一元積分學(xué)的概念與計(jì)算

1、一元積分學(xué)的概念與計(jì)算一、考試內(nèi)容原函數(shù)、不定積分、定積分、反常積分的概念基本積分公式牛一萊 (N一L)公式積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分定積分的對(duì)稱(chēng)奇偶性 分段函數(shù)的積分 積分變限函數(shù)（一） 原函數(shù)存在與可積條件上的連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，且在上可積；內(nèi)的連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，但在內(nèi)不一定可積，如或?yàn)橄军c(diǎn)；無(wú)界區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，但在無(wú)界區(qū)間內(nèi)不一定可積；定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在第一類(lèi)間斷點(diǎn)或暇點(diǎn)，必?zé)o原函數(shù)，但也許可積，如定義在上的函數(shù)存在有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則在上可積.（二） 微積分基本關(guān)系，在上連續(xù)，則，（三） 基本函數(shù)的不定積分;重要函

2、數(shù)的不定積分術(shù)用拆、湊，（四） 基本函數(shù)的定積分與反常積分為定積分二、典型例題1、計(jì)算下列不定積分（拆、湊結(jié)合）（1）. 或.（2） .（3）.或.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.或.或.（9）或.（10）.例2、計(jì)算下列不定積分（換）（1）.（2）.（3）.或.（4）.（5）.例3、計(jì)算下列不定積分（分）（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6），移項(xiàng)得.例4、計(jì)算下列定積分（換(含對(duì)稱(chēng)奇偶性)）（1）設(shè)在內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則.（2）（3）.（4），得.（5）.（6）.例5、分段函數(shù)的積分（1）（）.（2）.（3）求.解： .（4）已知 ，求.解：.例6、設(shè)，則有-（C）（A）（B）

3、（C）(D) 注：這類(lèi)題需考慮積分不等式，若出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間，注意對(duì)稱(chēng)奇偶性；若出現(xiàn)不同區(qū)間，注意換元.例7、反常積分：（1）（或令）.（2）.（3）.三、微積分綜合計(jì)算例1、求=.例2、設(shè)且，求 .提示：.例3、已知是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 求解 ：由題意有則原式=.例4、設(shè) , 求 .解 原式=2.例5、設(shè)，求.提示：.例6、已知 , 計(jì)算 .提示：原式= (令).例7、已知，討論在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解：顯然在處連續(xù)；而因，則其在處不可導(dǎo).注：若在上除處外連續(xù)，當(dāng)為其第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則必連續(xù)，但在處未必可導(dǎo)（微），因.提示：令， .例8、求的單調(diào)區(qū)間與極值.提示：令，得駐點(diǎn)，由列表法易得，的單調(diào)增

4、區(qū)間為，其單調(diào)減區(qū)間為極小值為，極大值為.例9、設(shè)，求+. 解：兩邊求導(dǎo)得，所以（為常數(shù)）又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則.例10、 已知：，且求解：令，則，故 .例11、若滿(mǎn)足，（），求. 解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 解得又，故 .例12、設(shè)是上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且，其中是的反函數(shù)，求.解： 等式兩端對(duì)求導(dǎo)得，即 解得，而則，故.例13、設(shè)為的原函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且，試求 .解：因即由知，.例14、若求與.解：令，則，由上述兩式解之得.例15、設(shè)，求證：.提示：.四、課后練習(xí)1、求下列不定積分（-屬（A）;-屬（B）；.2（A）、若，則.3（A）、.4、計(jì)算下列定積分（-屬（A）;-屬（B）；，則；.5（A）、設(shè)，

5、則在處（）（）不連續(xù)（）連續(xù)但不可導(dǎo)（）（）6（A）、若成立，則有-（A）(A)(B) (C) (D) 7（A）、設(shè)，則有（）（）（）（）（）8（A）、設(shè)則-（D）(A)(B)(C)(D)9（A）、設(shè)，則有-（B）（A）（B）（C）(D) 10（A）、設(shè)函數(shù)，則.11（A）、設(shè)有一個(gè)原函數(shù)，則.12（B）、設(shè)是到離最近的整數(shù)之間的距離，則.13（B）、設(shè), 則.14（B）、設(shè)、在上連續(xù)，為偶函數(shù)，且有求證：；求.15（A）、設(shè)可導(dǎo)，且，求 .16（B）、設(shè)，則.17（B）、設(shè)，則其極大，小值為.18（A）、設(shè)，且，則.19（A）、設(shè)，則20（A）、 設(shè)，計(jì)算.21（A）、若，則.22（A）、設(shè)，則.23（B）、設(shè)24（A）、設(shè)連續(xù)，