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1、1 基本概念及一次同余式定義 設，其中是整數(shù)，又設，則 （1）叫做模的同余式。若，則叫做同余式（1）的次數(shù)。如果滿足則叫做同余式（1）的解。不同余的解指互不同余的解。當及都比較小時，可以用驗算法求解同余式。如例1 同余式僅有解例2 同余式有個解例3 同余式無解。定理 一次同余式 （2）有解的充要條件是若（2）有解，則它的解數(shù)為。以及當同余式（2）有解時，若是滿足（2）的一個整數(shù)，則它的個解是 （4）證 易知同余式（2）有解的充要條件是不定方程 （5）有解。而不定方程（5）有解的充要條件為當同余式（2）有解時，若是滿足（2）的一個整數(shù)，則下證對模兩兩部同余。設則再證滿足（2）的任意一個整數(shù)都會與

2、某一個對模同余。由得故存在整數(shù)使得由帶余除法，存在整數(shù)使得于是故（2）有解時，它的解數(shù)為。以及若是滿足（2）的一個整數(shù)，則它的個解是 例1求同余式 （6）的解。解 對如下的整數(shù)矩陣作初等列變換故又因故同余式（6）有解，且由三個解。由以上初等變換還可知故同余式（6）的三個解為即例2 求同余式 （7）的解。解 對作輾轉相除法。故同余式（7）有唯一解。由以上過程還可知故故同余式（7）的解為即 習題1求下列同余式的解：（） （） （）解（）因故，于是該同余式有解，且對模337有唯一解。并且但是故于是該同余式的唯一解為（）由輾轉相除法，可得故該同余式有解.由輾轉相除法，還可得在這個等式兩邊同時乘以112，得故因故故該同余式的全部解為即2求聯(lián)立同余式的解。解 由同余式得代入同余式得對做輾轉相除法。因故且故故由可得由及得于是可得，該聯(lián)立同余式的解為3.（）設是正整數(shù)，證明是同余式的解。（）設是質數(shù)，證明是同余式的解。證（）因是正整數(shù)，故同余式有唯一解。由歐拉定理得故是同余式的解。（）因

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