數(shù)值計算課后答案1

1、1習(xí)題一解答1.取3.14,3.15,22,355作為n的近似值，求各自的絕對誤差，相對7113誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：求絕對誤差的方法是按定義直接計算。求相對誤差的一般方法是先 求出絕對誤差再按定義式計算。注意，不應(yīng)先求相對誤差再求絕對誤差。 有效數(shù) 字位數(shù)可以根據(jù)定義來求，即先由絕對誤差確定近似數(shù)的絕對誤差不超過那一位 的半個單位，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。有了定理2后，可以根據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2，首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化 為科學(xué)記數(shù)形式，然后解答。解：（1）絕對誤差：e(x)=n3.14=3.141592653.14=0.001590.0016。相

2、對誤差：有效數(shù)字:因為n=3.14159265=0.314159265X10，3.14=0.314X10，m=1而n3.14=3.14159265一3.14=0.0015911所以|n3.140.00159三0.005=0.5X102=1102- 101 322所以，3.14作為n的近似值有3個有效數(shù)字。(2)絕對誤差：e(x)=n3.15=3.141592653.14= 0.0084070.0085。 相對誤差：er(x)血0.00850.27 102x 3.15有效數(shù)字：因為n=3.14159265=0.314159265X10，3.15=0.315X10，m=1而n3.15=3.1415

3、92653.15= 0.00840711所以|n3.150.0084070.05=0.5X101=101 101 222所以，3.15作為n的近似值有2個有效數(shù)字。(3)絕對誤差：22e(x)3.14159265L 3.142857143 0.001264493_0.00137相對誤差：er(x)e(x)x0.00163.140.51 102有效數(shù)字:因為n=3.14159265=0.314159265X10,22223.14159265L3.1428571430.001264493L7實際上，本題所求得只能是絕對誤差限和相對誤差限，而不是絕對誤差 和相對誤差2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具

4、有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300V(x)空x曾0.41 103223.1428571430.3142857143 10,m=1所以223.14159265L3.1428571430.001264493 L 0.0050.5 102122 1022101 3所以，琴作為”的近似值有3個有效數(shù)字。(4)e(x)絕對誤差：3553.14159265 L 3.141592920.0000002705 L1130.000000271相對誤差:er(x)e(x)x0.0000002717-000一0863 10113有效數(shù)字:因為n=3

5、.14159265=0.314159265X10,3551133.14159292 0.314159292 10,m=13553.14159265L1133.141592920.0000002705 L3553.14159265 L 3.1415929211310.0000002705 L0.00000050.5106所以，355113指出：10作為n的近似值有7個有效數(shù)字。所以1 71 10612 23解：346.7854346.79,7.0000097.0000,0.00013245800.00013246,0.6003000.60030。指出：注意0。只要求寫出不要求變形。3、下列各數(shù)都

6、是對準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出 他們的絕對誤差限和相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。X|0.0315, x20.3015, x331.50, X45000。分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則 確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對誤差限，再求相對誤差限，最后確定有效數(shù)字 個數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對誤差限分別是(為)0.00005, (x2)0.00005, (x3)0.005, (x4)0.5由絕對誤差和相對誤差的關(guān)系，相對誤差限分別是（X1）X10.031516%,(x2)0.00005（X2-0.02%,X20.3015(

7、x3)0.005(%)0.002%,X331.5（X(X4)0.50.01%.&5000有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。指出:本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫出絕對誤差，用定義求出相對 誤差4(x y) z,x (y z)兩種算法計算x y z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較解：fl(x y) z) (0.23371258 1040.33678429 102) 0.33677811 102(0.00000023 1020.33678429 102) 0.33677811 1022 20.33678452 100.33677811 100.00000641 102fl(x (y z)

8、0.23371258 104(0.33678429 1020.33677811 102)0.23371258 1040.00000618 1020.00000023 1020.00000618 1020.00000641 1024.計算的近似值，使其相對誤差不超過0.1%。 解：設(shè)取n個有效數(shù)字可使相對誤差小于0.1%，則1石而31 n100.1%,.1012a14，顯然a11n1101 n2 33，此時,101 n0.1%，1即丄6也即( 所以， 此時，5、在計算機數(shù)系F(10,4,-77,77)103與X20.314159 1011 n10n10n=4。X10.14281其相對誤差。解：f

