一次不定方程的解法

1、一次不定方程的解法我們現(xiàn)在就這個問題，先給出一個定理定理 如果是互質(zhì)的正整數(shù)，是整數(shù)，且方程 有一組整數(shù)解則此方程的一切整數(shù)解可以表示為其中證 因為是方程的整數(shù)解，當然滿足 因此這表明，也是方程的解設是方程的任一整數(shù)解，則有 得 由于，所以，即，其中是整數(shù)將代入，即得因此可以表示成，的形式，所以，表示方程的一切整數(shù)解，命題得證有了上述定理，求解二元一次不定方程的關鍵是求它的一組特殊解.例1 求的整數(shù)解解法1 將方程變形得因為是整數(shù)，所以應是的倍數(shù)由觀察得是這個方程的一組整數(shù)解，所以方程的解為 解法2 先考察，通過觀察易得，所以，可取，從而 可見，二元一次不定方程在無約束條件的情況下，通常有無數(shù)

2、組整數(shù)解，由于求出的特解不同，同一個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的將解中的參數(shù)t做適當代換，就可化為同一形式例2 求方程的非負整數(shù)解解 因為，所以方程兩邊同除以得 由觀察知，是方程 的一組整數(shù)解，從而方程的一組整數(shù)解為由定理，可得方程的一切整數(shù)解為因為要求的是原方程的非負整數(shù)解，所以必有 由于是整數(shù)，由得，所以只有兩種可能當；當所以原方程的非負整數(shù)解是 ，例3 求方程的所有正整數(shù)解分析 這個方程的系數(shù)較大，用觀察法去求其特殊解比較困難，碰到這種情況我們可用逐步縮小系數(shù)的方法使系數(shù)變小，最后再用觀察法求得其解解 用方程 的最小系數(shù)7除方程的各項，并移項得 因為是整數(shù)，故

3、也是整數(shù)，于是化簡得到 令（整數(shù)），由此得 由觀察知是方程的一組解將代入得，再將代入得于是方程有一組解，所以它的一切解為 由于要求方程的正整數(shù)解，所以解不等式，得只能取因此得原方程的正整數(shù)解為 ，當方程的系數(shù)較大時，我們還可以用輾轉(zhuǎn)相除法求其特解，其解法結(jié)合例題說明例4 求方程的整數(shù)解解為用和表示，我們把上述輾轉(zhuǎn)相除過程回代，得 由此可知是方程的一組整數(shù)解于是，是方程的一組整數(shù)解所以原方程的一切整數(shù)解為 例5 某國硬幣有分和分兩種，問用這兩種硬幣支付分貨款，有多少種不同的方法？解 設需枚分，枚分恰好支付分，于是 所以由于，所以，并且由上式知因為，所以，從而，所以的非負整數(shù)解為 ， ， ，所以，

4、共有4種不同的支付方式說明 當方程的系數(shù)較小時，而且是求非負整數(shù)解或者是實際問題時，這時候的解的組數(shù)往往較少，可以用整除的性質(zhì)加上枚舉，也能較容易地解出方程多元一次不定方程可以化為二元一次不定方程例6 求方程的整數(shù)解解 設，即，于是于是原方程可化為 用前面的方法可以求得的解為 （是整數(shù)） 的解為 （是整數(shù)） 消去，得 （都是整數(shù)）大約1500年以前，我國古代數(shù)學家張丘建在他編寫的張丘建算經(jīng)里，曾經(jīng)提出并解決了“百錢買百雞”這個有名的數(shù)學問題，通俗地講就是下例例7 今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只用個錢買只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？解 設公雞、母雞、小雞各買只，由題意列方程組 化簡得 得即，解得于是的一個特解為由定理知的所有整數(shù)解為 由題意知，所以 解得 由于是整數(shù)，故只能取，而且還應滿足2