斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式 (2)

1、斐波那契數(shù)列,“斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱(chēng)作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫(xiě)了珠算原理(Liber Abaci)一書(shū)。他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點(diǎn)相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個(gè)阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué)。斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21 這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前

2、兩項(xiàng)之和。它的通項(xiàng)公式為：(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n【5表示根號(hào)5】 很有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式居然是用無(wú)理數(shù)來(lái)表達(dá)的。 【該數(shù)列有很多奇妙的屬性】比如：隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越逼近黃金分割0.6180339887 還有一項(xiàng)性質(zhì)，從第二項(xiàng)開(kāi)始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1。如果你看到有這樣一個(gè)題目：某人把一個(gè)8*8的方格切成四塊，拼成一個(gè)5*13的長(zhǎng)方形，故作驚訝地問(wèn)你：為什么6465？其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng)，事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差1，

3、只不過(guò)后面那個(gè)圖中有一條細(xì)長(zhǎng)的狹縫，一般人不容易注意到。如果任意挑兩個(gè)數(shù)為起始，比如5、-2.4，然后兩項(xiàng)兩項(xiàng)地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項(xiàng)之比也越來(lái)越逼近黃金分割，且某一項(xiàng)的平方與前后兩項(xiàng)之積的差值也交替相差某個(gè)值。斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)同時(shí)也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個(gè)數(shù)?！眷巢瞧鯏?shù)列別名】斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”。斐波那契數(shù)列一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來(lái)。如果

4、所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子？ 我們不妨拿新出生的一對(duì)小兔子分析一下： 第一個(gè)月小兔子沒(méi)有繁殖能力，所以還是一對(duì); 兩個(gè)月后，生下一對(duì)小兔民數(shù)共有兩對(duì); 三個(gè)月以后，老兔子又生下一對(duì)，因?yàn)樾⊥米舆€沒(méi)有繁殖能力，所以一共是三對(duì); 依次類(lèi)推可以列出下表： 經(jīng)過(guò)月數(shù)：0123456789101112 兔子對(duì)數(shù)：1123581321345589144233 表中數(shù)字1，1，2，3，5，8構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列。這個(gè)數(shù)列有關(guān)十分明顯的特點(diǎn)，那是：前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了后一項(xiàng)。 這個(gè)數(shù)列是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在算盤(pán)全書(shū)中提出的，這個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/

5、的性質(zhì)外，還可以證明通項(xiàng)公式為：an=1/（15/2) n-(1-5/2) n(n=1,2,3.）【斐波那挈數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)】斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21 如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(xiàng)(nN+)。那么這句話可以寫(xiě)成如下形式：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n3)顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列。通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程線性遞推數(shù)列的特征方程為：X2=X+1解得X1=(1+5)/2, X2=(1-5)/2.則F(n)=C1*X1n + C2*X2nF(1)=F(2)=1C1*X1 + C2*X2C1*X12 + C2*X22解得C1=1/

6、5，C2=-1/5F(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n【5表示根號(hào)5】通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法二：普通方法設(shè)常數(shù)r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)則r+s=1, -rs=1n3時(shí)，有F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1)將以上n-2個(gè)式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=s(n-2)*F(2)-r*F(1)s=1-r，F(xiàn)(1)=F(2)=1上式可化簡(jiǎn)得：F(n)=s(n-1)+r*F(n-1) 那么：F(n)=s(n-1)+r*F(n-1)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*F(n-2)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r3*F(n-3)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)*F(1)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)（這是一個(gè)以s(n-1)為首項(xiàng)、以r(n-1)為末項(xiàng)、r/s為公差的等比數(shù)列的各項(xiàng)的和）=