9、l(Gfl(X2)103，1043.162。中，對試求它們的機器浮點數(shù)fl(Xi)(i1,2)及30.1428 10 ,e(fl(xj)0.3142 101,e( fl(x2)XiX2333fl(X1)0.14281 100.1428 100.00001 10 ,fl (x2)0.314159 101( 0.3142 101) 0.00041 101其相對誤差分別是0.00001 103030.007%,e20.000041 1010.3142 101013%。6、在機器數(shù)系F(10,8丄,U)中，取三個數(shù)x 0.23371258 104, y0.33678429102,z 0.3367781

10、1 102，試按5精確計算得：422x y z 0.23371258 1040.33678429 1020.33677811 1022 2 2(0.00000023371258 1020.33678429 102) 0.33677811 1020.33678452371258 1020.33677811 10220.0000641371258 102第一種算法按從小到大計算,但出現(xiàn)了兩個數(shù)量級相差較大的數(shù)相加 容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個相近的數(shù)相減,容易導(dǎo)致 有效數(shù)位的減少。計算結(jié)果證明，兩者精度水平是相同的。在機器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)x 0.2337125

11、8 104,y 0.33678429 102,z 0.33677811 102，試按(x y) z,x (y z)兩種算法計算x y z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：fl(x y) z) (0.23371258 1040.33678429 102)0.33677811 102222(0.00233713 1020.33678429 102) 0.33677811 102220.33912142 1020.33677811 102220.00003391 1020.33677811 1020.3367442 102fl(x (y z)0.23371258 104(0.33678429 102

12、0.33677811 102)0.23371258 104(0.00003368 1020.33677811 102)420.23371258 1040.33674742 102220.00000023 1020.33674742 102顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。7、某計算機的機器數(shù)系為F(10,2,L,U)，用浮點運算分別從左到右計20.33674719 102第一種算法是按從小到大的順序計算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計算更 精確。精確計算得：x y z 0.23371258 1040.33678429 1020.33677811 1020.000023371258 0.0

13、033678429 33.6778110.003391214158 33.67781133.67441978584220.33674419785842 1026算及從右到左計算1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.01試比較所得結(jié)果。解：從左到右計算得1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.010.1 10 0.04 10 0.03 10 0.02 10 0.00 10 0.00 10 0.00 10 0.00 10 0.19 101.9從右到左計算得1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.010.01 0.02 0.03 0

14、.04 0.2 0.3 0.4 10.1 1010.2 1010.3 1010.4 1010.2 0.3 0.4 10.1 0.2 0.3 0.4 10.1 10 10.1 10 0.1 100.2 102從右到左計算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計算精確。&對于有效數(shù)x13.105,x20.001,x30.100，估計下列算式的相對誤差限X2%X,X X3, y2X1X2X3,y3 X3分析：求和差的相對誤差限采取先求出和差的絕對誤差限再求相對誤差限的方法。求積商的相對誤差限采取先求每一個數(shù)的相對誤差限再求和 的方法。解：因為X13.105,X20.001,X30.100都是有效數(shù),所

15、以(X1)0.0005, (X2)0.0005, (X3)0.0005(X1)0.00050.00050.00050.16%,(X2)50%,(X3)0.5%3.1050.0010.100則(為X2X3)(X1)(X2)(X3) 0.0005 0.0005 0.0005 0.001547(X2)(X2)(X3) 50% 0.5% 50.5%X3指出：如果簡單地用有效數(shù)字與誤差的關(guān)系計算，則不夠精確。注意是相對誤差限的討論。符號要正確，商的誤差限是誤差限的和而不9、試改變下列表達(dá)式，使其計算結(jié)果比較精確(其中X = 1表示X充分接近0,X ? 1表示X充分大)-A X = 1；1 XXXXxX?

16、1；4X,x 0且X=1;X cotx,x 0且X = 1根據(jù)算法設(shè)計的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒有簡單有效的方法時就采用泰勒展開的方法。解：(1)In xxInX2In互；X2(2)11 X 1 X (1 x)21 X 1 X (1X)(1 X)1 x (1 2x X2)3x X2(1X)(1 X)(1X)(1 X)(XiX2X3)(XiX2X3)0.0015(X1X2X3)Xi(X1) (X2)3.105 0.0010.1000.00153.004(X3)0.16% 50%0.5%50.66%4.99 100.05%(1)InX1InX2,X-I X2;分析:811X21X21Xx XX：X

