高考數(shù)學江蘇專用應用題中的瓶頸題講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第3講應用問題中的“瓶頸題”數(shù)學應用問題是高考中常見題型之一,是能否鎖定128分的重要突破口.常見的應用題有:(1) 函數(shù)與不等式模型;(2) 函數(shù)與導數(shù)模型;(3) 三角函數(shù)模型;(4) 數(shù)列模型.解決實際問題的一般步驟:(1) 閱讀題目,理解題意;(2) 設置變量,建立函數(shù)關系;(3) 應用函數(shù)知識或數(shù)學方法解決問題;(4) 檢驗,作答.解應用題的一般思路可表示如下:分類解密專題突破函數(shù)與不等式模型的應用題例1某工廠有工人214名,現(xiàn)要生產(chǎn)1500件產(chǎn)品,每件產(chǎn)品由3個A型零件和1個B型零件配套組成,每個工人加工5個A型零件與加工3個B型零件所需的時間相同.現(xiàn)將工

2、人分成兩組,分別加工一種零件,同時開始加工.設加工A型零件的工人有x人,在單位時間里每一個工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需時間為g(x),加工完B型零件所需時間為h(x).(1) 比較g(x)與h(x)的大小,并寫出完成總任務的時間f(x)的解析式;(2) 應怎樣分組,才能使完成任務用時最少?練習如圖,已知矩形油畫的長為a,寬為b.在該矩形油畫的四邊鑲金箔,四個角(圖中斜線區(qū)域)裝飾矩形木雕,制成一幅矩形壁畫.設壁畫左右兩邊金箔的寬為x,上下兩邊金箔的寬為y,壁畫的總面積為S.(1) 用x,y,a,b表示S;(2) 若S為定值,為節(jié)約金箔用量,應使四個矩形木雕的總面積最大,求四個矩形

3、木雕總面積的最大值及對應的x,y的值.(練習)函數(shù)與導數(shù)模型的應用題例1某建筑公司要在一塊如圖所示的矩形地面上進行開發(fā)建設,陰影部分為一公共設施,不能開發(fā),且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上),公共設施邊界為曲線f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M,N,交曲線于點P,設P(t,f(t).(1) 將OMN(O為坐標原點)的面積S表示成t的函數(shù)S(t);(2) 若在t=處,S(t)取得最小值,求此時a的值及S(t)的最小值.(例1)練習在某次水下考古活動中,需要潛水員潛入水深為30m的水底進行作業(yè).其用氧量包含3個方面:下潛時,平均速度為v(米/單位時間),

4、單位時間內(nèi)用氧量為cv2(c為正常數(shù));在水底作業(yè)需5個單位時間,每個單位時間用氧量為0.4;返回水面時,平均速度為(米/單位時間),單位時間用氧量為0.2.記該潛水員在此次考古活動中,總用氧量為y.(1) 求出y關于v的函數(shù)解析式;(2) 設0<v5,試確定下潛速度v,使總的用氧量最少.三角形與三角函數(shù)模型例1如圖,某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,ABC外的地方種草,ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余的地方種花,若BC=a,ABC=,設ABC的面積為S1,正方形PQRS的面積為S2.(1) 用a,表示S1和S2;(2) 當a固定,變化時,求的最小值.(例1)練習(2

5、014·淮安中學)如圖所示,某市政府決定在以政府大樓O為中心,正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個圖書館.為了充分利用這塊土地,并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào),設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上,圖書館的正面要朝市政府大樓.設扇形的半徑OM=R,MOP=45°,OB與OM之間的夾角為.(1) 將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成的函數(shù).(2) 求當矩形ABCD的面積S最大時,的值,并求最大值.(用含R的式子表示)(練習)解析幾何模型例1一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風預報:臺風中心位于輪船正西80km處,受影響的范圍是半徑長為r(r>

