基于一元線性回歸數(shù)學(xué)模型的簡單應(yīng)用方法

1、基于一元線性回歸數(shù)學(xué)模型的簡單應(yīng)用方法劉亞陽（天津醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院09級(jí)生醫(yī)二班，天津 300070）摘要：人們經(jīng)常用已知系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并找出最佳擬合直線，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行更為精準(zhǔn)的估測。回歸分析方法是尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要方法之一，本文針對(duì)一元線性回歸模型進(jìn)行研究，用最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。同時(shí)，根據(jù)已給出的24組纖維樣品的拉伸長度和強(qiáng)度數(shù)據(jù)建立模型，從拉伸倍數(shù)預(yù)測強(qiáng)度，并運(yùn)用MATLAB對(duì)已建立的一元線性回歸數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，剔除異常點(diǎn)，用剩余的點(diǎn)重新計(jì)算，用經(jīng)過檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型預(yù)測，使所得到結(jié)果更加符合真實(shí)數(shù)據(jù)的估計(jì)值。關(guān)鍵詞：一元線性回歸模型；最小二乘法；預(yù)測；擬合直線引言

2、隨著現(xiàn)今的發(fā)展，人們需要對(duì)各個(gè)行業(yè)的各種發(fā)展和變化趨勢做出預(yù)測，這時(shí)需要建立一個(gè)準(zhǔn)確簡練數(shù)學(xué)回歸模型，有助于對(duì)將發(fā)生的變化進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測。本論文主要向大家介紹較為簡單的一元線性回歸數(shù)學(xué)模型，以某種合成纖維的強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間的關(guān)系為例，建立一元線性回歸數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用MATLAB對(duì)已建立的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，剔除異常點(diǎn)重新計(jì)算，最終得到更為精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型。1實(shí)驗(yàn)對(duì)象及方法11實(shí)驗(yàn)對(duì)象某種合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)之間有一定關(guān)系，下表是實(shí)測24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度y與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)x的數(shù)據(jù)記錄1.2實(shí)驗(yàn)方法觀測數(shù)據(jù)對(duì)這24組數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，可以發(fā)現(xiàn)y有隨著x增加而增加的趨勢，但它們之間的具體關(guān)系又是不確定的。

3、繪制散點(diǎn)圖以拉伸倍數(shù)X為橫坐標(biāo)，強(qiáng)度Y為縱坐標(biāo)，繪制散點(diǎn)圖構(gòu)建數(shù)學(xué)模型散點(diǎn)圖有助于我們粗略地了解兩個(gè)變量之間大致上存在怎樣的相關(guān)關(guān)系。根據(jù)對(duì)散點(diǎn)圖的觀察，發(fā)現(xiàn)圖中的散點(diǎn)在一定范圍可以近似為線性關(guān)系，所以將其構(gòu)建為一元線性回歸數(shù)學(xué)模型。變量y對(duì)x的回歸方程的形式為 1-2-1根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去尋求未知參數(shù)與的估計(jì)值和，使得回歸直線方程 1-2-2與所有的觀測點(diǎn) 擬合得最好對(duì)任一給定的估計(jì)值為：這些估計(jì)值同實(shí)際觀測值之間的離差(或隨機(jī)誤差)為: 1-2-3離差平方和為： 根據(jù)最小二乘法準(zhǔn)則，當(dāng)離差平方和最小時(shí)，直線與觀測點(diǎn)擬合的最好，所以可以根據(jù)微積分的極值求法得到預(yù)估值 1-2-4通過整理得到與的線

4、性方程組 1-2-5將和代入上式可得到與的估計(jì)值 1-2-6用MATLAB對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，剔除異常點(diǎn)得到更加符合真實(shí)值的擬合直線2結(jié)果2.1計(jì)算實(shí)驗(yàn)所需數(shù)據(jù)代入公式得到回歸直線方程用excel計(jì)算24組的和及所需數(shù)據(jù)代入的公式中可得圖1 用excel計(jì)算24組的和所求回歸直線方程為：2.2用MATLAB對(duì)本題進(jìn)行求解建立一元線性回歸模型，繪制散點(diǎn)圖，得出y的系數(shù)根據(jù)所求出系數(shù)做出擬合直線。擬合直線與散點(diǎn)圖在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，更方便觀察。對(duì)已建立的一元數(shù)學(xué)回歸模型進(jìn)行檢驗(yàn)，剔除異常點(diǎn)，用剩余數(shù)據(jù)建立模型，所得到的直線方程更加貼近真實(shí)值。經(jīng)過3次剔除，剔除了4個(gè)異常點(diǎn)后，用剩余的20組數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)

5、模型。新的直線方程為，將散點(diǎn)圖和擬合直線繪制在同一坐標(biāo)系內(nèi)。3 討論對(duì)于許多生物系統(tǒng)，建立一元線性回歸數(shù)學(xué)模型對(duì)應(yīng)變量的預(yù)測往往是不精準(zhǔn)的，其不精準(zhǔn)性除了來自原始數(shù)據(jù)的誤差和數(shù)據(jù)量不足等原因外，考慮影響應(yīng)變量的只有一個(gè)自變量是不全面的，一般情況下一個(gè)應(yīng)變量會(huì)受到多個(gè)自變量的影響和制約。這時(shí)就會(huì)需要建立多元線性回歸數(shù)學(xué)模型，在選取自變量時(shí)，要把對(duì)預(yù)測值有顯著影響的自變量選取在內(nèi)，把影響不大的去除，獲得一個(gè)準(zhǔn)確而又簡練的回歸方程。此外，在實(shí)際的生物系統(tǒng)建模中會(huì)遇到非線性的回歸模型，此時(shí)需要尋求其他方法進(jìn)行求解。其中一類可通過變量變換成線性模型，對(duì)其進(jìn)行線性化處理后求解；另一類不能轉(zhuǎn)化為線性模型可以應(yīng)用級(jí)數(shù)法或麥夸特方法等直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，或者用最小二乘法對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行擬合，在對(duì)方程組進(jìn)行非線性求解。4 結(jié)論 本論文以某纖維的強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)為例，利用一元線性回歸模型來預(yù)測未知數(shù)據(jù)，并結(jié)合MATLAB，這樣使得一元線性回歸模型具有更高的準(zhǔn)確度。同時(shí)也驗(yàn)證了MATLAB中剔除異常點(diǎn)后的直線更加符合真實(shí)數(shù)據(jù)，