17、X、X21/ X21X1)Fl F12(X1、“ 1、-)(X -)XXr1/ 1JxVXVX2i( .X21. X21)1)21(12X2 X2!4 X4!LX3 XL2!4!11一COtXXX113-xX3451 COSXL（丄X4-L 4!X2n(1)n1丄L (2n)!X2n 1 n 1X(1)L(2n)!13X452n1)盒（Bn是貝努利數(shù)）指出:1 X322nBn 2n 1X(2n)!22nBn :X(2n)!2n 1L)9窮小量，利用無窮小量等價代換，兩個量的差別可能恰恰是影響精度的因素。采用等價無窮小代換，可能只會得到精度水平比較低的結(jié)論。例如1 cosx2si n222(|)

18、2xxxx21cotx1cosxsin xxcosxxxsin xxsi nxx XCOSX,.(x = 1,sinx x) xsin x1 cosxsin x1 i(x = 1,cosx 1) sin x0試與上例比較。有時候這種方法可以使用，例如因為cos(x ) cosx cos sin xsin，當(dāng)=1時，cos 1,s in 0cos(x ) cosxcossin xsin cosx sin xg在這個計算中，由于x是常數(shù)，x的函數(shù)值實際上放大了每一項的計算結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問題不很突出。而利用一階的泰勒展開f (x ) f (x) f ( )(x x )，當(dāng)=1時,就有f(x

19、 ) f (x) f (x)，因此cos(x ) cosx sin x和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開的方法具有一般性并能得到精度更高的結(jié)果，而且不會有方法上出錯的可能。采用等價無窮小代換的方法一般不可行。近似計算中的誤差并不是無102采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實際上，無論是等價無窮小還是洛必 達(dá)法則都是極限方法，而因為近似計算中的誤差雖然可以近似地看作是微 分，但本質(zhì)上卻是一個確定的可能極小的小數(shù)而不是無窮?。ㄚ呌诹愕淖?量），因此近似計算是不能采用極限方法的。3轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡，比如化繁分式為簡分式，但不能取極限。取極限 就違背的了數(shù)值計算的本意。所以，11 x 11 01 11 x

20、 1 x 10 1010、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證1 COS20有較高的精度?解：根據(jù)1 cos2O2sin21o，先查表求出sin1o再計算出要求的結(jié)果精度 較咼。指出：用度數(shù)就可以。不必化為弧度。11、利用.78327.982求方程x256x 10的兩個根，使它們至少具有4位有效數(shù)字。解:由方程的求根公式，本方程的根為因為.78327.982，貝x 28783 28 27.982 55.982如果直接根據(jù)求根公式計算第二個根，則因為兩個相近的數(shù)相減會造 成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此根據(jù)韋達(dá)定理x1x21，在求出x155.982后這樣計算x2:是錯誤的。4極小的數(shù)做除數(shù)，實際上是

21、0型的不定型，要轉(zhuǎn)化為非不定型人,256匕匕5624256 22821228 78311x2丄丄1= 0.01786=0.1786101x155.982這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。12、試給出一種計算積分1e1xnexdx(n0,1,2,3,.)，0近似值的穩(wěn)定算法。In解：當(dāng)n=0時,I011e00 X |x e dxe1(e 1) 11(eXdx01)對In運用分部積分法budvauvbvdu)得a11 n x ,Ine x e dx01 n xe (x e1n 1 x 、nx e dx)0e1(e1n 1 x 、nx e dx)01.1n 1 x .1 ne xe dx1 nIn

22、 1由此得到帶初值的遞推關(guān)系式由遞推公式In=1nIn110In解得1enIn1(n 1,2,3,.)1-(1 In)，這是逆向的遞推公式，對nIn的值作估計，有11 n x ,Ine x e dx011 1e e0 xndx另有11 n xIne x e dx011 ne x dx0(取e的指數(shù)為最小值0，將e取作 則e1丄In。n 1n 1那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取e0=1作為常數(shù)即可簡化公式)。In121)可以看出，n越大，這個近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長度就越短，近似值和精確值就越接近)此時，en1=In1In1

23、= (InIn)1en,|e|= |Cn|,計算是穩(wěn)nnn!定的。實際上，如果我們要求 丨9,可以先求出丨20，這樣求出的丨9的誤差是比丨20的誤差小得多的，而丨20的誤差本身也并不大。實際上，這樣求出的 丨9比直接計 算出來的精確得多。補充題(一)1、 給出數(shù)系F(10,4,-5,5)中的最大數(shù)、最小數(shù)和最小整數(shù)。解：最大數(shù)：0.9999X105;最小數(shù)：0.9999X105；最小正數(shù)：0.0001X105。2、 已知e 2.7182818284590452353602874L，求它在F(10,5，5，5)和F(10,8，5,5)中的浮點數(shù)。解：在F(10,5,5,5)中，fl(e) 0.2