6、0)km的圓形區(qū)域.輪船的航行方向為西偏北45°且不改變航線,假設臺風中心不移動.(1) r在什么范圍內(nèi),輪船在航行途中不會受到臺風的影響?(2) 當r=60時,輪船在航行途中受到影響的航程是多少千米?練習(2014·江蘇卷)如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直,保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60m處,點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),tanBCO=.(1) 求新橋BC的長;(2) 當OM多長時,

7、圓形保護區(qū)的面積最大?(練習)數(shù)列模型例1商學院為推進后勤社會化改革,與桃園新區(qū)商定:由該區(qū)向建設銀行貸款500萬元在桃園新區(qū)為學院建一棟可容納1000人的學生公寓,工程于2012年年初動工,年底竣工并交付使用,公寓管理處采用收費還貸償還建行貸款(年利率5%,按復利計算),公寓所收費用除去物業(yè)管理費和水電費18萬元.其余部分全部在年底還建行貸款.(1) 若公寓收費標準定為每名學生每年800元,問:到哪一年可還清建行全部貸款?(2) 若公寓管理處要在2020年底把貸款全部還清,則每名學生每年的最低收費標準是多少元?(精確到元,參考數(shù)據(jù):lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,

8、1.058=1.4774)練習某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品,經(jīng)銷時間共60個月,市場調(diào)研表明,該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第x個月的利潤函數(shù)f(x)=(單位:萬元).為了獲得更多的利潤,企業(yè)將每月獲得的利潤再投入到次月的經(jīng)營中.記第x個月的利潤率為g(x)=,例如,g(3)=.(1) 求g(10);(2) 求第x個月的當月利潤率;(3) 該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間,哪一個月的當月利潤率最大?并求出該月的當月利潤率.立體幾何體模型例1某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:m),其中容器的中間為圓柱形,高為l,左右兩端均為半球形,半徑為r,按照設計要求容器的體積為 m3,且l2r.假設該容器的建造

9、費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元,半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元.設該容器的建造費用為y千元.(1) 求y關于r的函數(shù)解析式,并求該函數(shù)的定義域;(2) 求該容器的建造費用最小時半徑r的值.(例1)【歸納提升】常見應用問題與數(shù)學模型及其處理:1. 優(yōu)化問題:實際問題中的“優(yōu)選”、“控制”等問題,常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問題解決.2. 預測問題:經(jīng)濟計劃、市場預測這類問題通常設計成“數(shù)列模型”來解決.3. 最(極)值問題:工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設及實際生活中的極限問題,常設計成“函數(shù)模型”,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.4. 等量關系問題:建立“方程模型

10、”解決.5. 測量問題:可設計成“圖形模型”利用幾何知識解決.總之,解應用題關鍵是將文字語言翻譯成數(shù)學語言,常借助畫圖法抽象成數(shù)學問題,并注意解模后的驗證.考點1函數(shù)與不等式模型的應用題【例1】【分析】根據(jù)題設條件分別求出g(x)和h(x),然后通過作差找出分界點,得到一個分段函數(shù).【解答】由題設,每個工人在單位時間內(nèi)加工5k個A型零件,所以x個工人在單位時間內(nèi)加工5k·x個A型零件.總共需要1500×3個A型零件,所以g(x)=.單位時間內(nèi)加工B型零件的個數(shù)為3k,所以h(x)=.(1) g(x)-h(x)=-=,因為1x<214,xN,所以:當1x137時,g(x

11、)>h(x);當138x213時,g(x)<h(x);即當x137時,加工A型這一組所用的時間多;當x138時,加工B型這一組所用的時間多.要完成任務必須使兩組全完成才能完成任務,故完成總任務時間是:f(x)=(2) 要使任務完成最快,|g(x)-h(x)|應最小,令g(x)-h(x)=0,得x=137.因為xN,所以需比較x=137和138時,|g(x)-h(x)|的大小.經(jīng)比較,加工A型零件有137人,加工B型零件有77人時,完成任務的用時最少.另外可以這樣考慮,要使任務完成最快,即求函數(shù)f(x)的最小值.當1x137,xN時,f(x)=,顯然x=137時,f(x)最小.當13

