物理實驗緒論課電子教案-2

1、大學(xué)物理實驗大學(xué)物理實驗緒緒 論論 課課(二二)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1. 誤差的概念及其分類。誤差的概念及其分類。2. 系統(tǒng)誤差與隨機誤差的特點；系統(tǒng)誤差重點掌握儀器誤系統(tǒng)誤差與隨機誤差的特點；系統(tǒng)誤差重點掌握儀器誤差。差。3. 正態(tài)分布的主要特點，了解其概率密度分布函數(shù)。正態(tài)分布的主要特點，了解其概率密度分布函數(shù)。) 1()(2nnxxsi4. 標準差的計算公式標準差的計算公式5. AAxxpd)(的物理含義，其中的物理含義，其中p(x)為概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)6. 間接測量量平均值的計算。間接測量量平均值的計算。對測量結(jié)果正確評價的意義對測量結(jié)果正確評價的意義1. 任何的測量結(jié)果都存在誤差，沒有絕

2、對準確的任何的測量結(jié)果都存在誤差，沒有絕對準確的測量，因此測量結(jié)果也必須反映出誤差的大小。測量，因此測量結(jié)果也必須反映出誤差的大小。2. 一個完整的測量結(jié)果應(yīng)該包含兩部分：測量值一個完整的測量結(jié)果應(yīng)該包含兩部分：測量值及測量結(jié)果的可靠性評價。只有測量值的測量結(jié)及測量結(jié)果的可靠性評價。只有測量值的測量結(jié)果是無法讓人對其可靠性進行評估的，因此也是果是無法讓人對其可靠性進行評估的，因此也是不可靠的。不可靠的。3. 正確評價實驗結(jié)果有利于正確分析實驗、改進正確評價實驗結(jié)果有利于正確分析實驗、改進實驗，提高測量精度。實驗，提高測量精度。直接測量量的不確定度直接測量量的不確定度(1)1. 不確定度的不確定

3、度的A類分量類分量(A類標準不確定度類標準不確定度) 用統(tǒng)計方法計算出的分量部分，通常用測量值用統(tǒng)計方法計算出的分量部分，通常用測量值的標準偏差來表示。的標準偏差來表示。) 1()(2nnxxsuixA如果是單次測量，則如果是單次測量，則uA=0。 通常用通常用不確定度不確定度來作為測量結(jié)果的評價標準。來作為測量結(jié)果的評價標準。直接測量量的不確定度直接測量量的不確定度(2)2. 不確定度的不確定度的B類分量類分量(B類標準不確定度類標準不確定度) 用非統(tǒng)計方法計算出的分量部分，通常用誤差用非統(tǒng)計方法計算出的分量部分，通常用誤差限來計算，即：限來計算，即：KuB 式中的式中的為誤差限，為誤差限，

4、K是與該誤差分布特性有關(guān)是與該誤差分布特性有關(guān)的常數(shù)，物理實驗中，的常數(shù)，物理實驗中，K都取為都取為 。3 若無特別說明，若無特別說明， 都視為儀器誤差限，即只考都視為儀器誤差限，即只考慮儀器方面的誤差。慮儀器方面的誤差。直接測量量的不確定度直接測量量的不確定度(3) 直接測量量的合成不確定度：直接測量量的合成不確定度：ijBAjiuuu22 在大多數(shù)情況下，直接測量量的在大多數(shù)情況下，直接測量量的A類分量與類分量與B類分量都只有一個，因此上式可簡化為：類分量都只有一個，因此上式可簡化為：22BAuuu對于計時，因為整個計時系統(tǒng)是由儀器與人組成的，因此對于計時，因為整個計時系統(tǒng)是由儀器與人組成