24、7183 101在F(10,8,5,5)中，fl(e) 0.27182818 103、 已知數(shù)e的以下幾個近似數(shù)，它們分別有幾位有效數(shù)字？相對誤差是多少？x02.7182, x12.7183, x02.7182818。分析：題目沒有說明近似數(shù)是通過哪種途徑取得的，也就沒有明確每個 近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)之間的誤差關(guān)系。所以，本題的解答應(yīng)當(dāng)從求近似數(shù)的誤差開始。解：因為eXo0.0000818111031101 422eX110.00002 -1041101522eX20.000000031107110182213所以，xo2.7182, x,2.7183, X。2.7182818分別有4、5、8個有效

25、數(shù)字。其相對誤差分別是er（x。）1101 4e xj 210132103, |x|2.718241,c4e為410，e x2110744、數(shù)（3嚶3與下述各式在實數(shù)的意義上是相等的，（3亦）3（1）（17 6.8）3，（2）（17 6.8）31，（3）（3、.8）6，（4）（3、8）T（5）19601 6920.8，（6）（19601 6920 8）1。試說明在浮點數(shù)系F（10,4, 8,8）中，用哪個公式計算出的結(jié)果誤差最小。分析：本題實際上是一個算法分析與設(shè)計問題，也就是說要應(yīng)用算法設(shè) 計的基本原則進(jìn)行分析討論解：在本例中，顯然3和.8在浮點數(shù)系中是相近的數(shù)。進(jìn)一步地，17和6,8、19

26、601和6920、.8也是相近的數(shù)。因此:1為避免相近的數(shù)相減，不應(yīng)采用（1）、（3）、（5）三種計算方法。2在余下的三種計算方法中，（2）需要進(jìn)行4次乘除法，（4）需要進(jìn)行7次乘除法，（6）需要進(jìn)行1次除法。從減少運算次數(shù)來說，應(yīng)采用（6）所以，采用（6）計算，計算結(jié)果誤差最小。X5、f （x） xe2ln（1 x） / x3，當(dāng)x = 1時，如何計算才能獲得準(zhǔn)確的結(jié)果？解：當(dāng)|x = 1（即很小時），f（x）的分子是兩個相近的小數(shù)相減，而分 母也是一個小數(shù)，因此應(yīng)避免簡單地按原計算順序直接計算，而應(yīng)進(jìn)行變 形。由泰勒展開得x14因此5 113972xx24 481920此處最后略去部分的第

27、一項為當(dāng)x= 1時，這一部分是相當(dāng)小的值，可以略去指出:如果要提高計算精度，就可以考慮保留更多的項補充題（二）（一）1、計算e的近似值，使其誤差不超過10-62、利用n 11彳2|nxf (x)1 x x L x市1 x(1x)n 2計算f(0.1)的近似值，其誤差不超過10-2,求n。3、3.142和3.141分別作為n的近似數(shù)，各有幾位有效數(shù)字？4、 已知近似數(shù)x的相對誤差限為0.3%，問x至少有幾個有效數(shù)字?5、已知x的下列3個近似數(shù)的絕對誤差限都是0.005，問它們 的有效數(shù)字各有幾位？a=138.00，b=-0.0132，c=-0.86X1046、設(shè)近似值x=1.234，且絕對誤差界

28、為0.0005，則它至少有幾位有效數(shù)字？7、某校有學(xué)生6281人，通常說有6000人。下面哪個式子表示6000這個近似數(shù)合適?0.6 10444xxe2ln(1x)x(2) x捋3!2xx2f(x)(8(-)x516 245L /x31120 321、36)x6393x3840(01,x1)1、33)x14；)xx150.60 1040.600 103116分析與解答e2.718 285解決這類問題其實很簡單。只要知道了泰勒展開式，余下的就只是簡單的 計算了。泰勒(Taylor)中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)， 在(a,b)上存在n+1階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的x,X

29、0a,b,至少存在一點 & (a, ,b)，使得其中,2、解:m=1。因為n-3.142=3.14159265一3.142= 0.00040所以，|n3.142| =0.00040W0.0005=0.5X10一3=x.2XnxXen 1.e 1 xL一 -X(02!n! (n 1)!當(dāng)x=1時,e 1 11L1e2!n! (n1)!故Rn(1)e3。(n1)!(n 1)!1)f(x)f(X) f (X)(X X。)f (X0)(x x0)2L2!f%)(xn!x)nrn()(n 1)!(x x)n 1f(T()(n 1)!當(dāng)X0=0時,得到麥克勞林公式。Rn(x)(x Xo)n1叫做拉

