向量組和向量空間

1、 第二章 向量組和向量空間教學(xué)安排說明章節(jié)題目：§2.1 維向量及其線性運(yùn)算；§2.2向量組的線性相關(guān)性；§2.3向量組的秩學(xué)時(shí)分配：共6學(xué)時(shí)。§2.1 維向量及其線性運(yùn)算 2學(xué)時(shí)§2.2 向量組的線性相關(guān)性 2學(xué)時(shí)§2.3 向量組的秩 2學(xué)時(shí)本章教學(xué)目的與要求：目的：使學(xué)生掌握向量的線性運(yùn)算及線性相關(guān)性的判定，為下一章理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)打基礎(chǔ)。要求：1、理解維向量的概念和運(yùn)算。2、深刻理解向量的線性組合、向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念（本章的難點(diǎn)）。3、深刻理解向量組的極大無關(guān)組和向量組秩的概念。會(huì)求向量組的秩和極大無關(guān)組（本章

2、的難點(diǎn)）。4、掌握向量組線性相關(guān)性的判定課 堂 教 學(xué) 方 案課程名稱：§2.1 維向量及其線性運(yùn)算 授課時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)授課類型:理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：掌握向量的定義及其線性運(yùn)算滿足的規(guī)律，掌握向量內(nèi)積、夾角、正交等概念教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是向量內(nèi)積、夾角、正交等概念教學(xué)內(nèi)容§2.1 維向量及其線性運(yùn)算一、維向量的概念定義1 所謂一個(gè)維向量就是由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組 (1)稱為向量(1)的第分量.通常用小寫希臘字母來代表向量.向量通常是寫成一行：.有時(shí)也可以寫成一列：.為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫法上的不同.分量全為零的向量稱

3、為零向量，記為0 全體維實(shí)向量的集合記作例1 線性方程組中的每一個(gè)方程都可以用一個(gè)維向量表示例2、例3見教材二、向量的線性運(yùn)算如果維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，即.就稱這兩個(gè)向量是相等的，記作.1. 向量的加法定義2 已知向量，向量稱為向量的和，記為2. 數(shù)乘向量定義3 設(shè)為數(shù)，向量稱為向量與數(shù)的數(shù)量乘積，記為向量稱為向量的負(fù)向量，記為.3. 向量的減法已知向量，定義向量稱為向量的減法，記為4. 向量的轉(zhuǎn)置稱為向量的轉(zhuǎn)置，記作或顯然向量的運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律交換律： . (2)結(jié)合律： . (3). (4) . (5), (6), (7), (8). (9)(6)(9)是關(guān)于數(shù)量乘法的四條基本運(yùn)算規(guī)

4、則.由(6)(9)或由定義不難推出：, (10), (11). (12)如果，那么. (13)補(bǔ)充例題例1計(jì)算（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）例2證明：如果a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0三、向量的內(nèi)積定義4 在中,設(shè)向量,稱實(shí)數(shù)為向量的內(nèi)積，記作向量的內(nèi)積具有以下性質(zhì)：1）=；2）；3）=；4）定義5 非負(fù)實(shí)數(shù)稱為向量的長度，記作顯然向量的長度滿足非負(fù)性、齊次性和三角形法則。向量的長度一般是正數(shù)，只有零向量的長度才是零。長度為1的向

5、量叫做單位向量.如果,，向量就是一個(gè)單位向量.用向量的長度去除向量，得到一個(gè)與成比例的單位向量，通常稱為把單位化.兩個(gè)向量之間最簡單的關(guān)系是成比例.所謂向量與成比例就是說有一數(shù)使.命題1 設(shè)向量，則有，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)兩向量對(duì)應(yīng)分量成比例定義6 非零向量的夾角規(guī)定為定義7 如果向量的內(nèi)積為零，即，那么稱為正交或互相垂直，記為.兩個(gè)非零向量正交的充要條件是它們的夾角為.只有零向量才與自己正交.課后作業(yè) P56 1；2；3課 堂 教 學(xué) 方 案課程名稱：§2.2向量組的線性相關(guān)性授課時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)授課類型:理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：掌握向量組的線性相關(guān)、無關(guān)的定義，掌握