5、的，因此2222232 . 0301. 033 人儀jBju間接測量量的不確定度間接測量量的不確定度(1) 由于間接測量量是利用直接測量量通過函數(shù)關(guān)由于間接測量量是利用直接測量量通過函數(shù)關(guān)系計算而得到的，因此其誤差的根源在于直接測系計算而得到的，因此其誤差的根源在于直接測量量，它的不確定度的計算方式也不同于直接測量量，它的不確定度的計算方式也不同于直接測量量的計算方式。量量的計算方式。 設(shè)有函數(shù)關(guān)系設(shè)有函數(shù)關(guān)系 Y=f(x1, x2.xn)，其中，其中xi為第為第i個個直接測量量，它對應(yīng)的合成不確定度為直接測量量，它對應(yīng)的合成不確定度為ui。那么。那么間接測量量間接測量量Y的合成不確定度為：的

6、合成不確定度為：ixiYiuxfu2間接測量量的不確定度間接測量量的不確定度(2) 上式也稱為間接測量量不確定度的誤差傳遞公上式也稱為間接測量量不確定度的誤差傳遞公式。式。多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法： 設(shè)變量設(shè)變量x1、x2 xn是相互獨立的，則對函數(shù)對某是相互獨立的，則對函數(shù)對某個變量求偏導(dǎo)時，把其它的變量視為常數(shù)。個變量求偏導(dǎo)時，把其它的變量視為常數(shù)。間接測量量的不確定度間接測量量的不確定度(3)例：有關(guān)系式：例：有關(guān)系式：L=x+y，已知直接測量量，已知直接測量量x和和y的的合成不確定度分別為合成不確定度分別為ux和和uy，求間接量，求間接量L的合成不的合成不確定度。確定

7、度。 解：求偏導(dǎo)數(shù)解：求偏導(dǎo)數(shù)11yLxL因此因此2222yxyxLuuuyLuxLu間接測量量的不確定度例間接測量量的不確定度例(1)例例 測量一圓柱體的密度，計算圓柱體密度的合成標準不測量一圓柱體的密度，計算圓柱體密度的合成標準不確定度。用物理天平對圓柱體質(zhì)量進行單次測量，結(jié)果為確定度。用物理天平對圓柱體質(zhì)量進行單次測量，結(jié)果為M=25.00g，天平的最大允許誤差為，天平的最大允許誤差為 0.06g。用千分尺在不。用千分尺在不同位置測量圓柱體的直徑同位置測量圓柱體的直徑D，用精度為，用精度為0.02mm的游標卡尺的游標卡尺測量在不同位置測量圓柱體的高測量在不同位置測量圓柱體的高H，得到如下

8、數(shù)據(jù)。，得到如下數(shù)據(jù)。(千分千分尺的零點誤差為尺的零點誤差為-0.001mm)。直徑D(mm) 12.324，12.321，12.318，12.320，12.319，12.323高H(mm) 25.46， 25.44， 25.47， 25.41， 25.48， 25.42求解過程求解過程：密度是間接測量量，而直接測量量有兩個，因：密度是間接測量量，而直接測量量有兩個，因此需首先求出此需首先求出D和和H的合成不確定度，再通過誤差傳遞公的合成不確定度，再通過誤差傳遞公式求出密度的合成不確定度。式求出密度的合成不確定度。間接測量量的不確定度例間接測量量的不確定度例(2)(1)計算圓柱體直徑的標準不確

9、定度。計算圓柱體直徑的標準不確定度。直徑的平均值為直徑的平均值為圓柱體直徑的修正平均值圓柱體直徑的修正平均值)(322.12001. 00mmDD 圓柱體直徑的圓柱體直徑的A類標準不確定度分量為類標準不確定度分量為 )(0010. 0166612mmDDsuiiDAD)(321.12323.12319.12320.12318.12321.12324.12610mmD間接測量量的不確定度例間接測量量的不確定度例(3)查表得千分尺誤差限查表得千分尺誤差限=0.004mm，因此，因此圓柱體直徑的圓柱體直徑的B類標準不類標準不確定度分量為確定度分量為 )(0023. 03004. 03mmuBD圓柱體

