基本不等式時教學設計

1、必修5第三章 不等式3.4.1 基本不等式第一課時(王乙橙)一、教學目標1.核心素養(yǎng)通過學習基本不等式，提升學生的直觀想象、數(shù)學運算與邏輯推理的能力.2.學習目標（1） 探索基本不等式的證明過程；（2） 會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.3.學習重點應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程.4.學習難點用基本不等式求的最大（小）值.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務1.預習課本97頁內(nèi)容,感性認識a2+b22ab這個重要不等式和等號成立的條件.2.能嘗試從兩方面證明基本不等式嗎：(1)代數(shù)法(2)幾何法2.預習自測1.設a0,b0,則+ 2（填或），并

2、指出“”成立的條件.答案：2.已知aR,設P(4+a2)(4+)，Q24，則P與Q的大小關系是.答案：PQ3.設a0,b0,ab,P=,Q=,M=，則P、Q、M按由小到大的順序排列是答案：QMP（二）課堂設計1.問題探究問題探究一 什么是基本不等式？活動一 重要不等式？ 觀察與思考：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.你還記得是什么嗎？（1）設直角三角形的長為a、b，那么正方形的邊長為_;面積為_,4個直角三角形的面積和是_.（2）根據(jù)4個直角三角形的面積和與正方形面積的大小關系，我們在

3、初中的時候從這個圖案中找出過一個相等關系_，化簡后得到勾股定理 .（3）根據(jù)4個直角三角形的面積和與正方形面積的大小關系，我們可得到一個怎樣的不等式_.（4）4個直角三角形的面積和與正方形的面積有相等的情況嗎？何時相等？圖形怎樣變化？（5）你能給出它的證明嗎？歸納小結：（重要不等式），對于任意的實數(shù)a,b,都有_;當且僅當_.活動二 什么是基本不等式？（1）既然對于任意的實數(shù),都有,如果，用分別代替中的可以得到 .（2）對于不等式，你能給出證明嗎？歸納小結：若那么_,我們把這個不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）.（3）如下圖，是圓的直徑，點是上任一點，過點作垂直于，連接、.你能利用這個圖形

4、得出基本不等式幾何解釋嗎？基本不等式解讀：基本不等式的幾何意義： 平均數(shù)解釋： 基本不等式成立的條件是_；結論是_.問題探究二 基本不等式有那些推論與重要變形？ 重點知識，運用技巧1.平方平均、算術平均、幾何平均與調(diào)和平均的關系：若，則有，當且僅當 取等.2. 基本不等式的幾個重要變形：（1）,，當且僅當 取等；（2），當且僅當 取等；（3）若， 則 2，當且僅當 取等；問題探究三 利用基本不等式能解決哪些問題？ 重點、難點知識活動一 運用基本不等式比較大小例1(1)已知a、b(0,1)，且ab，那么在ab，2，a2b2，2ab中的最大者為_.【知識點：基本不等式及取等條件】詳解：方法一a、b

5、(0,1)且ab，ab2，a2b22ab.又當a、b(0,1)時，aa2，bb2，aba2b2.最大者為ab.方法二(特值法)，取a，b，代入即得：最大者為ab.(2)設a0，b0，試比較， ，的大小，并說明理由.【知識點：算數(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)，調(diào)和平均數(shù)，均方根引出的重要結論】詳解：方法一a0，b0，即(當且僅當ab時取等號).又()2， (當且僅當ab時等號成立)而，故 (當且僅當ab時等號成立).方法二（特值法）取a1，b4代入即得結論.點撥：(1)利用均值不等式及函數(shù)單調(diào)性是比較大小的常用方法；(2)代入特殊值，通過計算先估算大小關系，后比較大小更具有目標性活動二 利用基本不等式求最

6、值 例2 (1)已知a0，b0，且ab2，則當ab_時，ab有最小值_.(2)已知a0，b0，且ab2.則當ab_時，ab有最大值_.【知識點：基本不等式】詳解：(1)ab2，當ab時，ab有最小值2.(2)ab()2，當ab1時，ab有最大值1.點撥：利用基本不等式求最值，必須同時滿足以下三個條件：各項均為正數(shù)；其和或積為常數(shù)；等號必須成立.即“一正，二定，三相等”.簡記：積定和最小，和定積最大.活動三 利用基本不等式求最值例3 (1)已知x1，求f(x)x的最小值.(2)已知x0、y0，且5x7y20.求xy的最大值.【知識點：基本不等式；數(shù)學思想：配湊，基本不等式推論】詳解：(1)x1，

7、x10.f(x)xx11211.當且僅當x1，即x0時取“”.f(x)min1.(2)x0，y0，xy(5x7y)()2()2.當且僅當5x7y10，即x2，y時，取“”.(xy)max.點撥：在應用基本不等式求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正(各項都是正數(shù))，二定(積或和是定值)，三相等(等號能否成立)”.求最值時，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.導致解題的失敗.如：本題(1)已知中將x1改為x2，則值域?qū)⒆優(yōu)?，).2.課堂總結1. 基礎知識思維導圖重要不等式：，均值不等式的應用均值不等式：，均值不等式的重要變形2.重點難點突破利用均值不等式求最值時，應注意的問題（1）各項均為

