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1、勾股定理知識點歸納和題型歸類四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于 大正方形的面積.知識歸納四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 4 -ab c2222ab c1. 勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等 于斜邊的平方;表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為a, b,斜邊為c,那么a 2 24 ab (b a) c ,化簡可證. b2 c22 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方 法,用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是: , 2 2 2大正方形面積為S (a b) a 2ab b,所以2 . 2 2a b c方法三:S梯形-(a b) (a b),2-2S弟形2S
2、ADE S ABE 2 - ab c,化簡得證22圖形進過割補拼接后, 只要沒有重疊,沒有空 隙,面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下:3 勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的 數(shù)量關(guān)系,它只適用于直角三角形,對于銳角三 角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征,因 而在應(yīng)用勾股定理時,必須明了所考察的對象是 直角三角形4 SS正方形 EFGHS正方形ABCD ,4 勾股定理的應(yīng)用直角三角形的任意兩邊長,求第三邊HEFGbac在 ABC 中, C 90 ,貝U c a2 b2方法知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數(shù)量 關(guān)
3、系可運用勾股定理解決一些實際問題5 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長 a , b , c滿足a2 b2 c2, 那么這個三角形是直角三角形,其中c為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法, 它通過 “數(shù)轉(zhuǎn)化為形 來確定三角形的可能形狀,在運用這一定理時, 可用兩小邊的平方和 a 2 b2 與較長邊的平方 c2 作 比擬,假設(shè)它們相等時,以 a, b, c為三邊的三 角形是直角三角形;假設(shè) a2 b2 c2 ,時,以 a , b , c為三邊的三角形是鈍角三角形;假設(shè)222a b c ,時,以a , b , c為三邊的三角形是 銳角三角形;定理中a , b , c及
4、a2 b2 c2只是一種表現(xiàn) 形式, 不可認(rèn)為是唯一的, 如假設(shè)三角形三邊長 a, b,c滿足a2 c2 b2,那么以a,b,c為三邊 的三角形是直角三角形,但是 b為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時, 不能說成: 當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時,這個 三角形是直角三角形6 勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個 正整數(shù) 稱為勾股數(shù),即a2 b2 c2中,a, b , c為正整 數(shù)時,稱a , b , c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度,如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示 n組勾股數(shù):丟番圖發(fā)現(xiàn)的:式子2 m2 n
5、,2mn, m2n2 (mn的正整數(shù)畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的:2n1,2n2 2n,2n2 2n1n1的整數(shù)勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時,必須把握直角三角形的 前提條件,了解直角三角形中,斜邊和直角邊各 是什么,以便運用勾股定理進行計算,應(yīng)設(shè)法添 加輔助線通常作垂線 ,構(gòu)造直角三角形,以便 正確使用勾股定理進行求解8 勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之 間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形, 在具體推算過程中,應(yīng)用兩短邊的平方和與最長 邊的平方進行比擬,切不可不加思考的用兩邊的 平方和與第三邊的
6、平方比擬而得到錯誤的結(jié)論.9 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體 的幾何問題中,是密不可分的一個整體.通常既 要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形,又 要用勾股定理求出邊的長度,二者相輔相成,完 成對問題的解決.題型一:直接考查勾股定理例1 在ABC中,C90AC6,BC8 .求 AB 的長AB17,AC15,求 BC 的長柏拉圖發(fā)現(xiàn)的: 2n,n2 1,n2 1 n 1的整題型二:應(yīng)用勾股定理建立方程數(shù)7.勾股定理的應(yīng)用在 ABC 中, ACB 90 , AB 5 cm, BC 3cm, CD AB 于 D , CD =直角三角形的兩直角邊長之比為3:4,斜
