2025年中考數(shù)學(xué)考點分類專題歸納之二次函數(shù)

年中考數(shù)學(xué)考點分類專題歸納二次函數(shù)知識點一、二次函數(shù)的定義一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)．備注：如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越?。R點二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④，

其中，；⑤．（以上式子a≠0）幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：2．拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點．(1)a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下；(2)平行于y軸(或重合)的直線記作x=h．特別地，y軸記作直線x=0．3．拋物線中，a，b，c的作用：(1)a決定開口方向及開口大??；(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置．由于拋物線的對稱軸是直線，故：①b=0時，對稱軸為y軸；②(即a、b同號)時，對稱軸在y軸左側(cè)；③(即a、b異號)時，對稱軸在y軸右側(cè)．(3)c的大小決定拋物線與y軸交點的位置．當(dāng)x=0時，y=c，∴拋物線與y軸有且只有一個交點(0，c)：①c=0，拋物線經(jīng)過原點；②c>0，與y軸交于正半軸；③c<0，與y軸交于負半軸．4．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知圖象上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式．

(2)頂點式：（a≠0）．已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式．

(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù)．)

(3)交點式：已知圖象與x軸的交點坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點式：

（a≠0）．(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：,)．知識點三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系函數(shù)（a≠0），當(dāng)y=0時，得到一元二次方程（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況．(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根．通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：知識點四、利用二次函數(shù)解決實際問題利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題．在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義．利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標(biāo)聯(lián)系起來；(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題．備注：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等．解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式．1．（2024山東青島）已知一次函數(shù)yx+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．2．若滿足x≤1的任意實數(shù)x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣43．（2024山東德州）如圖，函數(shù)y＝ax2﹣2x＋1和y＝ax﹣a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A． B． C． D．4．(2024湖南岳陽)拋物線y＝3（x﹣2）2+5的頂點坐標(biāo)是（）A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）5．拋物線y＝x2﹣2x+2的頂點坐標(biāo)為（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）6．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024甘肅蘭州A）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數(shù)）．其中正確結(jié)論的有（）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤8．（2024黑龍江綏化）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，與x軸的一個交點坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對稱軸是x＝1．下列結(jié)論中：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝3有兩個不相等的實數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0）；⑤若點A（m，n）在該拋物線上，則am2+bm+c≤a+b+c．其中正確的有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個9．（2024山東日照）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④點（﹣3，y1），（1，y2）都在拋物線上，則有y1＞y2．其中正確的結(jié)論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個10．（2024遼寧撫順）已知拋物線y＝ax2+bx+c（0＜2a≤b）與x軸最多有一個交點．以下四個結(jié)論：①abc＞0；②該拋物線的對稱軸在x＝﹣1的右側(cè)；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c+1＝0無實數(shù)根；④2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2024四川資陽）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，OA＝OC，則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個字母的等式或不等式：①1；②ac+b+1＝0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個12．（2024山東省煙臺）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）．下列結(jié)論：①2a﹣b＝0；②（a+c）2＜b2；③當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＜0；④當(dāng)a＝1時，將拋物線先向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到拋物線y＝（x﹣2）2﹣2．其中正確的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④13．（2024湖北恩施）拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，圖象過（1，0）點，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若點（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在拋物線上，則y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正確的個數(shù)有（）A．2 B．3 C．4 D．514．（2024湖北荊門）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為﹣4．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個15．(2024湖南衡陽)如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），頂點坐標(biāo)（1，n）與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），則下列結(jié)論：①3a+b＜0；②﹣1≤a；③對于任意實數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個16．（2024甘肅白銀）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x＝1．對于下列說法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m為實數(shù)）；⑤當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤17．（2024山東濱州）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x＝1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則①二次函數(shù)的最大值為a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④當(dāng)y＞0時，﹣1＜x＜3．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．418．把拋物線yx2向右平移2個單位，則平移后所得拋物線的解析式為（）A．yx2+2 B．y（x+2）2 C．yx2﹣2 D．y（x﹣2）219．將拋物線y＝x2+2x+3向下平移3個單位長度后，所得到的拋物線與直線y＝3的交點坐標(biāo)是（）A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0） C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）20．