6、有關(guān)定理及推論教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是判別向量組的線性相關(guān)性；難點(diǎn)是定理的證明教學(xué)內(nèi)容§2.2向量組的線性相關(guān)性一、 向量組的線性組合定義8 向量稱為向量組的一個(gè)線性組合，如果有數(shù)，使 ,其中叫做這個(gè)線性組合的系數(shù).當(dāng)向量是向量組的一個(gè)線性組合時(shí)，也說可以經(jīng)向量組線性表出.例4設(shè)，則再如，任一個(gè)維向量都是下面向量組的一個(gè)線性組合. 向量稱為維單位向量.零向量是任意向量組的線性組合.例5設(shè)是向量組之中的一個(gè)向量，證明是向量組的一個(gè)線性組合例6 證明是向量組的一個(gè)線性組合，則也是向量組的一個(gè)線性組合。例7判斷是否是的線性組合？例8判斷是否是的線性組合？命題2 如果可由向量組線性表出，而中每

7、一個(gè)向量可以經(jīng)向量組線性表出，那么可由線性表出.二、線性相關(guān)定義10 設(shè)向量組（m2），如果其中存在一個(gè)向量是其余m-1個(gè)向量的線性組合，則稱向量組線性相關(guān)定理1向量組（m2）線性相關(guān)的充分必要條件是存在不全為零的數(shù)，使如果當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)上式成立，則稱向量組線性無關(guān)。定義 設(shè)向量組（m2），如果存在不全為零的數(shù)，使那么稱向量組（m2）線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。從定義可以看出，單獨(dú)一個(gè)零向量線性相關(guān)，單獨(dú)一個(gè)非零向量線性無關(guān).任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.向量組線性相關(guān)就表示或者(這兩個(gè)式子不一定能同時(shí)成立).在為實(shí)數(shù)域，并且是三維時(shí)，就表示向量與共線.三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義就

8、是它們共面.并且如果一向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無關(guān).特別地，由于兩個(gè)成比例的向量是線性相關(guān)的，所以，線性無關(guān)的向量組中一定不能包含兩個(gè)成比例的向量.不難看出，由維單位向量組成的向量組是線性無關(guān)的.例9 判斷是否線性相關(guān)？例10 是否線性相關(guān)？命題3若向量的部分組線性相關(guān)線性相關(guān)。反之，線性無關(guān)線性無關(guān)。證：因?yàn)榫€性相關(guān)，則存在不全為零的，使則線性相關(guān)。命題4 記若線性無關(guān)線性無關(guān)。反之，若線性相關(guān)線性相關(guān)。即如果向量組線性無關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添一個(gè)分量所得到的維的向量組也線性無關(guān).證：1°記，顯然，因?yàn)榫€性無關(guān)，知，因而.2°因?yàn)橹挥辛校?

9、由1°和2°知，知線性無關(guān)。定理2設(shè)向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)可由表示，且表示法唯一。證：記，顯然.1°因?yàn)榫€性無關(guān)，知2°因?yàn)榫€性相關(guān)，知因此，知，有解且唯一?？捎杀硎?，且表示法唯一。補(bǔ)充知識(shí)：定理：設(shè)，向量（），則向量可由向量組線性表示的充要條件是：以為列向量的矩陣與以，為列向量的矩陣有相同的秩。定理：向量組，其中，則線性相關(guān)的充要條件是：以為列向量的矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)。定理：個(gè)維向量組成的向量組，當(dāng)時(shí)線性相關(guān)。證：記，因?yàn)?，則線性相關(guān)。具體判斷一個(gè)向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)的問題可以歸結(jié)為解方程組的問題.向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解?；?/p>