10、直徑的合成標準不確定度為圓柱體直徑的合成標準不確定度為)(0025. 022mmuuuBDADD(2)計算圓柱體高的標準不確定度計算圓柱體高的標準不確定度 圓柱體高的平均值為圓柱體高的平均值為)(45.2542.2548.2541.2547.2544.2546.2561mmH間接測量量的不確定度例間接測量量的不確定度例(4)圓柱體高的圓柱體高的A類標準不確定度為類標準不確定度為 )(012. 0166612mmHHsuiiHAH 查表得游標卡尺誤差限查表得游標卡尺誤差限=0.02mm，因此，因此圓柱體高的圓柱體高的B類標準類標準不確定度分量為不確定度分量為)(012. 0302. 03mmuB

11、H圓柱體高的合成標準不確定度為圓柱體高的合成標準不確定度為 )(017. 022mmuuuBHAHH間接測量量的不確定度例間接測量量的不確定度例(5)(3)圓柱體質(zhì)量的標準不確定度計算圓柱體質(zhì)量的標準不確定度計算 圓柱體質(zhì)量只進行了單次測量，所以質(zhì)量的圓柱體質(zhì)量只進行了單次測量，所以質(zhì)量的A類標準不確定度分類標準不確定度分量為量為0，而天平的儀器誤差限，而天平的儀器誤差限=0.06g，因此，因此，圓柱體質(zhì)量的圓柱體質(zhì)量的B類標類標準不確定度分量為準不確定度分量為)(035. 0306. 03guBM那么，圓柱體質(zhì)量的合成標準不確定度為那么，圓柱體質(zhì)量的合成標準不確定度為)(035. 0guuB

12、MM間接測量量的不確定度例間接測量量的不確定度例(6)(4)圓柱體密度的標準不確定度計算圓柱體密度的標準不確定度計算圓柱體的密度為圓柱體的密度為 )/(239. 8)/(10239. 845.25321.1214. 300.254433322cmgmmgHDM圓柱體密度的合成標準不確定度圓柱體密度的合成標準不確定度 0016. 02222HuDuMuuHDM即即 )/(013. 0 0.0016 3cmgu利用不確定度分析實驗利用不確定度分析實驗例：某長方形物體，用量程為例：某長方形物體，用量程為500mm的直尺分別測得其長的直尺分別測得其長x=400.0mm，寬，寬y=10.0mm，單次測量

13、，計算面積，單次測量，計算面積S的不確定度。的不確定度。 解：由于是單次測量，因此解：由于是單次測量，因此x和和y的不確定度的不確定度A類分量均為類分量均為0，又因，又因為使用的是同一種儀器測量，因此為使用的是同一種儀器測量，因此mmuuyx87. 0315. 03那么那么222222)0 .400()0 .10()()(yxyxyxSuuxuyuuySuxSu 由于由于x和和y的值的大小不同，因此它們對的值的大小不同，因此它們對uS的影響程度也不同，的影響程度也不同，y的影響程度要比的影響程度要比x大。如果要減小大。如果要減小uS，則減小，則減小uy的效果更明顯一些，的效果更明顯一些，即用精

14、度高一些的儀器來測量即用精度高一些的儀器來測量y值。值。誤差等量分配原則誤差等量分配原則誤差等量分配原則：誤差等量分配原則：誤差傳遞公式中各項分誤誤差傳遞公式中各項分誤差大致相等。差大致相等。例：長方體體積：例：長方體體積：V=LWH，要求，要求V的相對不確定度的相對不確定度%1222HuWuLuVuHWLV 在選擇測量在選擇測量L、W、H的儀器時，認為三者的誤差大致的儀器時，認為三者的誤差大致相等，對結(jié)果的影響基本相同，以此作為選擇測量儀器的相等，對結(jié)果的影響基本相同，以此作為選擇測量儀器的根據(jù)。則有：根據(jù)。則有：301. 0HuWuLuHWL微小誤差原則微小誤差原則1. 直接測量直接測量

15、在直接測量量合成不確定度在直接測量量合成不確定度 中，中，若某一平方項小于另一平方項的若某一平方項小于另一平方項的1/9，則該項可，則該項可以忽略不計。以忽略不計。2. 間接測量間接測量 在間接測量量合成不確定度在間接測量量合成不確定度 中若中若 ，則該項可忽略不計。，則該項可忽略不計。22BAuuu2ixiuxfumnxmxnuxfuxf31測量結(jié)果的最后表達式測量結(jié)果的最后表達式(1)測量結(jié)果的最終表達形式為：測量結(jié)果的最終表達形式為：單位 uXX 其中：其中：X為測量結(jié)果，為測量結(jié)果， 為最佳估值為最佳估值(單次測量時為測單次測量時為測量值，多次測量時為平均值量值，多次測量時為平均值)，

