全國大學生數(shù)學建模論文A題79686

1、2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置

2、報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：地下儲油罐的變位分析與罐容表標定摘要加油站地下儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因會發(fā)生縱向傾斜及橫向偏轉(zhuǎn)，導致與之配套的“油位計量管

3、理系統(tǒng)”受到影響，必須重新標定罐容表。本文即針對儲油罐的變位時罐容表標定的問題建立了相應的數(shù)學模型。首先從簡單的小橢圓型儲油罐入手，研究變位對罐容表的影響。在無變位、縱向變位的情況下分別建立空間直角坐標系，在忽略罐壁厚度等細微影響下，運用積分的方法求出儲油量和測量油位高度的關系。將計算結(jié)果與實際測量數(shù)據(jù)在同一個坐標系中作圖，經(jīng)計算得誤差均保持在3.5%以內(nèi)?？v向變位中，要分三種情況來進行求解，然后將三段的結(jié)果綜合在一起與變位前作比較，可以得到變位對罐容表的影響。通過計算，具體列表給出了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。進一步考慮實際儲油罐，兩端為球冠體頂。把儲油罐分成中間的圓柱體和

4、兩邊的球冠體分別求解。中間的圓柱體求解類似于第一問，要分為三種情況。在計算球冠內(nèi)儲油量時為簡化計算，將其內(nèi)油面看做垂直于圓柱底面。根據(jù)幾何關系，可以得到如下幾個變量之間的關系：測量的油位高度 實際的油位高度 計算體積所需的高度于是得到罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關系。再利用附表2中的數(shù)據(jù)列方程組尋找a與b最準確的取值。一、問題重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐

5、內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。題目給出了一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。并給出了罐體縱向傾斜變位的示意圖和罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用給出的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體）示意圖，分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模

6、型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。二、問題分析本題是一個在罐體變位后重新標定罐容表的問題，就是需要得出變位后油位高度與油料體積的關系，然后在油料高度間隔為1cm或10cm的情況下，算

7、出所有高度所對應的體積值，即可得到新的罐容表標定值。第一問中共做了兩次實驗，分別為罐體無變位與縱向變位。對于無變位的情況，可以選擇合適的體積微元，在油位高度方向積分即可算出油體積與油位高度的關系；對于傾斜角為=4.1º的縱向變位，我們采用二重積分的方法，分三種情況進行計算。先在油位高度方向積分得到任意處油截面的面積，再積分得到體積公式。最后利用附件1中的實際數(shù)據(jù)對公式的準確度進行檢驗，并對比變位前后儲油量與油位高度關系的差別。第二問中，將儲油罐分成三部分進行計算：中間的圓柱體和兩端的球冠體。對于與的處理問題，對、已經(jīng)確定的靜態(tài)儲油罐建立空間直角坐標系，根據(jù)幾何關系得出測得的油位高度與

8、實際油位高度的關系（含有參數(shù)），實際油位高度與計算體積所需的高度、的關系（含有參數(shù)），并計算得到儲油量關于、的表達式，于是便得到了儲油量與測量油位高度及變位參數(shù)、的關系式，代入若干組附表2中的實際數(shù)據(jù)，即可確定與，之后用實際檢測數(shù)據(jù)檢驗所建模型的正確性與方法的可行性。三、模型假設（1）忽略油罐厚度對油罐容積的影響，認為由圖中數(shù)據(jù)得到的容積即為油罐的標準容積；（2）忽略油罐內(nèi)各種管道如進出油管道，油位探針所占的體積；（3）不計油浮子的厚度、大小等，認為實驗中測得的高度即為油罐底部沿探針到油面的距離；（4）假設油浮子到達最高處時便不再加油。四、符號說明：儲油罐任一位置平行于罐底方向?qū)嶋H油位高度；：

9、問題一中建立空間直角坐標系后軸方向上油料寬度的一半；：建立空間直角坐標系后軸方向上的油料長度；：建立空間直角坐標系后軸方向上的變量；：問題一縱向變位第種情況下相應某一高度時的油的體積；：問題一中變位后測得的油料高度；：問題一變位時油料平行于罐底方向的最大高度；：問題一變位情況下用任意平行于罐底平面截得的油料面積；：實際儲油罐球冠內(nèi)儲油量；：實際儲油罐中間圓柱部儲油量；：附表2中編號為的流水號所對應的出油量。五、模型的建立與求解5.1小橢圓型儲油罐無變位情況首先以一側(cè)罐底中心為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，其中下部陰影部分為油料：xYZ圖1 無變位情況下建立空間直角坐標系yXh圖2 截面橢