（2024貴州黔西南州）已知：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表格所示，那么它的圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)是______．x…－1012…y…0343…21．（2024湖北黃岡）當(dāng)a≤x≤a+1時，函數(shù)y＝x2﹣2x+1的最小值為1，則a的值為（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或222．（2024山東濰坊）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為﹣1，則h的值為（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或623．（2024貴州貴陽）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6及一次函數(shù)y＝﹣x+m，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)（如圖所示），當(dāng)直線y＝﹣x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍是（）A．m＜3 B．m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣224．（2024廣西玉林）如圖，一段拋物線y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）為C1，與x軸交于A0，A1兩點，頂點為D1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，頂點為D2；C1與C2組成一個新的圖象，垂直于y軸的直線l與新圖象交于點P1（x1，y1），P2（x2，y2），與線段D1D2交于點P3（x3，y3），設(shè)x1，x2，x3均為正數(shù)，t＝x1+x2+x3，則t的取值范圍是（）A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤1225．（2024四川巴中）一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當(dāng)球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心距離地面高度為3.05m，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，下列說法正確的是（）A．此拋物線的解析式是yx2+3.5 B．籃圈中心的坐標(biāo)是（4，3.05） C．此拋物線的頂點坐標(biāo)是（3.5，0） D．籃球出手時離地面的高度是2m26．（2024江蘇連云港）已知學(xué)校航模組設(shè)計制作的火箭的升空高度h（m）與飛行時間t（s）滿足函數(shù)表達式h＝﹣t2+24t+1．則下列說法中正確的是（）A．點火后9s和點火后13s的升空高度相同 B．點火后24s火箭落于地面 C．點火后10s的升空高度為139m D．火箭升空的最大高度為145m27．（2024黑龍江哈爾濱）拋物線y＝2（x+2）2+4的頂點坐標(biāo)為________．28．(2024江蘇淮安)將二次函數(shù)y＝x2﹣1的圖象向上平移3個單位長度，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達式是________．29．（2024湖北孝感）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（1，1），則方程ax2＝bx+c的解是___________．30.（2024遼寧沈陽）如圖，一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開．已知籬笆的總長為900m（籬笆的厚度忽略不計），當(dāng)AB＝_____m時，矩形土地ABCD的面積最大．31．（2024浙江湖州）已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）經(jīng)過點（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．32．（2024寧夏）拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點A（3，0）和點B（0，3），且這個拋物線的對稱軸為直線l，頂點為C．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AB、AC、BC，求△ABC的面積．33．某商店銷售一款進價為每件40元的護膚品，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價不低于40元且不高于80元時，該商品的日銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)銷售單價為44元時，日銷售量為72件；當(dāng)銷售單價為48元時，日銷售量為64件．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該護膚品的日銷售利潤為w（元），當(dāng)銷售單價x為多少時，日銷售利潤w最大，最大日銷售利潤是多少？34．某商場銷售一種商品，進價為每個20元，規(guī)定每個商品售價不低于進價，且不高于60元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（個）與每個商品的售價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分數(shù)據(jù)如下所示：每個商品的售價x（元）…304050…每天的銷售量y（個）1008060…（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；（2）設(shè)商場每天獲得的總利潤為w（元），求w與x之間的函數(shù)表達式；（3）不考慮其他因素，當(dāng)商品的售價為多少元時，商場每天獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？35．某商場將每件進價為80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品的銷售單價每降低1元，其日銷量可增加8件．設(shè)該商品每件降價x元，商場一天可通過A商品獲利潤y元．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式（不必寫出自變量x的取值范圍）（2）A商品銷售單價為多少時，該商場每天通過A商品所獲的利潤最大？36．工人師傅用一塊長為12分米，寬為8分米的矩形鐵皮制作一個無蓋長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形．（厚度不計）（1）請在圖中畫出裁剪示意圖，用實線表示裁剪線，虛線表示折痕；并求當(dāng)長方體底面面積為32平方分米時，裁掉的正方形邊長是多少？（2）若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的5倍（長大于寬），并將容器外表面進行防銹處理，側(cè)面每平方分米的費用為0.5元，底面每平方分米的費用為2元，求裁掉的正方形邊長為多少時，總費用最低，最低費用為多少元？37．近期，第八屆“重慶車博會“在會展中心盛大開幕，某汽車公司推出降價促銷活動，銷售員小王提前做了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)車輛的銷量y（輛）與售價（萬元/輛）存在如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系：售價x（萬元/輛）…2019.819.619.419.219…銷量y（輛）…5678910…（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每輛車的成本為11萬元，在每輛車售價不低于15萬元的前提下，每輛車的售價定為多少萬元時，汽車公司獲得的總利潤W（萬元）有最大值？最大值是多少？38．服裝廠批發(fā)某種服裝，每件成本為65元，規(guī)定不低于10件可以批發(fā)，其批發(fā)價y（元/件）與批發(fā)數(shù)量x（件）（x為正整數(shù)）之間所滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）設(shè)服裝廠所獲利潤為w（元），若10≤x≤50（x為正整數(shù)），求批發(fā)該種服裝多少件時，服裝廠獲得利潤最大？最大利潤是多少元？39．（2024貴州貴陽）六盤水市梅花山國際滑雪自建成以來，吸引大批滑雪愛好者，一滑雪者從山坡滑下，測得滑行距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的關(guān)系可以近似的用二次函數(shù)來表示．滑行時間x/s0123…滑行距離y/m041224…（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達式．現(xiàn)測量出滑雪者的出發(fā)點與終點的距離大約840m，他需要多少時間才能到達終點？（2）將得到的二次函數(shù)圖象補充完整后，向左平移2個單位，再向下平移5個單位，求平移后的函數(shù)表達式．40．某公司推出一款產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系關(guān)于銷售單價，日銷售量，日銷售利潤的幾組對應(yīng)值如表：銷售單價x（元）8595105115日銷售量y（個）17512575m日銷售利潤w（元）87518751875875（注：日銷售利潤＝日銷售量×（銷售單價﹣成本單價））（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的值；（2）根據(jù)以上信息，填空：該產(chǎn)品的成本單價是____元，當(dāng)銷售單價x＝_____元時，日銷售利潤w最大，最大值是______元；（3）公司計劃開展科技創(chuàng)新，以降低該產(chǎn)品的成本，預(yù)計在今后的銷售中，日銷售量與銷售單價仍存在（1）中的關(guān)系．若想實現(xiàn)銷售單價為90元時，日銷售利潤不低于3750元的銷售目標(biāo)，該產(chǎn)品的成本單價應(yīng)不超過多少元？41．（2024福建A卷）空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．（1）已知a＝20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長；（2）已知0＜a＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．42.（2024浙江衢州）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