12、8x213,xN時,f(x)=,顯然x=138時,f(x)最小,比較x=137和x=138時f(x)的大小,可知當x=137時,f(x)最小.【練習】【解答】(1) 由題意知S=2bx+2ay+4xy+ab(x,y>0).(2) 因為x,y>0,所以2bx+2ay2,當且僅當bx=ay時,等號成立.從而S4+4xy+ab,(*)令t=,則t>0,上述不等式(*)可化為4t2+4t+ab-S0,解得t,因為t>0,所以0<t,從而xy.由解得(負根舍去).所以當x=,y=時,四個矩形木雕的總面積最大,最大值為ab+S-2.考點2函數(shù)與導數(shù)模型的應用題【例1】【解答】

13、(1) 由f(x)=1-ax2(a>0)可得f'(x)=-2ax,P(t,f(t).直線MN的斜率k=f'(t)=-2at,則直線MN的方程為y-1+at2=-2at(x-t),令y=0,可得xM=t+,可得M;令x=0,可得yM=1+at2,可得N(0,1+at2),所以S(t)=SOMN=×(1+at2)×=.(2) 當t=時,S(t)取得最小值,S'(t)=,由題意知S'=0,即12a2×-4a=0,解得a=,此時S(t)的最小值為S=.【練習】【分析】構建函數(shù)模型,然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【解答】(1) 潛

14、入水底用時單位時間,用氧量為×cv2=30cv;水底作業(yè)時用氧量為5×0.4=2;返回水面用時單位時間,用氧量為×0.2=.所以y=30cv+2+(v>0).(2) y=30cv+2+2+2=2+12.當且僅當30cv=,即v=時取等號.當5,即c時,v=時,y的最小值為2+12.當>5,即c<時,y'=30c-=<0,因此函數(shù)y=30cv+2+在(0,5上為減函數(shù),所以當v=5時,y的最小值為150c+.綜上,當c時,下潛速度為時,用氧量最小為2+12;當0<c<時,下潛速度為5時,用氧量最小為150c+.考點3三角形

15、與三角函數(shù)模型【例1】【分析】用a,表示S1和S2,a固定時是關于的函數(shù),然后可以利用換元法或求導來研究其單調(diào)性從而求出最小值.【解答】(1) S1=asin·acos=a2sin2,設正方形邊長為x,則BQ=,RC=xtan,所以+xtan+x=a,所以x=,所以S2=.(2) 當a固定,變化時,=,令sin2=t,則=(0<t1),利用單調(diào)性求得t=1時,=.【練習】【解答】(1) 由題意可知,點M為的中點,所以OMAD.設OM與BC的交點為F,則BC=2Rsin,OF=Rcos.AB=OF-AD=Rcos-Rsin.所以S=AB·BC=2Rsin(Rcos-Rs

16、in)=R2(2sincos-2sin2)=R2(sin2-1+cos2)=R2sin-R2,.(2) 因為,則2+,所以當2+=,即=時,S有最大值,Smax=(-1)R2.故當=時,矩形ABCD的面積S有最大值(-1)R2.考點4解析幾何模型【例1】【分析】建立平面直線坐標系,求出圓心到直線的距離d,通過弦心距和半徑作比較進行判斷.【解答】如圖,以臺風中心為原點建立平面直角坐標系xOy.(1) 由圖可知輪船在直線l:x+y-80=0上移動,原點到直線l的距離d=40.(例5)所以0<r<40時,輪船在途中不會受到臺風影響.(2) 因為60>40,所以輪船會受到臺風影響.航