10、圓示意圖xXZh從側(cè)面觀察得到如下示意圖：根據(jù)題目中的已知數(shù)據(jù)，得到橢圓截面的方程式為：于是有 取從上到下疊加的矩形薄片為體積微元，得到體積微元公式：體積微元在軸方向進行積分，得到體積公式： 將該結(jié)果與實際測量數(shù)據(jù)在同一以高度為橫坐標，體積為縱坐標的坐標系中作圖，得到如下曲線：圖3 計算曲線與實際數(shù)據(jù)對比圖從圖像上可以看出，計算得到的數(shù)據(jù)與實際測量數(shù)據(jù)吻合較好，相對誤差始終很小，實際數(shù)據(jù)稍小可能是由于探針，進出油罐管道等占一定體積及罐壁厚度造成的，為簡化模型，本文忽略這部分影響。º縱向變位以橢圓罐底中心為原點，軸，軸平行于罐底，軸平行于油罐側(cè)壁方向建立空間直角坐標系：圖4 縱向變位情

11、況下建立空間直角坐標系ZXYH油位探針h0由圖4可知：接下來分三種情況進行討論，通過二重積分即可求得油料體積。第一種情況：當（單位：mm ）時，只有一端罐底接觸油面，如圖5：圖5 第一種情況ZXYH油位探針h0先在軸方向上定積分，得到任意位置油料截面面積：再將視為變量，在軸方向上定積分：其中，代入后解得：第二種情況：當 （單位：mm）時，兩端罐底都接觸油面，如圖6：圖6 第二種情況ZXYH油位探針h0代入得：第三種情況：當，其中 （單位：mm）時，一端罐底已經(jīng)完全被油浸沒，如圖7：圖7 第三種情況ZXYH0油位探針h0且，其中，代入上式解得：將上述三種情況得到的方程式分區(qū)間畫在同一坐標系中，并

12、與實際測量的數(shù)據(jù)做對比，得到如下關系圖（圖8）：圖8 變位后儲油量與油位高度關系圖從圖8可以看出，計算得到的公式基本符合實際檢測數(shù)據(jù)。通過代入數(shù)據(jù)，誤差保持在3%以內(nèi)。因此，在標定罐容表時，我們以得到的公式為基礎，代入數(shù)據(jù)計算即得。將變位前后儲油量與油位高度關系圖畫在同一坐標系中，得到圖9：變位前變位后圖9 變位前后儲油量與油位高度關系曲線對比 結(jié)合公式以及圖9可以看出罐體變位對罐容表產(chǎn)生如下影響：變位后在油位液面到達探針之前，測量高度始終為0，剛好接觸油浮子時，將數(shù)據(jù)代入公式可計算得此時儲油量約為1.75L；在變位后的第一階段內(nèi)，曲線斜率小于變位前，這個階段內(nèi)儲油量變化較慢；第二階段內(nèi)，曲線

13、增長趨勢與變位前基本一致，即上升相同的高度，儲油量增加值基本相等，但由于第一階段儲油量較少，這是儲油量比變位前小220L左右；第三階段曲線變化率逐漸降低，當油浮子的高度為1200mm時，油罐還沒有裝滿，此時的儲油量比變位前少約100L。根據(jù)假設，為使油位高度與儲油量是一一對應的關系，此時不再加油，認為該值即為儲油最大值。從0到1200mm每間隔10mm取一數(shù)值代入公式得到如下罐容表的標定值：表1 縱向變位后的罐容表標定值油位高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)01.754310628.8476201883.55930318

14、8.83103.6066320664.2626301926.949403227.36206.33542330700.1886401970.359503265.493010.0434340736.6036502013.89603303.214014.8218350773.4856602057.259703340.515020.7535360810.8146702100.719803377.356027.9142370848.5716802144.159903413.737036.3738380886.7356902187.5610003449.628046.1975390925.28970022

15、30.9410103484.999057.4464400964.2157102274.2710203519.831007057202317.5410303554.1111084.44544201043.117302360.7310403587.81120100.3014301083.057402403.8410503620.88130117.7924401123.37502446.8410603653.32140136.9664501163.837602489.7410703685.08150157.274601204.647702532.5110803716.131

16、60179.4944701245.717802575.1410903746.44170203.1564801287.037902617.6211003775.96180228.0064901328.588002659.9411103804.66190253.9375001370.348102702.0811203832.49200280.8675101412.318202744.0311303859.39210308.7325201454.468302785.7811403885.3220337.4755301496.798402827.3111503910.19230367.04654015

