25物體的動態(tài)平衡問題解題技巧

1、物體的動態(tài)平衡問題解題技巧湖北省恩施高中 陳恩譜一、總論1、動態(tài)平衡問題的產(chǎn)生三個平衡力中一個力已知恒定，另外兩個力的大小或者方向不斷變化，但物體仍然平衡，典型關(guān)鍵詞緩慢轉(zhuǎn)動、緩慢移動2、動態(tài)平衡問題的解法解析法、圖解法解析法畫好受力分析圖后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，將待求力寫成三角函數(shù)形式，然后由角度變化分析判斷力的變化規(guī)律；圖解法畫好受力分析圖后，將三個力按順序首尾相接形成力的閉合三角形，然后根據(jù)不同類型的不同作圖方法，作出相應的動態(tài)三角形，從動態(tài)三角形邊長變化規(guī)律看出力的變化規(guī)律。3、動態(tài)平衡問題的分類動態(tài)三角形、相似三角形、圓與三角形（2類）、其他特殊類型二、例析1、第一類型：

2、一個力大小方向均確定，一個力方向確定大小不確定，另一個力大小方向均不確定動態(tài)三角形【例1】如圖，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設(shè)墻面對球的壓力大小為FN1，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮镕N2。以木板與墻連接點所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計摩擦，在此過程中AFN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大BFN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小CFN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小DFN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大FN1FN2mg解法一：解析法畫受力分析圖，正交分解列方程，解出FN1、FN2隨夾角變化的函數(shù)，然后由函數(shù)討論；【解析】小球受力如圖，由平衡條件，有聯(lián)立，解得：，木板在順時針放

3、平過程中，角一直在增大，可知FN1、FN2都一直在減小。選B。解法二：圖解法畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化”，不變的是小球重力和FN1的方向，然后按FN2方向變化規(guī)律轉(zhuǎn)動FN2，即可看出結(jié)果。FN2mgFN1【解析】小球受力如圖，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，F(xiàn)N1的方向始終水平向右，而FN2的方向逐漸變得豎直。則由右圖可知FN1、FN2都一直在減小?！就卣埂克降孛嫔嫌幸荒鞠?，木箱與地面間的動摩擦因數(shù)為(01)。現(xiàn)對木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運動。設(shè)F的方向與水平地面的夾角為，如圖所示，在從0逐漸

4、增大到90的過程中，木箱的速度保持不變，則AF先減小后增大 BF一直增大CF一直減小 DF先增大后減小解法一：解析法畫受力分析圖，正交分解列方程，解出F隨夾角變化的函數(shù)，然后由函數(shù)討論；FNFmgFf【解析】木箱受力如圖，由平衡條件，有其中聯(lián)立，解得：由數(shù)學知識可知，其中FNFmgFfF合當時，F(xiàn)最小，則從0逐漸增大到90的過程中，F(xiàn)先減小后增大。選A。解法二：圖解法可將彈力和滑動摩擦力合成為一個力，這個力的方向是確定的，然后按“動態(tài)三角形法”的思路分析。FF合mg【解析】小球受力如圖，將支持力FN和滑動摩擦力Ff合成為一個力F合，由可知，。由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖

5、所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，F(xiàn)合的方向始終與豎直方向成角。則由右圖可知，當從0逐漸增大到90的過程中，F(xiàn)先減小后增大。2、第二類型：一個力大小方向均確定，另外兩個力大小方向均不確定，但是三個力均與一個幾何三角形的三邊平行相似三角形【例2】半徑為的球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面的距離為，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由到的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至屠K對小球的拉力的大小變化的情況是A、變大，變小B、變小，變大C、變小，先變小后變大D、不變，變小解法一：解析法（略）FNmgF

6、fOO解法二：圖解法畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后觀察這個力的三角形，發(fā)現(xiàn)這個力的三角形與某個幾何三角形相似，可知兩個三角形對應邊長比邊長，三邊比值相等，再看幾何三角形邊長變化規(guī)律，即可得到力的大小變化規(guī)律。FNmgFf【解析】小球受力如圖，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易發(fā)現(xiàn)，這三個力與的三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形相似。則有。其中，mg、R、h均不變，L逐漸減小，則由上式可知，不變，變小。3、第三類型：一個力大小方向均確定，一個力大小確定但方向不確定，另一個力大小方向均不確定圓與三角形【例3】在共點力的合成實驗中，如圖，用A，B兩

7、只彈簧秤把橡皮條上的節(jié)點拉到某一位置O，這時兩繩套AO，BO的夾角小于90，現(xiàn)在保持彈簧秤A的示數(shù)不變而改變其拉力方向使角變小，那么要使結(jié)點仍在位置O，就應該調(diào)整彈簧秤B的拉力的大小及角，則下列調(diào)整方法中可行的是BAO A、增大B的拉力，增大角 B、增大B的拉力，角不變 C、增大B的拉力，減小角 D、B的拉力大小不變，增大角解法一：解析法（略）FFBFA解法二：圖解法畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化”保持長度不變FA將FA繞橡皮條拉力F端點轉(zhuǎn)動形成一個圓弧，F(xiàn)B的一個端點不動，另一個端點在圓弧上滑動，即可看出結(jié)果。FFBFA【解析】如右圖，由于兩繩套AO、BO的夾角小