16、u為不確定度。為不確定度。X物理意義：測量結(jié)果不是一個確定的數(shù)值，在數(shù)據(jù)范物理意義：測量結(jié)果不是一個確定的數(shù)值，在數(shù)據(jù)范圍圍 內(nèi)包含真值的可能性為內(nèi)包含真值的可能性為68.3%。,uXuX顯然，不確定度的值越小，則區(qū)間也就越小，測量值也顯然，不確定度的值越小，則區(qū)間也就越小，測量值也就越接近于真值；反之，測量值就可能越遠離真值。就越接近于真值；反之，測量值就可能越遠離真值。測量結(jié)果的最后表達式測量結(jié)果的最后表達式(2)數(shù)據(jù)修約原則：數(shù)據(jù)修約原則： (1) 測量結(jié)果的不確定度取測量結(jié)果的不確定度取12位，不能超過二位。位，不能超過二位。 (2) 測量結(jié)果最佳估值取位應(yīng)與不確定度末位對齊。測量結(jié)果

17、最佳估值取位應(yīng)與不確定度末位對齊。 (3) 數(shù)據(jù)截斷按數(shù)據(jù)截斷按“小于小于5舍去，大于舍去，大于5進位，等于進位，等于5湊偶湊偶”的原則進行的原則進行 。 例：通過計算得出：平均值例：通過計算得出：平均值L=1.3235 mm，不確定度，不確定度uL=0.0145 mm，則最后結(jié)果表達式為：，則最后結(jié)果表達式為：mm014. 0324. 1LuLL12. 016.12mm124. 0162.12mm12. 01 .12xxx錯誤的表達式：錯誤的表達式：第三章第三章 數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)知識數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)知識 31 有效數(shù)字及其表示有效數(shù)字及其表示 由于測量結(jié)果或多或少地存在誤差，直接測量結(jié)由于測量結(jié)

18、果或多或少地存在誤差，直接測量結(jié)果的記錄時，一般要采用有效數(shù)字記錄方法。果的記錄時，一般要采用有效數(shù)字記錄方法。 有效數(shù)字是對不確定度的一種粗略估計，用它可以有效數(shù)字是對不確定度的一種粗略估計，用它可以表示含有誤差的測量結(jié)果。表示含有誤差的測量結(jié)果。 有效數(shù)字有效數(shù)字由可靠數(shù)字和可疑數(shù)字組成。由可靠數(shù)字和可疑數(shù)字組成。 如：如：26.35cm，可靠數(shù)字是，可靠數(shù)字是26.3，可疑數(shù)字是，可疑數(shù)字是0.05。 一、一、有效數(shù)字概述有效數(shù)字概述 數(shù)據(jù)處理是依據(jù)誤差理論，用數(shù)學(xué)手段對測量值數(shù)據(jù)處理是依據(jù)誤差理論，用數(shù)學(xué)手段對測量值進行再提煉的過程。包括：進行再提煉的過程。包括：數(shù)據(jù)記錄、描繪，從帶數(shù)

19、據(jù)記錄、描繪，從帶有誤差的數(shù)據(jù)中提取測量結(jié)果，驗證和尋找物理規(guī)有誤差的數(shù)據(jù)中提取測量結(jié)果，驗證和尋找物理規(guī)律等等律等等。 測量結(jié)果的第一位測量結(jié)果的第一位(最高位最高位)非零數(shù)字前的非零數(shù)字前的“ 0”，不屬于有效數(shù)字，而非零數(shù)字后的不屬于有效數(shù)字，而非零數(shù)字后的“ 0”都是有效都是有效數(shù)字。因為前者只反映了測量單位的換算關(guān)系，與數(shù)字。因為前者只反映了測量單位的換算關(guān)系，與有效數(shù)字無關(guān)有效數(shù)字無關(guān) 有效數(shù)字的位數(shù)與十進制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)與十進制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)點的位置無關(guān)點的位置無關(guān) 有效數(shù)字的多少是由測量工具和被測量的大小決定的有效數(shù)字的多少是由測量工具和被測量

