導數(shù)微分中值定理VIP

1、教 學 內(nèi) 容批注第三章 中值定理與導數(shù)的應用3.1 中值定理教學目的：1、 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。3、 會用二階導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學重點： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法；3、

2、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達法則。教學難點： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達法則的靈活運用。1、羅爾定理 費馬引理 設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導, 如果對任意xU(x0), 有f(x)f(x0) (或f(x)f(x0),那么f(x0)=0.羅爾定理如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導, 且有f(a)=f(b), 那么在(a,b)內(nèi)至少在一點x, 使得f(x)=0. 簡要證明:(1)如果f(x)是常函數(shù), 則f(x)0, 定理的結論顯然成立.(2)

3、如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個最大值點或最小值點, 不妨設有一最大值點x(a,b).于是,教 學 內(nèi) 容批注,所以f(x)=0.羅爾定理的幾何意義:2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導, 那么在(a,b)內(nèi)至少有一點x(axb), 使得等式f(b)-f(a)=f(x)(b-a)成立.拉格朗日中值定理的幾何意義:f(x)=,定理的證明: 引進輔函數(shù)令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a).容易驗證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件:j(a)=j(b)=0,j(x)在閉區(qū)間a,b 上連續(xù)在開區(qū)間(a,b)

4、內(nèi)可導, 且j (x)=f(x)-.根據(jù)羅爾定理, 可知在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點x, 使j(x)=0, 即f(x)-=0.由此得= f(x) ,即f(b)-f(a)=f(x)(b-a).定理證畢.f(b)-f(a)=f(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個公式對于b0或Dx0)或x+Dx,x (Dx0)應用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f(x+qDx)Dx (0q1).如果記f(x)為y, 則上式又可寫為Dy=f(x+qDx)Dx (0q1).試與微分dy=f(x)Dx比較:dy=f(x)Dx是函數(shù)增量Dy的近似表達式, 而 f(x+qDx)Dx是函數(shù)增量Dy的精

5、確表達式.作為拉格朗日中值定理的應用, 我們證明如下定理:定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).證在區(qū)間I上任取兩點x1,x2(x1x2), 應用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f(x)(x2- x1) (x1x0時,.證設f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0,x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有f(x)-f(0)=f(x)(x-0),0xx。由于f(0)=0, 因此上式即為.又由0xx, 有.3、柯西中值定理設曲線弧C由參數(shù)方程(axb)表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線,

6、 那么在曲線C上必有一點x=x , 使曲線上該點的切線平行于連結曲線端點的弦AB, 曲線C上點x=x 處的切線的斜率為,弦AB的斜率為. 于是.柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導, 且F(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零, 那么在(a,b)內(nèi)至少有一點x , 使等式.成立.顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a,F(x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫成:f(b)-f(a)=f(x)(b-a) (axb),這樣就變成了拉格朗日中值公式了.顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a,F(x)=1, 因

7、而柯西中值公式就可以寫成:f(b)-f(a)=f(x)(b-a) (axb),這樣就變成了拉格朗日中值公式了.教 學 內(nèi) 容批注3.2羅比達法則教 學 內(nèi) 容批注教 學 內(nèi) 容批注.成立.顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a,F(x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫成:f(b)-f(a)=f(x)(b-a) (ax0, 那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調增加; (2)如果在(a,b)內(nèi)f(x)0, 那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調減少.證明 只證(1). 在a,b上任取兩點x1,x2(x1x2), 應用拉格朗日中值定理, 得到f(x2)-f(x1)=f(x)(x2-x