10、者說齊次線性方程組只有零解線性無關(guān)。推論 設(shè)個(gè)向量（），向量組線性相關(guān)的充要條件是：注：這里把應(yīng)理解為列向量。補(bǔ)充例題例1向量組是否線性相關(guān).例2判斷向量是否線性相關(guān)。例3 證明：若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).課后作業(yè)：P61 1，2，3，4課 堂 教 學(xué) 方 案課程名稱：§2.3向量組的秩授課時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)授課類型: 理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：理解向量組的秩的概念，掌握有關(guān)定理及推論教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：極大無關(guān)組的判定教學(xué)內(nèi)容定義11：設(shè)兩個(gè)向量組（1） （2）如果向量組（1）中的每個(gè)都可以由向量組（2）線性表示，那么稱向量組可由線性表示。如果向量組（2）中的每

11、個(gè)向量也可以由向量組（1）線性表示，那么向量組（1）與（2）稱為等價(jià)。例如：，與向量組，等價(jià)。因?yàn)?，；向量組的等價(jià)關(guān)系具有如下性質(zhì)：1）反身性：每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià)；2）對(duì)稱性：如果向量組（1）與向量組（2）等價(jià)，那么向量組（2）也與向量組（1）等價(jià)；3）傳遞性：如果向量組（1）與向量組（2）等價(jià)，而向量組（2）又與向量組等價(jià)，那么向量組（1）與向量也等價(jià)。定義12 維向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這個(gè)向量組中任意添一個(gè)向量(如果還有的話)，所得的部分向量組都線性相關(guān).一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組就是這個(gè)向量組本身. 極大線性無關(guān)組

12、的一個(gè)基本性質(zhì)是，任意一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià).例11 個(gè)維單位向量就是的一個(gè)極大無關(guān)組.例12 的向量組，在這里線性無關(guān)，而，所以是一個(gè)極大線性無關(guān)組.另一方面，也都是向量組的極大線性無關(guān)組.上面的例子可以看出，向量組的極大線性無關(guān)組一般不是唯一的.定理3：設(shè)與是兩個(gè)向量組.如果向量組可以經(jīng)線性表出，且，那么向量組必線性相關(guān).推論1 如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，且線性無關(guān)，那么.推論2 任意個(gè)維向量必線性相關(guān)推論3 兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量.一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量.因此，極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)與極大線性無關(guān)組的選擇無關(guān)，它直

13、接反映了向量組本身的性質(zhì).因此有定義13 向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.一向量組線性無關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同.每一向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià).由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)等價(jià)向量組的極大線性無關(guān)組也等價(jià).所以，等價(jià)的向量組必有相同的秩.含有非零向量的向量組一定有極大線性無關(guān)組，且任一個(gè)線性無關(guān)的部分向量都能擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組.全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關(guān)組.規(guī)定這樣的向量組的秩為零.例13，矩陣的行向量組是它的秩是3.它的列向量組是它的秩也是3.定義14 矩陣的列向量組成的向量組的秩稱為矩陣的列秩；矩陣的行向量組成的向量組的秩稱為矩陣的行秩。定理：的列秩與行秩相等。（因?yàn)樾兄鹊扔诹兄?，所以下面就統(tǒng)稱為矩陣的秩.）補(bǔ)充例題例1 （1）設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)；對(duì)個(gè)線性無關(guān)向量組，以上命題是否成立？（2）當(dāng)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)，當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，是否也線性無關(guān)？解：令，代入整理得：.因?yàn)榫€性無關(guān)，則應(yīng)有 （），所以（）式只有零解，由定理5推論1知線性無關(guān)。例2 設(shè)在向量組中，且每個(gè)都不能表成它的前個(gè)向量的線性組合，證明線性無關(guān).例3 研究下面向量組的線性相關(guān)性解：解法1. 令，整理得 因?yàn)榫€性方程組的系數(shù)行列式所以方程組必有非零解，知線性相關(guān)。（2）解法2. 由知線性相關(guān)。小結(jié)： (1