20、的大小決定的 二、儀器示值的有效數(shù)字的確定二、儀器示值的有效數(shù)字的確定 1、直接測量，可疑位的確定：、直接測量，可疑位的確定： 對直接測量，直接讀取儀器示值時，對直接測量，直接讀取儀器示值時，規(guī)定規(guī)定：通常：通?？砂垂雷x誤差來決定數(shù)據(jù)的有效數(shù)字，即可按估讀誤差來決定數(shù)據(jù)的有效數(shù)字，即一般可讀一般可讀至標尺最小分度的至標尺最小分度的1/10或或1/5。 如：如：鋼卷尺的最小分度值為鋼卷尺的最小分度值為0.1cm，讀數(shù)誤差按，讀數(shù)誤差按1/10格即格即0.01cm估計，用鋼卷尺測量桌子的長度，可疑位為估計，用鋼卷尺測量桌子的長度，可疑位為0.01cm，測量結(jié)果是：測量結(jié)果是：120.12cm。 A

21、 、測長儀器：、測長儀器：0550mA250250 mA的電流表，的電流表，共有共有50格格,表針指示如圖。量程表針指示如圖。量程為為B 、電表類儀器：、電表類儀器： 電流表的最小分度值為電流表的最小分度值為 250/50=5 mA 。讀數(shù)誤差按讀數(shù)誤差按1/10格即格即0.5 mA估估計，可疑位為計，可疑位為0.1 mA，指針指，指針指示示6.6格，讀數(shù)為：格，讀數(shù)為： I=33.0(mA)。C、 游標類儀器一般按刻度線對得最好的位置進行游標類儀器一般按刻度線對得最好的位置進行讀數(shù)，不進行估讀。讀數(shù)，不進行估讀。 D、 數(shù)字儀表一般直接讀儀器的數(shù)字顯示值，不進行數(shù)字儀表一般直接讀儀器的數(shù)字顯

22、示值，不進行估讀。估讀。 3.2 列表法列表法 列表法就是把數(shù)據(jù)按一定規(guī)律列成表格。它是在記列表法就是把數(shù)據(jù)按一定規(guī)律列成表格。它是在記錄和處理實驗數(shù)據(jù)時最常用的方法，又是其它數(shù)據(jù)處錄和處理實驗數(shù)據(jù)時最常用的方法，又是其它數(shù)據(jù)處理方法的基礎(chǔ)，應(yīng)當熟練掌握。理方法的基礎(chǔ)，應(yīng)當熟練掌握。 列表法的優(yōu)點是：對應(yīng)關(guān)系清楚、簡潔、有助于發(fā)列表法的優(yōu)點是：對應(yīng)關(guān)系清楚、簡潔、有助于發(fā)現(xiàn)實驗中的規(guī)律現(xiàn)實驗中的規(guī)律 一、一、 列表注意事項列表注意事項(1)表格設(shè)計合理、簡單明了，重點考慮如何能完整表格設(shè)計合理、簡單明了，重點考慮如何能完整地記錄原始數(shù)據(jù)及揭示相關(guān)量之間的關(guān)系。地記錄原始數(shù)據(jù)及揭示相關(guān)量之間的關(guān)

23、系。(2)表格的標題欄中注明物理量的名稱、符號和單位表格的標題欄中注明物理量的名稱、符號和單位(單單位不必在數(shù)據(jù)欄內(nèi)重復(fù)書寫位不必在數(shù)據(jù)欄內(nèi)重復(fù)書寫)。 (3)數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字。數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字。 (4)提供與表格有關(guān)的說明和參數(shù)。包括表格名稱，提供與表格有關(guān)的說明和參數(shù)。包括表格名稱，主要測量儀器的規(guī)格主要測量儀器的規(guī)格(型號、量程及準確度等級等型號、量程及準確度等級等)，有關(guān)的環(huán)境參數(shù)有關(guān)的環(huán)境參數(shù)(如溫度、濕度等如溫度、濕度等)和其它需要引用和其它需要引用的常量和物理量等。的常量和物理量等。 (5)為了便于揭示或說明物理量之間的關(guān)系，可以根據(jù)為了便于揭示或

