北師大數(shù)學九上2直角三角形學案

1、1.2直角三角形學習目標、重點、難點【學習目標】1、掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單應用； 2、會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪個結論【重點難點】重點：探索并掌握直角三角形的判別條件.難點：運用直角三角形判別條件解題.勾股定理：a2+b2c2（a，b為直角邊長，c為斜邊長）勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形互逆命題與互逆定理直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊定理（）直角三角形知識概覽圖新課導引木工師傅中巧如魯班者大有人在，不知何年何人用魯班尺發(fā)明了三等分任一角的方法，所謂魯班尺或稱木工尺，是形如圖

2、(1)所示的直角尺【問題探究】在過尺的拐角內點B與尺邊BD垂直的尺邊緣直線上取一點C，使BC等于尺寬AB任給一角EOF，先用魯班尺畫一條與OE相距為尺寬AB的平行線l，如圖(2)所示，再使魯班尺的邊緣上的點A落在l上，C點落在OF上，且邊緣線BD過O點，如圖(3)所示沿邊緣DB畫出的直線l與OF的夾角BOC是EOF的解析 事實上，作AGOE，G為垂足，則RtOAGRtOABRtOCB，故AOGAOBBOCEOF教材精華知識點1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即c2a2+b2(c為斜邊長)勾股定理的作用(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(2)已知直角三角

3、形的一條邊，求另外兩條邊的數(shù)量關系(3)用于證明平方關系的問題(4)利用勾股定理作出長為的線段勾股定理的各種表達形式在RtABC中，C90°，A，B，C的對邊長分別為a，b，c，則a2c2b2，b2c2a2，c2a2+b2，c，a，b勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角三角形的判定(1)首先確定最大邊(如c)(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關系若c2a2+b2，則ABC是直角三角形；若c2a2+b2，則

4、ABC不是直角三角形勾股數(shù)(1)能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)或勾股弦數(shù)(2)勾股數(shù)必須是正整數(shù)如3，4，5；5，12，13等拓展 應用勾股定理時，必須是在同一直角三角形中；應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形時，一定是最長邊所對的角是直角，其他兩邊所對的角是銳角知識點2 互逆命題與互逆定理在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題拓展 每個命題都有逆命題原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真如果一個定理的逆命

5、題經(jīng)過證明是真命題那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理拓展 每個命題都有逆命題但不是所有的定理都有逆定理.知識點3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示定理的作用：判定兩個直角三角形全等定理的證明：如圖130所示，已知RtABC，RtABC，CC90°，ABAB，ACAC，求證RtABCRtABC證明：在ABC和ABC中，CC90°， BC，BC ABAB，ACAC，BCBC RtABCRtABC(SSS)知識拓展 “HL”是

6、直角三角形所獨有的判定定理，對于一般三角形不成立判定兩個直角三角形全等時，這兩個直角三角形已經(jīng)有一對直角相等的條件，只需找出另外兩個條件即可，而這兩個條件中必須有一個是邊對應相等與一般三角形全等一樣，只有三個角相等的兩個直角三角形不一定全等規(guī)律方法小結 1方程思想：在學習勾股定理的過程中，要注意利用勾股定理尋找等量關系，通過列方程來解幾何問題2數(shù)形結合思想：運用勾股定理判定直角三角形就是由數(shù)量關系來判定幾何問題，實現(xiàn)數(shù)和形之間的相互轉化課堂檢測基本概念題1、寫出命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題，并判斷真假基礎知識應用題2、如圖131所示，在RtABC中，ACB90°，AB50，

7、BC30，CDAB于點D，求CD的長3、在正方形ABCD中，如圖132所示，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且ECBC，求證EFA90°綜合應用題4、試判斷三邊長分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形5、如圖1-38所示，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得MAD30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達B處，測得MBD=45°，該貨輪到達燈塔M的正東方向的D處時，貨輪與燈塔M的距離是多少?(精確到01海里，1732)體驗中考1、如圖1-41所示，在ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5 cm，BC=6

8、 cm，求AD的長度2、如圖145所示，在直角梯形ABCD中ADBC，ABC90°，DEAC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AEAC （1）求證BGFG； （2）若ADDC2，求AB的長學后反思附： 課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析 寫某個命題的逆命題時，要分清命題的題設和結論必須認真審題，分清命題結構，最后寫成“如果，那么”的形式解：如果兩直線平行，那么同位角相等 這個命題是真命題2、分析 給出ABC是直角三角形，同時給出兩邊長，我們會想到利用勾股定理來解題解：ABC是直角三角形，ACB90°，AB50，BC 30 由勾股定理，得AC 又SABCBC&

9、#183;ACAB·CD， . 答：CD的長是24【解題策略】 在有關直角三角形的問題中，除了掌握好直角三角形的性質(兩銳角互余，三邊滿足勾股定理等)外，還要注意一般三角形的所有性質3、分析 由已知條件會想到勾股定理，同時由結論我們會想到利用勾股定理的逆定理證明：設正方形ABCD的邊長為4a，則ECa，BE3a， CFDF2a 在RtABE中，由勾股定理，得： AE2AB2+BE2(4a)2+(3a)225a2 在RtADF中，由勾股定理，得： AF2AD2+DF2(4a)2+(2a)220a2 在RtECF中，由勾股定理，得： EF2EC2+CF2a2+(2a)25a2 在AFE中

10、，AF2+EF220a2+5a225a2， 又AE225a2，AF2+EF2AE2 由勾股定理的逆定理，得AEF是直角三角形，且AE為最大邊， EFA90°規(guī)律·方法 用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的步驟：(1)確定最大邊；(2)算出最大邊的平方與另外兩邊的平方和；(3)比較最大邊的平方與另外兩邊的平方和，如果相等，那么此三角形為直角三角形注意不要盲目比較其中任意一邊的平方與另外兩邊的平方和的關系，這樣做容易得出錯誤的結論 4、分析 先確定最大邊，然后判斷最大邊的平方是否等于其他兩邊的平方和解：(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=10， (2n2+2n

11、+1)-(2n+1)=2n20(n0)， 2n2+2n+1為三角形中最大邊 又(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1， (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1， (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2 根據(jù)勾股定理的逆定理可知，此三角形為直角三角形【解題策略】運用差值比較法確定最大邊是用勾股定理的逆定理判定三角形形狀的關鍵5、分析 本題是一道實際應用問題，解此類問題的關鍵是將其轉化為數(shù)學問題求貨輪與燈塔M的距離即求MD的長，可利用RtADM和RtBDM，由勾股定理建立等量關系，列方程求解解：由已知得AB=20海里，MAD=30

12、°，DBM= 45°，MDAD設MD=x， 在RtBDM中，DBM45°， BD=MD=x，AD=AB+BD=x+20 在RtADM中，MAD=30°， MD=AM，AM=2MD=2x 在RtADM中，由勾股定理，得： AD=， 有x+20=，(-1)x=20 x=273(海里) 故貨輪到達燈塔正東方向的D處時，貨輪與燈塔的距離約為273海里體驗中考1、分析 本題考查等腰三角形“三線合一”和勾股定理解：在ABC中， AB=AC，ADBC， BD=CD=BC=3 cm 在RtADB中，ADB=90°， AD= （cm）2、 分析 本題主要考查和直角三角形有關的知識 證明：（1）ABC90°，DEAC于F，ABCAFE