8、1) (x1x0, 因此, 如果在(a,b)內(nèi)導數(shù)f(x)保持正號, 即f(x)0, 那么也有f(x)0. 于是f(x2)-f(x1)=f(x)(x2-x1)0,即 f(x1)0,所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在0, 2p上的單調增加.例2 討論函數(shù)y=ex-x-1的單調性. （沒指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y=ex-1.函數(shù)y=ex-x-1的定義域為(-,+). 因為在(-,0)內(nèi)y0, 所以函數(shù)y=ex-x-1在0,+)上單調增加.教 學 內(nèi) 容批注例3.討論函數(shù)的單調性.解: 函數(shù)的定義域為(-,+). 當時, 函數(shù)的導數(shù)為(x0), 函數(shù)在x=0處不可導.當x=0時, 函數(shù)

9、的導數(shù)不存在. 因為x0時,y0時,y0, 所以函數(shù)在0, +)上單調增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f(x)=0的根及導數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號, 因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調. 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調區(qū)間. 解 這個函數(shù)的定義域為:(-,+).函數(shù)的導數(shù)為:f(x)=6x2-18x+12 = 6(x-1)(x-2). 導數(shù)為零的點有兩個:x1=1、x2=2.列表分析:(-, 11, 22, +)f (x)+-+f(x)函

10、數(shù)f(x)在區(qū)間(-,1和2,+)內(nèi)單調增加, 在區(qū)間1,2上單調減少.例5. 討論函數(shù)y=x3的單調性. 解 函數(shù)的定義域為:(-,+).函數(shù)的導數(shù)為:y=3x2. 除當x=0時,y=0外, 在其余各點處均有y0. 因此函數(shù)y=x 3在區(qū)間(-,0及0,+)內(nèi)都是單調增加的. 從而在整個定義域:(-,+)內(nèi)是單調增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個點處為零, 在其余各點處均為正（或負）時, 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.例6.證明: 當x1時,.證明:令, 則. 因為當x1時,f(x)0, 因此f(x)在1, +)上f(x)

11、單調增加, 從而當x1時,f(x)f(1). 即, 也就是(x1).教 學 內(nèi) 容批注3.4 函數(shù)的極值與最大值 最小值1、函數(shù)的極值及其求法極值的定義:定義設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義,x0(a, b).如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值.設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)f(x0),則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的.如果f(x0)是函數(shù)f(x)的

12、一個極大值,那只是就x0附近的一個局部范圍來說,f(x0)是f(x)的一個最大值;如果就f(x)的整個定義域來說,f(x0)不一定是最大值.關于極小值也類似.極值與水平切線的關系:在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.定理1 (必要條件)設函數(shù)f(x)在點x0處可導,且在x0處取得極值,那么這函數(shù)在x0處的導數(shù)為零,即f(x0)=0.證為確定起見,假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明).根據(jù)極大值的定義,在x0的某個去心鄰域內(nèi),對于任何點x,f(x) f(x0)均成立.于是當xx0時,因此;從而得到f(x0) = 0 .簡要證明:假定

13、f(x0)是極大值.根據(jù)極大值的定義,在x0的某個去心鄰域內(nèi)有f(x)0,在x0的某一右鄰域內(nèi)f(x)0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f(x)0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f(x)不改變符號,那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值.定理 (第一種充分條件)設函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù),在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導. (1)如果在(a, x0)內(nèi)f(x)0,在(x0, b)內(nèi)f(x)0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內(nèi)f(x)0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極

14、小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內(nèi) f(x)的符號相同,那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值.定理2(第一充分條件)設函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d,x0)(x0,x0+d)內(nèi)可導. (1)如果在(x0-d,x0)內(nèi)f(x)0,在(x0,x0+d)內(nèi)f(x)0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d,x0)內(nèi)f(x)0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d,x0)及(x0,x0+d)內(nèi) f(x)的符號相同,那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值.定理2也可簡單地這樣說:當x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時,如果f(x)

15、的符號由負變正,那么f(x)在x0處取得極大值;如果f(x)的符號由正變負,那么f(x)在x0處取得極小值;如果f(x)的符號并不改變,那么f(x)在x0處沒有極值 (注:定理的敘述與教材有所不同) .確定極值點和極值的步驟: (1)求出導數(shù)f(x); (2)求出f(x)的全部駐點和不可導點;(3)列表判斷(考察f(x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況,以便確定該點是否是極值點,如果是極值點,還要按定理2確定對應的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值.教 學 內(nèi) 容批注例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導, 且;(