8、于90，在力的三角形中，F(xiàn)A、FB的頂角為鈍角，當順時針轉(zhuǎn)動時，F(xiàn)A、FB的頂角逐漸減小為直角然后為銳角。由圖可知，這個過程中FB一直增大，但角先減小，再增大。故選ABC。4、第四類型：一個力大小方向均確定，另兩個力大小方向均不確定，但是另兩個力的方向夾角保持不變圓與三角形（正弦定理）【例4】如圖所示裝置，兩根細繩拴住一球，保持兩細繩間的夾角=120不變，若把整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)過90，則在轉(zhuǎn)動過程中，CA繩的拉力FT1，CB繩的拉力FT2的大小變化情況是 A、FT1先變小后變大 B、FT1先變大后變小 C、FT2一直變小 D、FT2最終變?yōu)榱憬夥ㄒ唬航馕龇?讓整個裝置順時針轉(zhuǎn)過一個角度，畫受

9、力分析圖，水平豎直分解，由平衡條件列方程，解出FT1、FT2隨變化的關(guān)系式，然后根據(jù)的變化求解。FT2mgFT1【解析】整個裝置順時針轉(zhuǎn)過一個角度后，小球受力如圖所示，設(shè)AC繩與豎直方向夾角為，則由平衡條件，有聯(lián)立，解得，從90逐漸減小為0，則由上式可知：FT1先變大后變小，F(xiàn)T2一直變小。mgFT1FT2FT2mgFT1解法二：解析法2畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，在這個三角形中，小球重力不變，F(xiàn)T1、FT2的夾角(180)保持不變，設(shè)另外兩個夾角分別為、，寫出這個三角形的正弦定理方程，即可根據(jù)、的變化規(guī)律得到FT1、FT2的變化規(guī)律?！窘馕觥咳鐖D，由正弦定理有整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)動90

10、過程的中角和mg保持不變，角從30增大，角從90減小，易知FT1先變大后變小，F(xiàn)T2一直變小。mgFT1FT2解法三：圖解法畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，由于這個三角形中重力不變，另兩個力的夾角(180)保持不變，這類似于圓周角與對應弦長的關(guān)系，因此，作初始三角形的外接圓（任意兩邊的中垂線交點即外接圓圓心），然后讓另兩個力的交點在圓周上按FT1、FT2的方向變化規(guī)律滑動，即可看出結(jié)果?！窘馕觥咳缬覉D，力的三角形的外接圓正好是以初態(tài)時的FT2為直徑的圓周，易知FT1先變大到最大為圓周直徑，然后變小，F(xiàn)T2一直變小。答案為：BCDACMNBG5、其他類型【例5】如圖所示用鋼筋彎成的支架，水平虛

11、線MN的上端是半圓形，MN的下端筆直豎立一不可伸長的輕繩通過動滑輪懸掛一重物G現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從C點處沿支架緩慢地向最高點B靠近（C點與A點等高），則繩中拉力A先變大后不變B先不變后變大C先不變后變小D保持不變解法一：解析法分兩個階段畫受力分析圖，繩端在CN段、NB段，在CN段，正交分解列方程易算得左右兩側(cè)繩與水平方向夾角相同，再由幾何關(guān)系易知這個夾角保持不變，則易看出結(jié)果；在NB段，左右兩側(cè)繩與水平方向夾角也相同，但這個夾角逐漸增大，由方程易看出結(jié)果。（解析略）FT=GF1F2FT=GF1F2解法二：圖解法畫滑輪受力分析圖，構(gòu)建力的三角形，如前所述分析夾角變化規(guī)律，可

12、知這是一個等腰三角形，其中豎直向下的拉力大小恒定，則易由圖看出力的變化規(guī)律?！窘馕觥咳缬覉D，滑輪受力如圖所示，將三個力按順序首尾相接，形成一個等腰三角形。由實際過程可知，這個力的三角形的頂角先保持不變，然后增大，則繩中張力先保持不變，后逐漸減小。選C。三、練習1、如圖1所示，一光滑水球靜置在光滑半球面上，被豎直放置的光滑擋板擋住，現(xiàn)水平向右緩慢地移動擋板，則在小球運動的過程中(該過程小球未脫離球面且球面始終靜止)，擋板對小球的推力F、半球面對小球的支持力FN的變化情況是（ ）AF增大，F(xiàn)N減小BF增大，F(xiàn)N增大CF減小，F(xiàn)N減小DF減小，F(xiàn)N增大mgFNFNmgFF【解析】小球受力如圖，由平衡