30、格朗日型余項f(x) f(0) f (0)gxf (0)2!2gx(n 1) /(X)ngx(n 1)!(01)xn1二2(1 x)9(n 2)9n 2所以，0.1n 1(1 0.1)n2103,103n=2。0.1n 1210 10 ,n=3.14159265=0.314159265X10,3.142=0.3142X10,1、解：令f(x)=ex，而f(k)(x)=ex,f(k)(0)=e=1。由麥克勞林公式，可知1)(0當(dāng)n=9時，Rn(1)10-6,符合要求。此時,17貝U m-n=-3。而x=1.234=0.1234X101, 則m=1，所以n=1-(-3)=4所以，x=1.234解：

31、哪個式子表示1010所以，3.142作為n的近似值有4個有效數(shù)字3.1415926L ,3.1415926L3.1410.000590.0050.5 102- 10211 3101 32取為9,小數(shù)點后幾個0，10的指數(shù)的絕對值就是幾。解：設(shè)x有n位有效數(shù)字，其第一位有效數(shù)字按最不利情況 則0.3% 1000_12(91)101九九101n 1 101n2 10解:由上可得6 10n1000，n2.2，所以取n=2。0.005102，所以m-n=-2。a=138.00=0.13800X103，則m=3即a有5位有效數(shù)字；b=-0.0132=-0.132X10-1，則m=-1所以b有1位有效數(shù)字

32、。c=-0.86 X10-4，貝U m=-4，所以n=-4-(-2)=-20所以c沒有有效數(shù)字。解：因為近似數(shù)x=1.23410.00052,所以n=3-(-2)=5，所以n=-1-(-2)=1的絕對誤差界為0.0005,所以103，有4位有效數(shù)字。6000這個近似數(shù)合適實際上要看近似數(shù)31186000有多少個有效數(shù)字。6281近似到十位、百位，千位分別是6281 6280628163006281 6000寫成科學(xué)記數(shù)的形式分別是6281 6280 0.628 104628163000.63 1046281 6000 0.6 104可見，上述寫法中，第一種是合適的。實際上，446281 0.6

33、281 10 ,6000 0.6000 10所以m=4,而6281 6000 281 0.281 1030.5 1 031 103所以m-n=3，貝Un=m-3=4-3=1，即近似數(shù)6000只有一個有效數(shù)字，所以，只有0.6 104這 種寫法是合適的。（二）1、已知測量某長方形場地的長為a=110米，寬為b=80米。若|aa|w（.米），|bb|w（米），試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限。2、 已知三角形的兩個內(nèi)角的測量誤差都不超過0.1則計算第三個角時，絕對誤差不超過多少。13、 若x1=1.03.01,x2=0.45.01，計算y x：e2的近似值并估計誤差。24、 已知測量某長方形場地

34、的長為a=110米，寬為b=80米。若Iaa（.米），I bb（米），試?yán)枚嘣瘮?shù)的誤差分析方法求其面積S=ab的絕對誤差限和相對誤差限，并與四則運算的誤差分析比較。5、 如果用電表測得一個電阻兩端的電壓和通過的電流分別是V=1102（V），I=20.5（A）試運用歐姆定律RV求這個電阻值R的近似值，并估計所求出的近似值的I絕對誤差和相對誤差。19&已知近似值&=2.21耳=4.63,空=7.98是由四舍五入得到的，它們的絕對誤202、提示：內(nèi)角和為180而且180是準(zhǔn)確數(shù)，沒有誤差3、由已知，xi=1.03， xi=0.01,X2=0.45, X2=0.01。所以,fx1(

35、X1,X2)2X11迪小刈尹0.7842,(=X1=0.01, (2)=X2=0.01。所以，y的絕對誤差限為（y）fx1（X1，X2）（幼fx2（X1，X2）（X2）2.06 0.01 0.7842 0.01 0.028將有關(guān)數(shù)據(jù)代入函數(shù)表達(dá)式，可以求出函數(shù)值的近似值為y xi丄eX21.845，2則y的相對誤差限為（y）衛(wèi)空1.5%y 1.845進(jìn)一步地，本題的絕對誤差限可以看作是0.05,那么計算結(jié)果中只需要保留 到百分位就可以了，即最終結(jié)果取1.8,那么計算過程中各數(shù)只需要取到千分位。）4、（6、略解分析與解答ab, (S)(ab)a (b)b (a)19.1(m2)(ab)-(ab)19.10.00217 0.217%ab110 80aa2a3和a18憶3的相對