8、正數(shù)，特別是出現(xiàn)對數(shù)式、三角數(shù)式等形式時，要認真考慮.（2）求和的最小值需積為定值，求積的最大值需和為定值.（3）確保等號成立.以上三個條件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”.3.基本不等式推廣：若， 則(當且僅當時，取等號).一般地，對于個正數(shù)，則(當且僅當時，取等號).3.隨堂檢測1.設0ab，則下列不等式中正確的是()A.abB.abC.ab D.ab【知識點：基本不等式比較大??；】解：0ab，aaab.a.由基本不等式知(ab)，又0ab，abbb，b.a0，則a有最_值2，此時a_.若a0，則a有最_值2，此時a_.(2)若0a1)的最小值為()A.3B.3C.4 D.4【知識點

9、：基本不等式，對數(shù)函數(shù)】解：x5(x1)626268，當且僅當x1即x2時取“”號，ylog2(x5)log283.故選B.4.設a1，b1且ab(ab)1，那么()A.ab有最小值2(1) B.ab有最大值(1)2C.ab有最大值1 D.ab有最小值2(1)【知識點：基本不等式變形的應用】解：A5.若x，yR，且x2y5，則3x9y的最小值()A.10 B.6 C.4 D.18【知識點：基本不等式，指數(shù)式】解：D6.已知ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg，比較P、Q、R的大小.【知識點：基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性】解：ab1，lgalgb0.(lgalgb)，故QP.又由，得lglg.即l

10、g(lgalgb)，故RQ.從而PQR.（四）課后作業(yè)基礎型 自主突破1. 不等式a212a中等號成立的條件是()A.a1 B.a1 C.a1 D.a0【知識點：取等條件】解：B2. 設x0，則y33x的最大值是()A.3 B.32 C.32 D.1【知識點：基本不等式】解：C3. 若a0，b0，且a2b20，則ab的最大值為()A. B.1 C.2 D.4【知識點：基本不等式】解：A4. 下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是()A.yx B.ysinx C.yex4ex D.ylog3xlogx81【知識點：基本不等式，取等條件】解：C5. 已知a0，b0，則2的最小值是()A.2 B.2 C.4

11、 D.5【知識點：基本不等式】解：D6.已知x0，y0，且滿足1，則xy的最大值為_ _【知識點：基本不等式】解：37.已知x0，y0，lgxlgy1，求的最小值 【知識點：基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性】解：2能力型 師生共研8. 下列不等式a212a；a244a；|2；ab.其中恒成立的是()A. B. C. D.【知識點：基本不等式】解：與同號，|2.9.(2012福建)下列不等式一定成立的是()A.lg(x2)lgx(x0) B.sinx2(xk，kZ)C.x212|x|(xR) D.1(xR)【知識點：基本不等式，取等條件】解：x212|x|x22|x|10，當x0時，x22|x|1x22

12、x1(x1)20成立；當x1，求y的最小值；（2）求函數(shù)y的最小值.【知識點：基本不等式及應用】解：(1)x1，x10.設x1t0，則xt1.于是有yt5259，當且僅當t，即t2時取等號，此時x1.當x1時，函數(shù)y取得最小值為9.(2)令tx21，則t1，且x2t1.yt1.t1，t22，當且僅當t，即t1時，等號成立，當x0時，函數(shù)取得最小值3.13. 已知實數(shù)，若，且，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【知識點：基本不等式及應用】解：，即的最小值為自助餐1. 如果log3mlog3n4，那么mn的最小值是()A.4 B.18 C.4 D.9【知識點：基本不等式】解：B2. (20

13、13福建)若2x2y1，則xy的取值范圍是()A.0,2 B.2,0 C.2，) D.(，2【知識點：基本不等式】解：D3. 若a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是()A.a2b22ab B.ab2 C. D.2【知識點：基本不等式】解：D4. 已知正項等差數(shù)列an的前20項和為100，則a5a16的最大值為()A.100 B.75 C.50 D.25【知識點：基本不等式】解：D5. 若正數(shù)滿足，則的最大值是()A. B. C.2 D.【知識點：基本不等式】解：C6.（襄陽市普通高中2016屆高三統(tǒng)一調(diào)研）已知x 0，y 0，且，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是() A.4，2 B.(4，2) C.(0，2) D.(0，4)【知識點：基本不等式，恒成立】解：B7. 當0x2時，不等式x(2x)a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.【知識點：基本不等式，恒成立】解：1，)8. 若，則的最小值是_；【知識點：基本不等式】解：9.（2013上海高考文科13）設常數(shù)a0.若對一切正實數(shù)x成立，則a的取值范圍為 .【知識點：基本不等式，恒成立】解：，). 考查