16、2)令f(x)=0, 得駐點x=1;x=-1為f(x)的不可導點;(3)列表判斷x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)f (x)+不可導-0+f(x)0(4)極大值為f(-1)=0, 極小值為.定理3 (第二種充分條件)設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f (x0)=0,f(x0)0,那么 (1)當f(x0)0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;證明在情形(1),由于f(x0)0, 按二階導數(shù)的定義有.根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性,當x在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時,.但f(x0)=0,所以上式即 從而知道,對于這去心鄰域內(nèi)的x來說,f(x)與x-x0符號相反.因此,當x-x00即x0

17、;當x-x00即xx0時,f(x)0.根據(jù)定理2,f(x)在點x0處取得極大值.類似地可以證明情形(2).簡要證明:在情形(1),由于f(x0)0, f(x0)=0, 按二階導數(shù)的定義有.根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性,在x0的某一去心鄰域內(nèi)有.從而在該鄰域內(nèi), 當x0;當xx0時,f(x)0.根據(jù)定理2,f(x)在點x0處取得極大值.教 學 內(nèi) 容批注定理3 表明,如果函數(shù)f(x)在駐點x0處的二導數(shù)f(x0) 0,那么該點x0一定是極值點,并且可以按二階導數(shù)f(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值.但如果f(x0)=0,定理3就不能應用.討論:函數(shù)f(x)=-x4,g(x)=x3在點x=

18、0是否有極值？提示:f(x)=4x3,f(0)=0;f(x)=12x2,f(0)=0.但當x0時f(x)0時f(x)0, 所以f(0) 為極小值.g(x)=3x2,g(0)=0;g(x)=6x,g(0)=0. 但g(0)不是極值例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值.解 (1)f(x)=6x(x2-1)2. (2)令f(x)=0,求得駐點x1=-1,x2=0,x3=1. (3)f(x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f(0)=60,所以f (x)在x=0處取得極小值,極小值為f(0)=0. (5)因f(-1)=f(1)=0,用定理3無法判別.因為在-1的左右鄰域內(nèi)f(x)0,

19、 則f(x)在a,b上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f(x)0, 則f(x)在a,b上的圖形是凸的.簡要證明 只證(1). 設x1,x2a,b, 且x1x2, 記.由拉格朗日中值公式, 得,兩式相加并應用拉格朗日中值公式得,即, 所以f(x)在a,b上的圖形是凹的. 拐點: 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點.確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求出在二階導數(shù)f(x); (3)求使二階導數(shù)為零的點和使二階導數(shù)不存在的點;(4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點;注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時省略.例1.

20、 判斷曲線y=ln x 的凹凸性.解:,.因為在函數(shù)y=ln x的定義域(0,+)內(nèi),y0, 所以曲線y=ln x是凸的.教 學 內(nèi) 容批注例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解:y=3x 2,y=6x.由y=0, 得x=0.因為當x0時,y0時,y0, 所以曲線在0,+)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點. 解:y=6x 2+6x-12, .令y=0, 得.因為當時,y0, 所以點(,)是曲線的拐點. 例4. 求曲線y=3x 4-4x3+1的拐點及凹、凸的區(qū)間. 解:(1)函數(shù)y=3x 4-4x3+1的定義域為(-,+);(2),;(3)解方程y=0, 得,;

21、 (4)列表判斷: (-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f (x) + 0 - 0 + f(x) 1 11/27 在區(qū)間(-,0和2/3,+)上曲線是凹的, 在區(qū)間0,2/3上曲線是凸的. 點(0,1)和(2/3,11/27)是曲線的拐點.例5 問曲線y=x 4是否有拐點？ 解 y=4x 3,y=12x 2.當x0時,y0, 在區(qū)間(-,+)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點.例6.求曲線的拐點. 解 (1)函數(shù)的定義域為(-,+); (2) ,;教 學 內(nèi) 容批注(3)無二階導數(shù)為零的點, 二階導數(shù)不存在的點為x=0; (4)判斷: 當x0; 當x0時,y0,a1) 的

