單擺運動的最大擺角分析

1、 大學(xué)物理研究性論文題 目單擺運動的最大擺角分析作 者張耀遠(yuǎn)、黨陜青、羅鈞文、李凍玲所 屬 學(xué) 院化學(xué)工程學(xué)院專 業(yè) 年 級化學(xué)工程與工藝10-4創(chuàng)新班指 導(dǎo) 教 師張鵬職 稱教授寫 作 時 間2011-12-18單擺運動的最大擺角的分析摘要：本文推導(dǎo)了在一般情況下單擺可近似為周期運動的擺角。基于其公式用傳統(tǒng)方法較難求解且誤差較大，本文給出了用MATLAB求解該角度的方法，并且進(jìn)一步分析了擺長、擺角對測量重力加速度的影響，從而確定實驗中的擺角范圍。關(guān)鍵詞: 單擺 簡諧振動 擺長 最大擺角Abstract: This paper deduced the periodic motion can b

2、e approximately the angular in general. Based on its formula is hardly solved by the traditional methods and have much error, This paper uses the MATLAB software to solve the Angle problem, And further analyzes the Cycloid length, Cycloid Angle which have a influence on the measure of gravity accele

3、ration, To determine the scope of the swinging Angle.前言：單擺問題是高中物理及大學(xué)普通物理教學(xué)中的一個典型問題。作為一種準(zhǔn)簡諧振動，該實驗具有較高的理論意義及較強的應(yīng)用價值。應(yīng)用其解決問題時要滿足最小角，方可近似為簡諧運動，在理想狀態(tài)下推導(dǎo)該最小角時遇到了積分上的麻煩，而且會帶來系統(tǒng)誤差。本文給出了用MATLAB處理該問題的方法。傳統(tǒng)的關(guān)于最大角給出了多種結(jié)論，如：甚至。單擺最大角的計算和單擺周期的計算緊密相連，而在實際過程中，單擺的周期要受多種因素影響，這些因素也進(jìn)而影響最大角。 一、周期和角度的關(guān)系如圖所示,設(shè)單擺的擺錘處于最低點時勢能

4、為零,擺角為時擺錘上升的高度為： (1)單擺的總的機械能為: (2)擺錘達(dá)到最大擺角時，其機械能為: 不計空氣阻力影響,則單擺的機械能守恒,由式、得： 化簡為: 令 則式變?yōu)? 由式可得: 因為，所以可不計式被積函數(shù)二次方以上項的影響,于是有 二、最大偏角的影響因素由上文推出的公式可知：，其中，。理想情況下，周期公式為：，下面討論在不同的實驗要求精度下求出最大偏角。在實驗中測量重力加速度時，不同擺角對測量重力加速度的結(jié)果會產(chǎn)生影響，根據(jù)誤差傳遞公式，周期測量誤差對重力加速度的影響：，結(jié)果見表11。表1 不同擺角對重力加速度測量誤差的影響12345670.381.523.426.109.5213

5、.7218.6889101112131424.4030.8838.1446.1854.9864.5474.8815161718192086.0297.92110.6124.0138.3153.3由此可計算出此時的總相對誤差：當(dāng)時，。由此可知，如測量結(jié)果要求誤差在1%的話，則最大擺角不應(yīng)超過。用matlab可以實現(xiàn)上述的過程，求出誤差與擺角的關(guān)系圖（如圖1），也就是解一個橢圓積分：程序：function y=myfun(x)y=1/sqrt(1-k*k*sin(u)*sin(u);y=(4/pi)*y-2;for x=1:2:20 k=sin(x/2.0); quad(myfun,0,pi/2)

6、 fplot(y,0,pi,'b')圖1 測量誤差與擺角的關(guān)系 由此可以得出：當(dāng)擺角從到增加時，測量誤差值也不斷增加。 三、考慮擺長對測量重力加速度的影響影響重力加速度測量的因素的系統(tǒng)誤差有2：復(fù)擺、空氣浮力、空氣阻力、它們的計算公式分別為:，式中：為擺球半徑；為擺長；為擺線質(zhì)量；為擺球質(zhì)量；為空氣密度；為擺球密度；為單擺簡諧振動的角頻率，,測量的隨機誤差包括擺長、周期測量的隨機誤差和在一般的大學(xué)物理實驗中，常為此種情況。在確定的實驗方案下，復(fù)擺、空氣阻力、空氣浮力、擺角的系統(tǒng)誤差將是一定的。此時，令復(fù)擺、空氣浮力、空氣阻力及擺角各修正項引起的誤差之和為；擺長及周期的合成測量誤

7、差為,根據(jù)最小誤差準(zhǔn)則3，如果在一定擺角條件下，使,則各修正項忽略。為此，計算了不同擺角下的及的值，見表2。表2 各修正項誤差與擺長、周期合成測量誤差的比較20.075.3931.835.3944.515.39 從表2中可看出：只有約在時，才有，因此，此時擺角應(yīng)不超過。對此種情況的分析還可看出，此時的測量精度取決于周期及擺長的測量。如果這方面的誤差很小，同時取較小的擺角，則的測量精度就會很高；如果這方面的誤差較大，則擺角范圍可適當(dāng)加大，但的精度則會相應(yīng)降低。四、結(jié)論在求單擺作簡諧運動時的最大偏角時，可以從計算方法上對公式優(yōu)化，使公式更加精確化；同時也可以根據(jù)實驗條件下的一些誤差處理準(zhǔn)則來確定最大偏角，對于這個最大偏角，不同的實驗要求會得到不同的值，這取決于實驗所要求的精度大小。參考文獻(xiàn)1 鞠衍清,王殿學(xué). 關(guān)于單擺實驗最大擺角的討論.