17、39.298502868.611603934.01240397.4025501581.938602909.6511703957.74250428.5015601624.718702950.4411803958.07260460.3085701667.628802990.9511903978.33270492.7885801710.638903031.1712003996.88280525.9115901753.759003071.09290559.6466001796.959103110.68300593.9676101840.229203149.935.2實際儲油罐變位分析我們將儲油罐分成三

18、段來考慮，兩端為球缺，中間為圓柱體。中間部分采用類似第一題的積分方法求解。對于兩端的球冠體，若直接積分，結(jié)果將十分復雜，為方便計算，同時使誤差盡量小，本文把球冠內(nèi)油液面看做與軸平行。對于縱向與橫向都已經(jīng)變化好的靜態(tài)儲油罐來說，我們以中間圓柱體一側(cè)底面圓心為原點，平行于罐體的軸為軸，平行于油面的軸為軸建立空間直角坐標系。 水平線油位探針油油浮子圖10 儲油罐縱向變位示意圖h0H190º90ºZYH2O根據(jù)圖10可以得到以下關系式：用垂直于軸的平面去截油罐得到圖11所示的儲油罐的橫向變位截面示意圖，圖中兩個油液面是指將橫向變位前后的截面圖畫在一個圖中，并使油位探針方向相同，以方

19、便計算，此時前后液面形成夾角：橫向變位后油液面橫向變位前油液面h0h圖11 儲油罐橫向變位示意圖油位探針為測量值，實際油位高度，根據(jù)圖像可得如下關系式：綜合上面幾個式子，可得、與的關系式：球冠體內(nèi)儲油量的計算XY1.625m1mxO根據(jù)已知數(shù)據(jù)容易解得球冠所在球的半徑為1.625m，球過球心的截面圖如下，以圓心為原點，平行于空間坐標系軸的軸為軸，建立新的平面直角坐標系，陰影部分為儲油部分：圖12 球冠還原為球后截面圖該圓的方程為：表示圓上一點到軸距離，所以：以平行于空間坐標系Y軸的平面去截球冠，得到如下所示截面圖：x0.625m圖13 球冠體截面圖可以得知：所以球冠內(nèi)油料截面面積為：當球冠內(nèi)油

20、位高度為時，球冠內(nèi)儲油量為：在計算兩端球冠內(nèi)儲油量時，分別用、代替即可求出結(jié)果。5.2.2中間圓柱體內(nèi)儲油量的計算計算方法與第一問中類似，用垂直于軸的平面去截得到如下截面示意圖：XZh圖14 圓柱部截面示意圖截面圓的方程為：于是得到：又有：即：于是該截面面積：由于有轉(zhuǎn)折點，又要分三種情況討論，分別求解。當（單位：m）時當（單位：m）時當（單位：m）時其中為圓柱體的總體積用Matlab積分得到的結(jié)果過于冗長，不便于寫在正文中，具體結(jié)果見附錄。5.2.3參數(shù)，的確定由于第二種情況的可能性最大，數(shù)據(jù)最多，所以在求解參數(shù)與時，利用附表2中顯示油高值在中間部分的值進行計算。由于顯示的油量容積是利用沒有變

21、位情況下的公式計算得到的，不是真實值，故不能加以利用。附表2給出了出油量與顯示油高的對應數(shù)據(jù)，我們用差值計算，即利用累計出油量與油高的變化值的對應關系求解a、b。取流水號分別為323、337、351的三組數(shù)據(jù)，令：于是得到如下方程組：用Matlab7.0求解該方程組，得到一組解a=1.6º，b=0º于是便得到了變位后儲油量與油位高度的關系式，間隔10cm取值代入得到如下罐容表標定值：表2 變位后實際儲油罐罐容表標定值油位讀數(shù)(m)罐容量(L)油位讀數(shù)(m)罐容量(L)0.0 25.67711.6 33580.30.1 331.11141.7 36401.20.2 1123.

22、381.8 39199.90.3 2352.81.9 41960.70.4 3883.32.0 44667.70.5 5656.842.1 47304.20.6 7634.742.2 49853.20.7 9787.132.3 52296.50.8 12089.12.4 54614.50.9 14518.72.5 56785.71.0 17056.32.6 58785.41.1 19683.52.7 60584.71.2 223832.8 62146.21.3 25138.32.9 63414.91.4 27933.43.0 63856.41.5 30752.5將得到的關系曲線六、模型的評價與推廣6.1模型的評價本題主要運用微積分的方法與立體幾何的相關知識建立數(shù)學模型，進而求出罐內(nèi)油料體積與測量