22、導數(shù).解:f(x)教 學 內(nèi) 容批注.特別地有(ex)=ex.例5求函數(shù)f(x)=logax (a0,a1) 的導數(shù).解: .解:.即 .:特殊地., .3單側導數(shù):極限存在的充分必要條件是及都存在且相等. f(x)在處的左導數(shù):,f(x)在處的右導數(shù):.導數(shù)與左右導數(shù)的關系:函數(shù)f(x)在點x0處可導的充分必要條件是左導數(shù)左導數(shù)f-(x0) 和右導數(shù)f+(x0)都存在且相等.如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導,且右導數(shù)f+(a) 和左導數(shù)f-(b)都存在,就說f(x)有閉區(qū)間a, b上可導.教 學 內(nèi) 容批注例6求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導數(shù).解:, 因為f-(0) f+(0

23、),所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導.4、導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M(x0, f(x0)處的切線的斜率,即 f(x 0)=tan a,其中a是切線的傾角.如果y=f(x)在點x0處的導數(shù)為無窮大,這時曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸的直線x=x0為極限位置,即曲線y=f(x)在點M(x0, f(x0)處具有垂直于x軸的切線x=x0.:由直線的點斜式方程,可知曲線y=f(x)在點M(x0, y0)處的切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).過切點M(x0, y0)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點M處的法線如果

24、f(x0)0,法線的斜率為,從而法線方程為.例8.求等邊雙曲線在點處的切線的斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程.解:,所求切線及法線的斜率分別為,.所求切線方程為,即4x+y-4=0.所求法線方程為,即2x-8y+15=0.例9 求曲線的通過點(0,-4)的切線方程.解設切點的橫坐標為x0, 則切線的斜率為.教 學 內(nèi) 容批注于是所求切線的方程可設為.根據(jù)題目要求,點(0,-4)在切線上,因此,解之得x0=4.于是所求切線的方程為, 即3x-y-4=0.5、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系設函數(shù)y=f(x)在點x0處可導, 即存在. 則.這就是說, 函數(shù)y=f(x)在點x0處是連續(xù)的. 所以,

25、如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導, 則函數(shù)在該點必連續(xù). 另一方面,一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點處可導. 例7 函數(shù)在區(qū)間(-, +)內(nèi)連續(xù), 但在點x=0處不可導. 這是因為函數(shù)在點x=0處導數(shù)為無窮大x.2. 2 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則1、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理1如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點x具有導數(shù),那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點x具有導數(shù), 并且 u(x) v(x)=u(x) v(x) ; u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);.證明 (1)=u(x)v(x).教 學 內(nèi) 容批注法則(1)可簡單地表示為 (uv)=u

26、v.(2)=u(x)v(x)+u(x)v(x),其中v(x+h)=v(x)是由于v(x)存在,故v(x)在點x連續(xù). 法則(2)可簡單地表示為 (uv)=uv+uv.(3) .法則(3)可簡單地表示為. (uv)=uv, (uv)=uv+uv,.定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個可導函數(shù)的情形. 例如, 設u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導, 則有(u+v-w)=u+v-w. (uvw)=(uv)w=(uv)w+(uv)w =(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw.即 (uvw) =uvw+uvw+uvw.在法則(2)中, 如果v=C(C為常數(shù)),則有(Cu)