24、說明物理量之間的關(guān)系，可以根據(jù)需要增加除原始數(shù)據(jù)以外的處理結(jié)果。需要增加除原始數(shù)據(jù)以外的處理結(jié)果。 二、二、應(yīng)用應(yīng)用舉例舉例粘滯系數(shù)測定實驗中，小球直徑測量值的記錄。粘滯系數(shù)測定實驗中，小球直徑測量值的記錄。 小球直徑的測量小球直徑的測量主要儀器：外徑千分尺，分度值為主要儀器：外徑千分尺，分度值為0.01mm，零點誤差為，零點誤差為0.002mm次數(shù)123456平均修正值小球直徑(mm)3.0123.0893.0533.0473.0323.0673.0503.0483.3 作圖法作圖法 作圖法是一種用幾何手段處理數(shù)據(jù)的方法，作圖作圖法是一種用幾何手段處理數(shù)據(jù)的方法，作圖法是把實驗數(shù)據(jù)用自變量和

25、因變量的關(guān)系作成曲線，法是把實驗數(shù)據(jù)用自變量和因變量的關(guān)系作成曲線，以便反映它們之間的變化規(guī)律或函數(shù)關(guān)系。這種方以便反映它們之間的變化規(guī)律或函數(shù)關(guān)系。這種方法是尋找和表示函數(shù)關(guān)系的常用方法。法是尋找和表示函數(shù)關(guān)系的常用方法。 一、作圖的基本規(guī)則一、作圖的基本規(guī)則 1、有完整的原始數(shù)據(jù)并列成表格，注意名稱、符號、有完整的原始數(shù)據(jù)并列成表格，注意名稱、符號、單位及有效數(shù)字的規(guī)范使用。單位及有效數(shù)字的規(guī)范使用。 2、除了一些特殊情況以外，凡要通過作圖提取參數(shù)、除了一些特殊情況以外，凡要通過作圖提取參數(shù)或內(nèi)插、外推數(shù)據(jù)的，一定要用或內(nèi)插、外推數(shù)據(jù)的，一定要用坐標紙坐標紙。圖紙的選。圖紙的選擇以不損失實

26、驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括全部實驗擇以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括全部實驗點作為最低要求，因此至少應(yīng)保證坐標紙的最小分點作為最低要求，因此至少應(yīng)保證坐標紙的最小分格格(通常為通常為1mm)以下的估計位與實驗數(shù)據(jù)中最后一以下的估計位與實驗數(shù)據(jù)中最后一位數(shù)字對應(yīng)。某些情況下位數(shù)字對應(yīng)。某些情況下(如圖形過小如圖形過小)，還要適當放，還要適當放大，以便于觀察，同時也有利于避免作圖而引入附大，以便于觀察，同時也有利于避免作圖而引入附加的誤差。加的誤差。 3、選好坐標軸并標明有關(guān)物理量的名稱、選好坐標軸并標明有關(guān)物理量的名稱(或符號或符號)、單位和坐標分度值。坐標起點不一定通過零點，通單位和坐標分度值

27、。坐標起點不一定通過零點，通常以曲線常以曲線充滿圖紙充滿圖紙，使全圖比較美觀，使全圖比較美觀(不要偏于一角不要偏于一角)為原則。分度比例要選擇適當，一般取為原則。分度比例要選擇適當，一般取1,2,5,10較較好，以便于換算和描點。好，以便于換算和描點。 4、實驗數(shù)據(jù)以、實驗數(shù)據(jù)以+、 、 、等符號標出，不、等符號標出，不同曲線用不同的符號。用直尺或曲線板把數(shù)據(jù)點同曲線用不同的符號。用直尺或曲線板把數(shù)據(jù)點連成連成直線或光滑曲線直線或光滑曲線。作曲線時應(yīng)反映出實驗的。作曲線時應(yīng)反映出實驗的總趨勢，不必強求曲線通過數(shù)據(jù)點，但應(yīng)使實驗總趨勢，不必強求曲線通過數(shù)據(jù)點，但應(yīng)使實驗點均勻地分布于曲線兩側(cè)。繪

