中高難度環(huán)形跑道奧數(shù)例題精講

1、【例 1】 (2008年第十三屆“華杯賽”決賽)甲、乙兩人沿一個周長米的環(huán)形跑道勻速前進，甲行走一圈需分鐘，乙行走一圈需分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走完圈后，改為反向行走，出發(fā)后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇時，兩人都擊掌示意問：當兩人第次擊掌時，甲共走了多少時間？乙走了多少路程？分析甲走圈時，共用了分鐘，這段時間乙行程圈，每當甲比乙多走圈時，甲便追上乙一次，所以甲走完圈時，比乙多走了圈，兩人共擊掌次，此時，甲、乙兩人相距圈；甲反向行走后，經(jīng)過分鐘，兩人第一次相遇，以后兩人總行程每增加圈，便出現(xiàn)一次相遇，即相遇事件發(fā)生的時間間隔為分鐘，經(jīng)過分鐘，兩人最后一次相遇，此時甲一共走了分鐘，乙走了米

2、拓展繞湖的一周是千米，甲、乙二人從湖邊某一地點同時反向而行，甲以千米小時的速度每走小時后休息分鐘，乙以千米小時的速度每走分鐘后休息分鐘，則兩人從出發(fā)到第一次相遇用多少分鐘？分析甲的速度為千米小時米分鐘，乙的速度為千米小時米分鐘根據(jù)題意可知：甲、乙出發(fā)小時分鐘，甲行(千米)，乙行了米千米還剩下千米米需行駛(分鐘)所以相遇時間有分鐘拓展如圖，長方形的長與寬的比為，、為邊上的三等分點，某時刻，甲從點出發(fā)沿長方形逆時針運動，與此同時，乙、丙分別從、出發(fā)沿長方形順時針運動甲、乙、丙三人的速度比為他們出發(fā)后分鐘，三人所在位置的點的連線第一次構(gòu)成長方形中最大的三角形，那么再過多少分鐘，三人所在位置的點的連線

3、第二次構(gòu)成最大三角形？分析長方形內(nèi)最大的三角形等于長方形面積的一半，這樣的三角形一定有一條邊與長方形的某條邊重合，并且另一個點恰好在該長方形邊的對邊上所以我們只要討論三個人中有兩個人在長方形的頂點上的情況將長方形的寬等分，長等分后，將長方形的周長分割成段，設甲走段所用的時間為個單位時間，那么一個單位時間內(nèi)，乙、丙分別走段、段，由于、兩兩互質(zhì)，所以在非整數(shù)單位時間的時候，甲、乙、丙三人最多也只能有個人走了整數(shù)段所以我們只要考慮在整數(shù)單位時間，三個人運到到頂點的情況對于甲的運動進行討論：時間(單位時間)地點對于乙的運動進行討論：時間(單位時間)地點對于丙的運動進行討論：時間(單位時間)地點需要檢驗

4、的時間點有、個單位時間的時候甲和丙重合無法滿足條件個單位時間的時候甲在上，三人第一次構(gòu)成最大三角形所以一個單位時間相當于分鐘個單位時間的時候甲、乙、丙分別在、的位置第二次構(gòu)成最大三角形所以再過分鐘三人所在位置的點的連線第二次構(gòu)成最大三角形？【例 2】 有一正方形，邊長12厘米，甲、乙、丙三只螞蟻從正方形的同一頂點沿正方形的邊同時同向出發(fā)三只螞蟻爬行的速度分別是：甲為每秒厘米，乙為每秒厘米，丙為每秒厘米問：出發(fā)幾秒鐘后甲開始同時看見乙和丙的后背？【分析】 (秒)，即甲爬行80秒可以比乙多爬一個邊長；(秒)，即甲爬行50秒可以比丙多爬一個邊長若使甲能同時看見乙和丙的后背，則甲與乙、丙必須在同一條邊

