二次型及應(yīng)用問(wèn)題1矩陣的等價(jià)相似合同辨析答兩個(gè)矩陣等

1、二次型及應(yīng)用問(wèn)題1:矩陣的等價(jià)、相似、合同辨析答：(1)兩個(gè)矩陣等價(jià)：A和B等價(jià)，即表示為A二B ； A和B是同型矩陣；滿 足，PAQ二B, P、Q可逆，即將A通過(guò)行初等變化和列初等變換后得到 B的矩 陣，其中 r(A) =r(B)。(2) 兩個(gè)矩陣相似：A和B相似，即表示為加斕；A和B是n階方陣；滿足，PAP=B ,P可逆， 即也A二B，其中，r(A)=r(B)、 A二 B(3) 兩個(gè)矩陣合同：A和B合同，即表示為A : B ； A和 B是n階方陣； 滿足，PTAP二B ,P可逆，即也A二B，其中，r(A) = r(B)問(wèn)題2:通過(guò)正交變換或可逆變換得到的標(biāo)準(zhǔn)形一樣嗎？答：不同點(diǎn)：i) 正交

2、變換得到的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：對(duì)角線元素是實(shí)對(duì)稱陣的特征值；且標(biāo)準(zhǔn) 形在不計(jì)特征值順序時(shí)是唯一的。ii) 可逆線性變換得到的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：對(duì)角元素不一定是實(shí)對(duì)稱陣的特征 值，且其形式也不唯一。相同點(diǎn)：i) 平方項(xiàng)中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同ii) 平方項(xiàng)中正(負(fù))項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同問(wèn)題3：判斷下面三個(gè)矩陣那些相似？哪些合同？-2 1-10 1 _-_1 0 01A =1、B =-2_1、C =-1 2-3 一1 '3 一1.2 2 一i. A是對(duì)角陣，A是上三角陣，且有3個(gè)互異特征值與A相同，所以B可以相似 對(duì)角陣為A。即A與B相似。ii. 因?yàn)锳是對(duì)角陣，所以與A合同的矩陣必然是對(duì)稱陣，而B(niǎo)不是對(duì)

3、稱陣，A與B不合同。iii. 又因?yàn)镋-C =0得人=-2,婦=1,扎3 =3，C是又實(shí)對(duì)稱矩陣,所以存在正交矩陣Q，使得q'cQ=QTCQ = A, C與A既相似又合同，在由傳遞性可知，C與B也相似。但C與B不合同，因?yàn)镃是對(duì)稱陣，與對(duì)稱陣合同的矩陣必然是對(duì)稱陣，而 B不是對(duì)稱陣,所以C與B不是合同矩陣。問(wèn)題4:設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣， AB BtA是正定矩陣，證明A可逆。證明：任意x=0，由于AB BTA正定，總有xtAB BtAx 二Axt Bx BxTAx 0因此，對(duì)任意x=0，恒有Ax=0，即齊次方程組 Ax=0只有零解，所以，A 可逆。問(wèn)題5:用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟

4、及其正交變換矩陣，并舉例說(shuō)明。 答：步驟：1、將二次型的矩陣表示；2、求出二次型矩陣A的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。分別討論特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，將重根對(duì)應(yīng)的特征向量正交化單位化， 將單根特征值對(duì)應(yīng)的特征向量單位化，3 、由標(biāo)準(zhǔn)型中特征值的位置決定的，由2步中算出的單位正交向 量的列構(gòu)成矩陣P。4、寫(xiě)出二次型在正交變換下化成的標(biāo)準(zhǔn)形。例：設(shè)二次型為 f 捲,x2, x3 = 4x； -3x3 4x2 - 4x3 8x2x3。解：1 二次型矩陣為：_0 2 -21A= 24424-3_2求出A所對(duì)應(yīng)的特征值1 =1,鼻=6, =6,1 =1= r珂-2,0,1丁單位化得5二 =6二.二1,5,2T單位化得P2 =,3030 '3構(gòu)建以Pl, P2, P3為列向量的矩陣1.305.302 30. 6那么，ptap'I=A =6_6得正交變換X =