2010年廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試題

1、2010年廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試題 考生注意：用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答，答案寫在答卷上； 不準(zhǔn)使用計算器； 考試用時120分鐘，全卷滿分150分一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，滿分24分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 直線R與圓的交點個數(shù)是( )A. 0 B. 1 C. 2 D.無數(shù)個2. 今年春，我國西南部分地區(qū)遭受了罕見的旱災(zāi)，蒼天無情人有情，某中學(xué)組織學(xué)生在社區(qū)開展 募捐活動，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的 捐款人數(shù)是前一天的2倍，且人均捐款數(shù)比前一天多5元則截止第5天（包括第5天）捐款 總數(shù)是( ). A480

2、0元 B8000元 C9600元 D11200元3. 函數(shù)R的最大值和最小值分別為 A. B. C. D. 4. 若點是圓內(nèi)的動點,則函數(shù)的一個零點在 內(nèi), 另一個零點在內(nèi)的概率為 A. B. C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，滿分36分5. 已知大于1的實數(shù)滿足, 則的最小值為 .6. 將一邊長為4的正方形紙片按照圖1中的虛線所示的方法剪開后 拼接為一正四棱錐,則該正四棱錐的體積為 .7. 設(shè)、都是單位向量，且0， 則的最大值為 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. 對于兩個正整數(shù)，定義某種運算“”如下，當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時， ；當(dāng)中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)

3、時，則在此定義下， 集合NN中元素的個數(shù)是 . 9. 設(shè)是數(shù)列的前項和，若N，則_.10. 在Rt中,如果橢圓經(jīng)過兩點,它的一個焦點為,另一個焦 點在上,則這個橢圓的離心率為 . 三、解答題：本大題共5小題，滿分90分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟11（本小題滿分15分） 在中,分別是內(nèi)角的對邊,已知. (1) 求的值； （2）求的值. 12（本小題滿分15分） 如圖，已知二面角的平面角為, 在半平面內(nèi)有一個半圓, 其直徑在上, 是這個半圓上任一點(除、外), 直線、與另一個半平面所成的 角分別為、. 試證明為定值.13. (本小題滿分20分） 如圖, 矩形中, , , 現(xiàn)以矩形的邊為

4、軸, 的中點 為原點建立直角坐標(biāo)系, 是軸上方一點, 使得、與線段分別交于點、, 且成等比數(shù)列. (1) 求動點的軌跡方程； (2) 求動點到直線距離 的最大值及取得最大值時點的坐標(biāo)14（本小題滿分20分） 設(shè)，函數(shù). (1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程； (2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.15（本小題滿分20分） 已知定義在上的函數(shù)滿足：，且對于任意實數(shù)， 總有成立. （1）求的值，并證明為偶函數(shù)； （2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式； （3）若對于任意非零實數(shù)，總有.設(shè)有理數(shù)滿足，判斷和 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2009年廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出

5、了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：每小題6分，滿分24分.1C 2B 3D 4A二、填空題：每小題6分，滿分36分.5. 6. 7. 8. 9. 10

6、. 三、解答題：滿分90分11. （本小題滿分15分）解: (1) . , . ,. . (2) , . . , . 由 解得 . . 12. （本小題滿分15分）證明：過作，為垂足，在內(nèi)，作，為垂足， 連接，則. ,.平面，平面，平面.平面，.是二面角的平面角. . . 在Rt中，. 在Rt和Rt中，. . 13. （本小題滿分20分）解：（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，過作交的延長線于，交的延長線于.在中, , 得，得.在中, , 得.同理可得. 成等比數(shù)列， . .化簡得. 動點的軌跡方程為.(2)由圖易知當(dāng)與直線平行的直線與半橢圓相切于點時，點到直線距離的最大. 設(shè)與直線平行的直線方程為，代入，得

7、 ，由，解得，由，得.故點到直線距離的最大值為.把代入式，可解得點的坐標(biāo)為.14. （本小題滿分20分）解:（1）當(dāng)時，當(dāng)時，令，得 所以切點為（1，2），切線的斜率為1，所以曲線在處的切線方程為：. （2）當(dāng)時， .，恒成立. 在上為增函數(shù). 故當(dāng)時，. 當(dāng)時，（） ()當(dāng)即時，若時，所以在區(qū)間上為增函數(shù). 故當(dāng)時，且此時. ()當(dāng)，即時，若時，; 若時, 所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 故當(dāng)時，且此時. ()當(dāng)；即時，若時，,所以在區(qū)間1,上為減函數(shù)，故當(dāng)時，. 綜上所述，當(dāng)時，在和上的最小值都是, 所以在上的最小值為；當(dāng)時，在時的最小值為，而， 所以在上的最小值為.當(dāng)時，在時最小值為，在時的最小值為，而, 所以在上的最小值為.所以函數(shù)的最小值為 15.（本小題滿分20分）解:（1）令，又，. 令，得 ，即 對任意的實數(shù)總成立， 為偶函數(shù). （2）令，得 ，. .