5、上，所以甲比乙和丙多爬的距離在個邊長和個邊長之間那么，甲比乙多爬的距離為3個邊長和4個邊長之間、7個邊長和8個邊長之間根據(jù)前面的計算，甲可能看見乙的后背的時間段可能是240秒到320秒之間、560秒到640秒之間、880秒到960秒之間同理，甲可能看見丙的后背的時間段可能是150秒到200秒之間、350秒到400秒之間、550秒到600秒之間選取其中公共的時間段，即560秒到600秒之間在560秒時，甲與乙的距離為1個邊長，則甲只有在正方形的某個頂點處才能看見乙的后背，否則必須爬到下一個頂點處才能看到乙的后背甲爬一個邊長需要秒，而秒，所以當甲爬了秒時，甲恰好到達正方形的頂點處，這時才開始同時看

6、見乙和丙的后背拓展(2004年第九屆“華杯賽”總決賽試題)正方形跑道甲、乙、丙三人同時從點出發(fā)同向跑步，他們的速度分別為每秒5米、4米、3米若干時間后，甲首次開始看到乙和丙都與自己在正方形的同一條邊上，且他們在自己的前方從此時算起，又經(jīng)過21秒，甲、乙、丙三人處在跑道的同一位置，這是出發(fā)后三人第一次處在同一位置求正方形周長的所有可能值分析設正方形的邊長為米，所以甲跑秒可以比乙多跑一個邊長；，甲跑秒可以比丙多跑一個邊長若使甲能同時看見乙和丙，且他們在自己的前方，則甲比乙和丙多跑的距離在個邊長和個邊長之間根據(jù)前面的計算，甲可能看見乙的后背的時間段可能是秒到秒之間，秒到秒之間甲可能看見丙的后背的時間

7、段可能是秒到秒之間，秒到秒之間選取其中公共的時間段，即秒到秒之間在秒時，甲只有在正方形的某個頂點處才能看見丙的后背，否則必須跑到下一個頂點處才能看到丙的后背甲跑一個邊長需要秒，而秒，所以當甲跑了秒時，才開始同時看見乙和丙的后背，所以經(jīng)過秒后甲第一次追上乙，此時甲、乙、丙分別跑了5圈、4圈、3圈，所以這也是出發(fā)后三人第一次處在同一位置所以，即(米)，所以正方形的周長應為210米拓展在正三角形中，是邊上的一點，且，學學和思思兩人在三角形邊上分別勻速行走學學從點開始沿的方向走，思思從點開始沿的方向走已知兩人第一次相遇恰好是在點，且兩人第一次在線段(不含端點)上相遇時，相遇點距點24米則的長度等于_米

8、【分析】由于兩人第一次相遇恰好在點，此時學學和思思所走的路程分別為和，根據(jù)“時間相同，速度比等于路程的比”，可得學學和思思的速度比為設每邊長為15個單位設第次相遇時是兩人第一次在線段(不含端點)上相遇，由于第一次相遇以后，兩人每合走一個周長就相遇一次，則此時兩人共走個周長加1條邊，即，其中學學走了要想在線段上相遇，則除以45的余數(shù)應大于7，小于15因為，被3除余1，所以被45除只能余10或13如果，則，；如果，則，所以，兩人第12次相遇是第一次在線段(不含端點)上相遇，被45除余13也就是說距離點2個單位，所以1個單位是12米，邊長為15個單位，也就是180米另解：同上可得到學學和思思的速度比

9、為當兩人第一次在線段(不含端點)上相遇時，根據(jù)兩人行走的方向，思思一定是經(jīng)過點后走到相遇點的，學學一定是經(jīng)過點后走到相遇點的考慮思思在這次相遇前走到點時學學所處的位置，如果學學當時在點，兩人將再次相遇在點，不合題意；如果此時學學不在邊上，兩人更不可能在線段(不含端點)上相遇；只有當學學此時在邊上且不在兩個端點時，兩人將必然在線段(不含端點)上相遇所以當思思走了整數(shù)圈，學學走的路程超過某個整數(shù)圈，又小于這個整數(shù)圈再加上圈時，兩人再向前走將必然在線段(不含端點)上相遇假設此時思思走了圈，根據(jù)速度比，學學走了圈，則有(為整數(shù))，即，故，由于是第一次在線段(不含端點)上相遇，由于，則，得，那么的最小值

10、為6當時，思思走了6圈到點，學學走了圈，即走了5圈后又走了圈，此時走到邊的處，距離點則為的，兩人相向而行直至相遇，思思走了其中的，所以的即為24米，那么邊的長度為(米)【低難度試題】【例6】（）在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達B點，又過8分兩人再次相遇。甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？【分析】20分，30分。解：由題意知，甲行4分相當于乙行6分。（抓住走同一段路程時間或速度的比例關(guān)系）從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，而乙行12分相當于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需12820（分），乙需20÷4×630（分）?！纠?