28、制校準曲線要用折點均勻地分布于曲線兩側(cè)。繪制校準曲線要用折線。線。 5、求直線圖形的斜率和截距。具體做法是：、求直線圖形的斜率和截距。具體做法是： 直線方程：直線方程： bxay在直線的兩端各取一點在直線的兩端各取一點 ),(),(2211yxyx1221121212xxyxyxaxxyyb， 取點的原則取點的原則是：從擬合的直線上取點是：從擬合的直線上取點(為利用直線為利用直線的平均效果不取原數(shù)據(jù)點的平均效果不取原數(shù)據(jù)點)；兩點相隔要遠一些；兩點相隔要遠一些(否否則計算后的一些數(shù)字要減少則計算后的一些數(shù)字要減少)，但仍在實驗范圍內(nèi)；，但仍在實驗范圍內(nèi)；所取點的坐標應(yīng)在圖上注明。所取點的坐標應(yīng)

29、在圖上注明。 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 測得一電阻絲阻值隨溫度變化如下表，試用作圖法求出其測得一電阻絲阻值隨溫度變化如下表，試用作圖法求出其函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系 t (oC) 15.0 20.0 25.0 30.0 R (W) 28.05 28.52 29.10 29.56 t (oC) 35.0 40.0 45.0 50.0 R (W) 30.10 30.57 31.00 31.62 解解：測量的溫度范圍與電阻范圍各為：測量的溫度范圍與電阻范圍各為 . Ctto0 .350 .150 .50minmax)(57. 305.2862.31minmaxW RR選用選用 的方格紙作圖。溫度的方格紙作圖。溫度t

30、為橫坐標，起點在為橫坐標，起點在 ，每小格為每小格為 ；電阻；電阻R為縱坐標，起點在為縱坐標，起點在 ，每小格，每小格為為 。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作圖。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作圖。格格 4040Co10Co1W28W1 . 010203040502829303132(43.0,30.90)(19.0,28.40)R=26.4+0.104tR(W)t(oC) 電阻與 溫度關(guān)系曲 線 在擬合直線上取兩點在擬合直線上取兩點(19.0，28.40), (43.0, 30.90),計算計算擬合直線擬合直線的斜率和截距。的斜率和截距。104. 00 .190 .4340.2890.30a4 .260 .190 .4390.

31、300 .1940.280 .43btR104. 04 .26擬合直線方程為：擬合直線方程為：假設(shè)擬合直線方程為假設(shè)擬合直線方程為atbR3.4 最小二乘法最小二乘法 從含有誤差的數(shù)據(jù)中尋求經(jīng)驗方程或提取參數(shù)是從含有誤差的數(shù)據(jù)中尋求經(jīng)驗方程或提取參數(shù)是實驗數(shù)據(jù)處理的重要內(nèi)容。事實上，用作圖法獲得實驗數(shù)據(jù)處理的重要內(nèi)容。事實上，用作圖法獲得直線的斜率和截距就是一種平均處理的方法，但這直線的斜率和截距就是一種平均處理的方法，但這種方法有相當大的主觀成分，結(jié)果往往因人而異。種方法有相當大的主觀成分，結(jié)果往往因人而異。最小二乘法是一種比較精確的曲線擬合方法。它的最小二乘法是一種比較精確的曲線擬合方法。