7、邊長為15,那么這個三角形的面積為 兩樹相距8 cm,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢,至少飛了 m。直角三角形的周長為30 cm,斜邊長為13cm,那么這個三角形的面積為 題型四:應(yīng)用勾股定理逆定理,判定一個三角形是否是直角三角形例6三角形的三邊長為 a, b , c,判定 ABC是否為直角三角形例3 .如圖 ABC中,C 90 ,12 ,CD 1.5, BD 2.5,求 AC 的長 a 1.5 ,b 2 , c 2.5a5 , b 1 ,4c23CDA2EB例7三邊長為a , b , c滿足ab 10 , ab 18 ,c 8的三角形是什么形狀?例 4如圖 Rt ABC , C 9
8、0 AC 3,BC 4 ,分別以各邊為直徑作半圓,求陰影局部面積B題型五:勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用 例 8 ABC 中,AB 13 cm , BC 10 cm, BC邊上的中線題型三:實際問題中應(yīng)用勾股定理例5如圖有兩棵樹,一棵高8 cm ,另一棵高2 cm,AD 12 cm ,AB AC。求證:A上A、B兩線上兩點1、在B港有甲、乙兩艘漁船,假設(shè)甲船沿北偏東60。方向以每小時 8海里的速度前進,乙船沿 南偏東某個角度以每小時 15海里的速度前進,2小時后,甲船到M島,乙船到P島,兩島相 距34海里,你知道乙船是沿哪個方向航行的 嗎?3、如圖,鐵路 站視為直 相距25千米,C、D為兩
9、個村莊視為兩個點,DA JAB 于 A, CB1AB 于 B, DA=15 千米,CB=10千米,現(xiàn)要在鐵路上建設(shè)一個土特產(chǎn)收 購站E,使得C、D兩村到E的的距離相等, 那么E應(yīng)建在距A多少千米處?2、為美化環(huán)境,方案在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一邊長為 10米的等腰三角形綠地, 請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。4、在河L的同側(cè)有兩個倉庫 A、B相距1640米, 其中A距河210米,B距河570米,現(xiàn)要在河岸 上建一個貨運碼頭,使得兩倉庫到碼頭的路程和 最短,冋:這個最短路程是多少?碼頭應(yīng)建在何 處?5、有一個水池,水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池正中央有一根蘆葦, 它高出水面
10、1尺。勾股定理典型題訓(xùn)練1.在 Rt ABC如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點,它的頂端 恰好到達(dá)池邊的水面。這個水池的深度與這根蘆 葦?shù)拈L度分別為多少?勾股定理的逆定理1.,在 ABC中,/ A, / B, / C的對邊分別是a,b,c, a n21,b 2n,c n21(n1),求/c的度數(shù)。2.如圖,A,B是公路11為東西走向兩旁的兩個 小村莊,A村到公路I的距離AC=1km B村到公路 I的距離BD=2km B村在A村的南偏東 45°方向 上.1求出A, B兩村之間的距離;2. ABC中,假設(shè) AC=15,BC=13AB邊上的高 CD=122為方便村民出行,方案在公路邊新建一個
11、公求厶ABC的周長。共汽車站P,要求該站到兩村的距離相等,請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置保存清晰的作圖痕跡。海里時方向儀壞了,憑經(jīng)驗,船長指揮船左轉(zhuǎn)900,繼續(xù)航行70海里,那么距出發(fā)地 250海里,你 判斷船轉(zhuǎn)彎后是否沿正西方向航行?2.有一圓柱形油罐,如下列圖,要從A點環(huán)繞油罐建梯子,正好到 A點的正上方B點,假設(shè)油罐 底面半徑是4m,高是7m,n 3,問梯子最短 是多少米?三.折疊問題1.如圖,矩形紙片 ABCD中, AB=8cm把矩形紙片三最短路徑問題1.如下列圖是一個三級臺階,它的每一級的長、寬 和高分別等于 5cm, 3cm和1cm, A和B是這個臺 階的兩個相對的端點,A點上有一只
12、螞蟻,想到 B點去吃可口的食物.請你想一想,這只螞蟻從A沿直線AC折疊點B落在點E處,AE交DC于點F,點出發(fā),沿著臺階面爬到 B點,最短線路是多少?4.如圖,四邊形 ABCD是邊長為9的正方形紙片, 將其沿MN折疊,使點B落在CD邊上的B'處,點 A對應(yīng)點 A',且B' C=3,求CN和AM的長。2.如圖,折疊長方形的一邊 AD,使點D落在BC邊的點F處,BC=10cm AB=8cm求EC的長。AE重合,求CD的長。3. 如圖,有一塊直角三角形紙片, 兩直角邊AC=6cmBC=8cm現(xiàn)將直角邊AC沿著直線AD折疊,使它 落在斜邊AB上,且與 ABC的面積。六勾股定理的證明1. 一個直立的火柴盒在桌面倒下,啟迪人們發(fā)現(xiàn) 了勾股定理一種新的驗證方法如圖,火柴盒的 一個側(cè)面ABCD倒下到AB C D'的位置,連接
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