11、】（）如右圖，A，B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇。已知C離A有80米，D離B有60米，求這個圓的周長?！窘狻扛鶕?jù)總結(jié)可知，第二次相遇時，乙一共走了80×3=240米，兩人的總路程和為一周半，又甲所走路程比一周少60米，說明乙的路程比半周多60米，那么圓形場地的半周長為240-60=180米，周長為180×2=360米?！纠?】（）甲、乙兩名運動員在周長400米的環(huán)形跑道上進行10000米長跑比賽，兩人從同一起跑線同時起跑，甲每分跑400米，乙每分跑360米，當甲比乙領(lǐng)先整整一圈時，兩人同時加速，乙的速度比原來快

12、，甲每分比原來多跑18米，并且都以這樣的速度保持到終點。問：甲、乙兩人誰先到達終點？【來源】第九屆小數(shù)報數(shù)學競賽決賽應用題第3題【解】從起跑到甲比乙領(lǐng)先一圈，所經(jīng)過的時間為400÷（400360）10（分），甲到達終點還需跑（1000400×10）÷（40018）（分），乙還需要（1000360×10）÷360×（1）（分）由于，所以乙先到達終點。【例9】（） 右圖中，外圓周長40厘米，畫陰影部分是個“逗號”，兩只螞蟻分別從A，B同時爬行。甲螞蟻從A出發(fā)，沿“逗號”四周順時針爬行，每秒爬3厘米；乙螞蟻從B出發(fā)，沿外圓圓周順時針爬行，每

13、秒爬行5厘米。兩只螞蟻第一次相遇時，乙螞蟻共爬行了多少米？【解】1.5米?！岸禾枴钡闹荛L與外圓的周長相等，都是40厘米。乙比甲多爬20厘米需20÷（53）10（秒），此時甲爬了30厘米，位于圓內(nèi)的弧線上，而乙位于外圓周上，兩只螞蟻沒有相遇。乙比甲多爬60厘米需60÷（53）30（秒），此時兩只螞蟻都在外圓周上，是第一次相遇，乙爬了5×30150（厘米）?！纠?0】（）小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時從

14、同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？【解】（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是500÷（220-180）12.5（分）.220×12.5÷5005.5（圈）.答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.【例 3】 甲、乙、丙三人沿湖邊一固定點出發(fā)，甲按順時針方向走，乙與丙按逆時針方向走甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再

15、過3分45秒第二次遇到乙已知甲、乙的速度比是，湖的周長是600米，求丙的速度【分析】甲第一次遇見乙后分鐘遇到丙，再過分第二次遇到乙，所以甲、乙經(jīng)過分鐘的時間合走了一圈，甲、乙的速度和為米/分，甲的速度為米/分甲、乙合走一圈需要5分鐘，而甲第一次遇見乙后分鐘遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要分鐘，甲、丙的速度和為米/分，從而丙的速度為米/分環(huán)形線路甲、乙兩車同時從同一點出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點距離點有多少米？(每一次甲車追上乙車也

16、看作一次相遇)【分析】第一次是一個相遇過程，相遇時間為：小時，相遇地點距離點： 千米然后乙車調(diào)頭，成為追及過程，追及時間為：小時，乙車在此過程中走的路程為：千米，即5圈又3千米，那么這時距離點千米此時甲車調(diào)頭，又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離點千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據(jù)上面的計算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時兩車又重新回到了點，并且行駛的方向與最開始相同 所以，每4次相遇為一個周期，而，所以第11次相遇的地點與第3次相遇的地點是相同的，與點的距離是3000米拓展如圖所示，甲、乙兩人從長為米的圓形跑道的點背向出發(fā)跑步跑道右半部分(粗線部分)道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒米兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距點還有 米分析本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時間分別相同，那么兩人所用的總時間也就相同，所以，兩人同時出發(fā)，跑一圈后同時回到點，即兩人在點迎面相遇，然后再從點出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期在第一個周期內(nèi)，兩人同時出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一