32、它的判據(jù)是：判據(jù)是：對等精度測量，若存在一種最佳的擬合曲對等精度測量，若存在一種最佳的擬合曲線，那么各測量值與這條曲線上對應(yīng)點之差的平方線，那么各測量值與這條曲線上對應(yīng)點之差的平方和應(yīng)取極小值和應(yīng)取極小值。 這里僅討論用最小二乘法來處理直線的擬合這里僅討論用最小二乘法來處理直線的擬合(一一元線性回歸元線性回歸)問題，并且還進一步假定在等精度測量問題，并且還進一步假定在等精度測量中，只有因變量中，只有因變量 y 有誤差，自變量有誤差，自變量 x 的測量誤差遠的測量誤差遠遠小于因變量遠小于因變量 y 的誤差，的誤差，自變量可以認為是準確的自變量可以認為是準確的。 實驗測得的數(shù)據(jù)是：實驗測得的數(shù)據(jù)是

33、： 沒有測量誤差，沒有測量誤差，y的相應(yīng)回歸值是的相應(yīng)回歸值是 用最小二乘法估計用最小二乘法估計a，b之值應(yīng)滿足之值應(yīng)滿足y的測量值的測量值 和和 之差的平方和取極小：之差的平方和取極?。?nnnxxxyyyxxx,.,;,.,;,.,212121nbxabxabxa.,21iyibxa min)(12niiibxayR選擇選擇a，b使使R取極小值的必要條件是：取極小值的必要條件是： 00bRaR由此可解出由此可解出a，b得：得： 22222)()(iiiiiiiiiiiiixnxyxnyxbxnxxyxyxa 3.5 逐差法逐差法 在一些特定條件下，可以用簡單的代數(shù)運算來處在一些特定條件下，

34、可以用簡單的代數(shù)運算來處理一元線性擬合問題。逐差法就是其中之一，它與理一元線性擬合問題。逐差法就是其中之一，它與作圖法比，沒有人為的擬合的隨意性；與最小二乘作圖法比，沒有人為的擬合的隨意性；與最小二乘法相比，計算上簡單一些但結(jié)果相近，在物理實驗法相比，計算上簡單一些但結(jié)果相近，在物理實驗中經(jīng)常使用。中經(jīng)常使用。 逐差法是將作為因變量的使用數(shù)據(jù)分為兩組，并逐差法是將作為因變量的使用數(shù)據(jù)分為兩組，并對前后兩半的對應(yīng)項進行逐差，均勻地使用數(shù)據(jù)。對前后兩半的對應(yīng)項進行逐差，均勻地使用數(shù)據(jù)。 一、逐差法適用的條件一、逐差法適用的條件 1 1、自變量和因變量之間滿足線性關(guān)系。、自變量和因變量之間滿足線性關(guān)

35、系。2 2、自變量必須是等間距變化，且較因變量有更高的、自變量必須是等間距變化，且較因變量有更高的測量精確度，一般情況下，可忽略自變量的誤差。測量精確度，一般情況下，可忽略自變量的誤差。 例例：楊氏模量測定實驗中，加一個砝碼讀數(shù)：楊氏模量測定實驗中，加一個砝碼讀數(shù) ，加二個砝，加二個砝碼讀數(shù)碼讀數(shù) 加八個砝碼讀數(shù)加八個砝碼讀數(shù) ，測量數(shù)據(jù)為，測量數(shù)據(jù)為 將數(shù)據(jù)分為兩組：將數(shù)據(jù)分為兩組： 和和 ，逐差結(jié)果為：，逐差結(jié)果為： 1x2x8x821.,xxx4321,xxxx8765,xxxx x1 x5 x5-x1 x2 x6 x6-x2 x3 x7 x7-x3 x4 x8 x8-x4可以算出，加四個砝碼，鋼絲伸長量為：可以算出，加四個砝碼，鋼絲伸長量為： )()()()(41414837261541xxxxxxxxxxi這里充分利用了數(shù)據(jù)，克服了逐項逐差造成的中間數(shù)據(jù)這里充分利用了數(shù)據(jù)，克服了逐項逐差造成的中間數(shù)據(jù)失效的問題失效的問題 。設(shè)計實驗的基本過程：設(shè)計實驗的基本過程：1、根據(jù)實驗?zāi)康?，查閱文獻，了解進展。、根據(jù)實驗?zāi)康?，查閱文獻，了解進展。2、確定實驗方案。、確定實驗方案。