17、程為2=40km,所以當r=60km時,輪船在航行途中受到影響的航程是40km.【點評】此類問題實際上就是判斷直線與圓的位置關系,該類問題的解決有代數(shù)法和幾何法兩種方法.【練習】【解答】方法一:(1) 如圖(1)所示,以O為坐標原點,OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系xOy.由條件知A(0,60),C(170,0),直線BC的斜率kBC=-tanBCO=-.又因為ABBC,所以直線AB的斜率kAB=.設點B的坐標為(a,b),則kBC=-,kAB=,解得a=80,b=120,所以BC=150(m).因此新橋BC的長是150m.(練習(1)(2) 設保護區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm(

18、0d60).由條件知,直線BC的方程為y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圓M與直線BC相切,故點M(0,d)到直線BC的距離是r,即r=.因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80m,所以即解得10d35.故當d=10時,r=最大,即圓面積最大,所以當OM=10m時,圓形保護區(qū)的面積最大.方法二:(練習(2)(1) 如圖(2)所示,延長OA,CB交于點F.因為tanFCO=,所以sinFCO=,cosFCO=.因為OA=60,OC=170,所以OF=OCtanFCO=,CF=,從而AF=OF-OA=.因為OAOC,所以cosAFB=sinFCO=.又因為ABBC,所以BF=

19、AFcosAFB=,從而BC=CF-BF=150.因此新橋BC的長是150m.(2) 設保護區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D,連接MD,則MDBC,且MD是圓M的半徑,并設MD=r m,OM=dm(0d60).因為OAOC,所以sinCFO=cosFCO.故由(1)知sinCFO=,所以r=.因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80m,所以即解得10d35.故當d=10時,r=最大,即圓面積最大,所以當OM=10m時,圓形保護區(qū)的面積最大.考點5數(shù)列模型【例1】【分析】將該問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和問題.利率問題有兩種:單利問題:如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型.若每期存入本金p元,每期利率為

20、r,則n期后本利和為Sn=p(1+r)+p(1+2r)+p(1+nr)=p(等差數(shù)列問題).復利問題:按揭貸款的分期等額還款(復利)模型.若貸款(向銀行借款)p元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分n期還清.如果每期利率為r(按復利),那么每期等額還款x元應滿足:p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+x(1+r)+x(等比數(shù)列問題).【解答】依題意,公寓2012年底建成,2013年開始使用.(1) 設公寓投入使用后n年可償還全部貸款,則公寓每年收費總額為1000×800=80(萬元),扣除18萬元,可償還貸款62萬元.依

21、題意有621+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)n-1500(1+5%)n+1,化簡得62(1.05n-1)25×1.05n+1.所以1.05n1.7343,兩邊取對數(shù)整理得n=11.28,所以取n=12.所以到2024年年底可還清全部貸款.(2) 設每名學生和每年的最低收費標準為x元,因為到2020年底公寓共使用了8年,依題意有1+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)7500(1+5%)9,化簡得(0.1x-18)500×1.059,所以x10=10=10×(18+81.2)=992.故每名學生每年的最低收費標準為992元.【點評】在經(jīng)濟活動中,如

22、增長率、降低率、存款復利、分期付款等與年(月)份有關的實際問題,大多可歸結為數(shù)列問題,即通過建立相應的數(shù)列模型來解決.在解應用題時,是否是數(shù)列問題,一是看自變量是否與正整數(shù)有關;二是看是否符合一定的規(guī)律,可先從特殊的情形入手,再尋找一般的規(guī)律.【練習】【解答】(1) 依題意得f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=1,所以g(10)=.(2) 當x=1時,g(1)=.當1<x20時,f(1)=f(2)=f(x-1)=f(x)=1,則g(x)=,經(jīng)驗證x=1也符合上式,故當1x20時,g(x)=.當21x60時,g(x)=,所以第x個月的當月利潤率為g(x)=(3) 當1<x20時,g(x)=是減函數(shù),此時g(x)的最大值為g(1)=.當21x60時,g(