定比分點(diǎn)的向量公式及應(yīng)用

1、定比分點(diǎn)的向量公式及應(yīng)用浙江省永康市古山中學(xué)（321307） 吳汝龍定比分點(diǎn)的向量公式：在平面上任取一點(diǎn)O，設(shè)，若，則。特別地，當(dāng)時，即P為線段的中點(diǎn)，則有。用定比分點(diǎn)的向量公式，可使有些問題的解決更簡潔。下面舉幾例說明。一、求定比的值：例1：已知A（），B（）及直線：，直線AB與相交于P點(diǎn)，求P點(diǎn)分的比。解：設(shè)，則由，得，又P點(diǎn)在直線上，。例2：如圖所示，在中，D為邊BC上的點(diǎn)，且，E為AD上的一點(diǎn)，且，延長BE交AC于F，求F分有向線段所成的比。解：，又，而，B、E、F共線，設(shè)，而，解得。二、求直線上點(diǎn)的坐標(biāo)例3：已知點(diǎn)，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，且，求C點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：先求出C點(diǎn)分的的值，再

2、利用定比分點(diǎn)的向量公式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。解：，利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式有。C點(diǎn)的坐標(biāo)為。例4：已知，且，求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)。分析：由題設(shè)，運(yùn)用定比分點(diǎn)的向量公式，可以求得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)。解：設(shè)，根據(jù)定比分點(diǎn)的向量公式有，同理由得，根據(jù)定比分點(diǎn)的向量公式有，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，D點(diǎn)的坐標(biāo)為。三、證明三點(diǎn)共線例5：已知點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)共線。證明：設(shè)在上，分的比為，則 ，解得與重合，由題設(shè)知C在AB上，A、B、C三點(diǎn)共線。四、求字母系數(shù)范圍例6：已知點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與線段AB有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)為一次函數(shù)圖象與線段AB的交點(diǎn)，把P看作的定比分點(diǎn)，其定比為，則有，由定比分點(diǎn)公式有，而P點(diǎn)在

3、函數(shù)圖象上，解得，即或，而當(dāng)P點(diǎn)與B重合時，也適合?；?。例7：若直線與連接，兩點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：當(dāng)直線過P點(diǎn)時，直線過Q點(diǎn)時，當(dāng)直線與線段PQ的交點(diǎn)在P、Q之間時，設(shè)這個交點(diǎn)分的比為，由定比分點(diǎn)公式有，M點(diǎn)的坐標(biāo)為， 又直線過點(diǎn)M，又點(diǎn)M在線段PQ上知，解得或，或。五、解決平面幾何問題：例8：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，P點(diǎn)在線段AB上，且，Q在線段AD上，且，BQ與CP相交于R，求的值。分析：取兩基底，由定比分點(diǎn)的向量公式將有關(guān)向量用基底表示出來，再求解。解：設(shè)，由題意有，則，又B、R、Q三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)使，且。，即。例9：設(shè)直角三角形AOB斜邊的三等分點(diǎn)為D、E。求證。分析：以O(shè)為原點(diǎn)，為軸正向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，用，表示相關(guān)線段的長度，從而證明命題。證明：以直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，直角邊OA、OB所在直線為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則D分的比為，由定比分點(diǎn)的向量公式得點(diǎn)D坐標(biāo)為同理點(diǎn)E坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式，得， ，而，。例10：如圖，已知，求證：的三條中線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)G，且。分析：幾何問題應(yīng)用向量來解決，關(guān)鍵是將有關(guān)線段設(shè)為向量，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O為向量的始點(diǎn)，將、設(shè)出。證明：如