27、=Cu.例1y=2x 3-5x 2+3x-7,求y解:y=(2x 3-5x 2+3x-7)= (2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7)= 2 (x 3)- 5( x 2)+ 3( x)=23x 2-52x+3=6x 2-10x+3.教 學 內(nèi) 容批注例2.,求f(x)及.解:,.例3y=ex(sin x+cos x),求y.解:y=(ex)(sin x+cos x)+ ex(sin x+cos x)= ex(sin x+cos x)+ ex(cos x-sin x)=2excos x.例4y=tan x,求y.解: . 即 (tan x)=sec2x.例5y=sec x,求y.解:=sec

28、 x tan x.即 (sec x)=sec x tan x.用類似方法,還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導數(shù)公式: (cot x)=-csc2x, (csc x)=-csc x cot x.2.3反函數(shù)與復合函數(shù)的求導法則1、反函數(shù)的求導法則定理2 如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調、可導且f(y)0, 那么它的反函數(shù)y=f-1(x)在對應區(qū)間Ix=x|x=f(y),yIy內(nèi)也可導, 并且. 或.簡要證明: 由于x=f(y)在Iy內(nèi)單調、可導(從而連續(xù)), 所以x=f(y)的反函數(shù)y=f-1(x)存在,且f-1(x)在Ix內(nèi)也單調、連續(xù). 任取xIx, 給x以增量Dx(Dx0,x+DxIx)

29、, 由y=f-1(x)的單調性可知Dy=f-1(x+Dx)-f-1(x)0,于是. 因為y=f-1(x)連續(xù), 故 從而 .上述結論可簡單地說成: 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)教 學 內(nèi) 容批注例6設x=sin y,為直接函數(shù), 則y=arcsin x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=sin y在開區(qū)間內(nèi)單調、可導, 且(sin y)=cos y0.因此, 由反函數(shù)的求導法則, 在對應區(qū)間Ix=(-1,1)內(nèi)有.類似地有:.例7設x=tan y,為直接函數(shù), 則y=arctan x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=tan y在區(qū)間內(nèi)單調、可導, 且(tan y)=sec2y0.因此, 由反函數(shù)的求導法則,

30、在對應區(qū)間Ix=(-,+)內(nèi)有 .類似地有:.例8設x=ay(a0,a1)為直接函數(shù), 則y=logax是它的反函數(shù). 函數(shù)x=ay在區(qū)間Iy=(-,+)內(nèi)單調、可導, 且(ay)=ayln a0.因此, 由反函數(shù)的求導法則, 在對應區(qū)間Ix=(0,+)內(nèi)有 .到目前為止, 所基本初等函數(shù)的導數(shù)我們都求出來了, 那么由基本初等函數(shù)構成的較復雜的初等函數(shù)的導數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntan x、的導數(shù)怎樣求？2、復合函數(shù)的求導法則定理3如果u=g(x)在點x可導, 函數(shù)y=f(u)在點u=g(x)可導, 則復合函數(shù)y=fg(x)在點x可導, 且其導數(shù)為或.證明: 當u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時

31、,y=fj(x)也是常數(shù), 此時導數(shù)為零, 結論自然成立. 當u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時,Du0, 此時有,教 學 內(nèi) 容批注= f(u)g(x).簡要證明:.例9 , 求. 解 函數(shù)可看作是由y=eu,u=x3復合而成的, 因此. 例10 , 求. 解 函數(shù)是由y=sin u,復合而成的,因此.對復合函數(shù)的導數(shù)比較熟練后, 就不必再寫出中間變量,例11lnsin x, 求.解:.例12, 求.解:.復合函數(shù)的求導法則可以推廣到多個中間變量的情形. 例如, 設y=f(u),u=j(v),v=y(x), 則.例13y=lncos(ex), 求.解:.例14, 求.解:.教 學 內(nèi) 容批注例15設x0, 證明冪函數(shù)的導數(shù)公式 (xm)=mxm-1.解 因為xm=(e ln x)m=em ln x, 所以 (xm)=(em ln x)= em ln x(m ln x)= em ln xmx-1=mxm-1.4、基本求導法則與導數(shù)公式 1)基本初等函數(shù)的導數(shù):(1)(