專題比較二次根式大小

1、專題：比較二次根式大小二次根式是初中數(shù)學中的基礎(chǔ)知識，也是初中數(shù)學學習中的重點內(nèi)容；而比較二次根式的大小又是二次根式知識中的難點，也是中考和數(shù)學競賽中常見的題型，經(jīng)常會考到不查表、不求二次根式的值，來比較幾個不含分母的二次根式的大小的問題。盡管教材上介紹了比較二次根式大小的幾種基本方法，如求近似值法、比較被開方數(shù)法等，盡管很多教輔材料中也總結(jié)了不少諸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒數(shù)”、“平方”等方法，但許多學生在考試中仍顯得力不從心，并不清楚到底什么時候用哪種方法最合適？解答這類題目時缺少方法與對策，以至于無從下手。下面就舉例介紹幾種比較二次根式大小的有效方法。一、移動因式法將根號外

2、的正因式移入根號內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小。例1：比較的大小。解：二、運用平方法兩邊同時平方,轉(zhuǎn)化為比較冪的大小。此法的依據(jù)是：兩個正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大的數(shù)就大；兩個負數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小。例2：比較與的大小。解：，0，0三、分母有理化法此法是先將各自的分母有理化，再進行比較。例3：比較與的大小。解：四、分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。例4：比較與的大小解：五、求差或求商法求差法的基本思路是：設(shè)為任意兩個實數(shù)，先求出與的差，再根據(jù)“當0時，；當時，；當0時，”來比較與的大小。求商法的基本思路是：設(shè)為任意兩個實數(shù)，先求出與的商，再根據(jù)“同號：當1時，；

3、1時，；1時，。異號：正數(shù)大于負數(shù)” 來比較與的大小。例5：比較的大小。解：例6：比較的大小。解：1六、求倒數(shù)法先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進行比較。例7：比較的大小。解：七、運用媒介法此法是借助中間量（定量或變量）巧妙轉(zhuǎn)換達到直觀比較的方法，類似于解方程中的換元法。例8：已知，試比較的大小。解：設(shè)，則，即八、設(shè)特定值法如果要比較的二次根式中含有字母，為了快速比較，解答時可在許可的條件下設(shè)定特殊值來進行比較。例9：比較 與 的大小。解：設(shè)，則：1，1，九、局部縮放法如果要比較的二次根式一眼看不出有什么特點，又不準求近似值，可采取局部縮放法，以確定它們的取值范圍，從而達到比較大小的目的。例10：比較的

4、大小。解：設(shè)，78，即78，89，即89，即例11：比較與的大小。解：十、“結(jié)論”推理法通過二次根式的不斷學習，不難得出這樣的結(jié)論：“（0）”，利用此結(jié)論也可以比較一些二次根式的大小（結(jié)論證明見文末）。例12：比較1與的大小。解：，由（0）可知：即又，即1總的來說，比較二次根式大小的方法不僅僅局限于以上十種，除此之外諸如移項、拆項法，類比推理法，數(shù)形結(jié)合法，數(shù)軸法，還有假設(shè)推理法等等，但不管使用哪種方法，都必須在掌握二次根式的基本性質(zhì)和運算法則上進行，要根據(jù)問題的特征，二次根式的結(jié)構(gòu)特點，多角度地探索思考，做到具體問題具體分析，針對不同問題采取不同的策略，另外還應多做這方面的訓練，方能達到熟練而又快捷，運用自如的程度。附：“（0）”。【典題新練】：1、比較與的大?。?、比較與的大??；3、比較與的大?。?、比較與的大小；5、比較與的大?。?、比較與的大小（其中為正整數(shù)）；7、設(shè)，試比較它們的大小；8、比較與的大??；9、比較與的大??；10、 比較與的大??；11、比較