finaldistance110000090150140180圖的最短路徑問題圖的最短路徑問題 分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑 ABCDEF012345解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/941finaldistance110100090150140180圖的最短路徑問題圖的最短路徑問題 分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑 ABCDEF012345解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/942finaldistance110100090150140250180圖的最短路徑問題圖的最短路徑問題 分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑 ABCDEF012345解決圖的編程問題解決圖的編程問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C#語言版語言版)2021/3/943finaldistance111100090150140250180圖的最短路徑問題圖的最短路徑問題 分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑 ABCDE