13、條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如上圖所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，F(xiàn)的方向始終水平向左，而FN的方向逐漸變得水平。則由上圖可知F、FN都一直在增大。 故B正確2、如圖2所示是一個簡易起吊設(shè)施的示意圖，AC是質(zhì)量不計的撐桿，A端與豎直墻用鉸鏈連接，一滑輪固定在A點正上方，C端吊一重物?，F(xiàn)施加一拉力F緩慢將重物P向上拉，在AC桿達到豎直前（ ）ABC繩中的拉力FT越來越大BBC繩中的拉力FT越來越小CAC桿中的支撐力FN越來越大DAC桿中的支撐力FN越來越小FT1=GFNFTFT1=G【解析】C點受力如圖，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易

14、發(fā)現(xiàn)，這三個力與的三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形相似。則有。其中，G、AC、AB均不變，BC逐漸減小，則由上式可知，不變，變小。B正確3、質(zhì)量為M、傾角為的斜面體在水平地面上，質(zhì)量為m的小木塊（可視為質(zhì)點）放在斜面上，現(xiàn)用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木塊，拉力在斜面所在的平面內(nèi)繞小木塊旋轉(zhuǎn)一周的過程中，斜面體和木塊始終保持靜止狀態(tài)，下列說法中正確的是（ ）FmgsinFfA小木塊受到斜面的最大摩擦力為B小木塊受到斜面的最大摩擦力為F-mgsinC斜面體受到地面的最大摩擦力為FD斜面體受到地面的最大摩擦力為FcosmgsinFf【解析】對小木塊受力分析可得斜面上的受力如圖所示

15、，由于小木塊始終靜止則重力沿斜面向下的分量mgsin始終不變，其與F和Ff構(gòu)成一個封閉的三角形，當F方向變化時可知當F與mgsin方向相反時Ff最大，其值為F+mgsin。對于C，D選項一斜面和小木塊為整體進行研究，當力F水平向左時摩擦力最大值為F。故C正確。4、如圖所示，圓弧形貨架擺著四個完全相同的光滑小球，O為圓心對圓弧面的壓力最小的是mgFN1FN2mgFN1FN2Aa球 Bb球 Cc球 Dd球【解析】小球受力分析如圖所示，其中小球重力相同，F(xiàn)N1方向始終指向圓心，F(xiàn)N2方向始終垂直于FN1，這三個力構(gòu)成一個封閉的三角形如乙圖所示，從a位置到d位置FN1與豎直方向夾角在變小，做出里的動態(tài)

16、三角形，易得a球?qū)A弧面的壓力最小。A正確。5、目前，我市每個社區(qū)均已配備了公共體育健身器材如圖所示器材為一秋千，用兩根等長輕繩將一座椅懸掛在豎直支架上等高的兩點由于長期使用，導致兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜，如圖中虛線所示，但兩懸掛點仍等高座椅靜止時用F表示所受合力的大小，F(xiàn)1表示單根輕繩對座椅拉力的大小，與傾斜前相比（ ）AF不變，F(xiàn)1變小 BF不變，F(xiàn)1變大 CF變小，F(xiàn)1變小 DF變大，F(xiàn)1變大GF1F1GF1F1 【解析】座椅受力如圖所示，將三個力按順序首尾相接，形成一個封閉的三角形如圖。兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜，則這個力的三角形的頂角變小，從圖中可以得到則繩中張力F1逐漸減小，由于

17、座椅仍靜止所受合力F始終為零。選A。6、如圖所示，在傾角為的固定粗糙斜面上，一個質(zhì)量為m的物體被水平力F推著靜止于斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為，且tan ，求力F的取值范圍。FNmgFfF合FFF合mg【解析】物體受力如圖所示，將靜摩擦力Ff和彈力FN合成為一個力F合，則F合的方向允許在FN兩側(cè)最大偏角為的范圍內(nèi)，其中。將這三個力按順序首尾相接，形成如圖所示三角形，圖中虛線即為F合的方向允許的變化范圍。由圖可知：即：mgFF合ma+FNmgFF合ma7、如圖所示，在傾角為的固定粗糙斜面上，一個質(zhì)量為m的物體在拉力F的作用下沿斜面向上做勻加速直線運動，已知物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為，為使物體加速度大小為a，試求力F的最小值及其對應的方向。FFaF合Ffmg【解析】物體受力如圖，將支持力FN和滑動摩擦力Ff合成為一個力F合，由可知，。將三個力按順序首尾相接，與三者的合力形成如圖所示四邊形，其中mg、ma不變，F(xiàn)合的方向不變。當F取不同方向時，F(xiàn)的大小也不同，當F與F合垂直時，F(xiàn)取最小值。由幾何關(guān)系，得：，解得：8、如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離