振動(dòng)與波的圖像及多解問題專題含解析

1、振動(dòng)圖像與波的圖像及多解問題一、振動(dòng)圖象和波的圖象振動(dòng)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的推移而呈現(xiàn)的現(xiàn)象，波動(dòng)是全部質(zhì)點(diǎn)聯(lián)合起來共同呈現(xiàn)的現(xiàn)象簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和其引起的簡(jiǎn)諧波的振幅、頻率相同，二者的圖象有相同的正弦（余弦）曲線形狀，但二圖象是有本質(zhì)區(qū)別的見表：振動(dòng)圖象波動(dòng)圖象研究對(duì)象一振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)沿波傳播方向所有質(zhì)點(diǎn)研究?jī)?nèi)容一質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律某時(shí)刻所有質(zhì)點(diǎn)的空間分布規(guī)律圖線物理意義表示一質(zhì)點(diǎn)在各時(shí)刻的位移表示某時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移圖線變化隨時(shí)間推移圖延續(xù)，但已有形狀不變隨時(shí)間推移，圖象沿傳播方向平移一完整曲線占橫坐標(biāo)距離表示一個(gè)周期表示一個(gè)波長(zhǎng)【例題精選】例題1：如圖所示，甲為某一波動(dòng)在t=10s時(shí)的圖象，乙為參與

2、該波動(dòng)的P質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象（1）說出兩圖中AA/的意義？（2）說出甲圖中OA/B圖線的意義？（3）求該波速v=？（4）在甲圖中畫出再經(jīng)35s時(shí)的波形圖（5）求再經(jīng)過35s時(shí)p質(zhì)點(diǎn)的路程S和位移解析：（1）甲圖中AA/表示A質(zhì)點(diǎn)的振幅或10s時(shí)A質(zhì)點(diǎn)的位移大小為02m，方向?yàn)樨?fù)乙圖中AA/表示P質(zhì)點(diǎn)的振幅，也是 P質(zhì)點(diǎn)在 025s的位移大小為02m，方向?yàn)樨?fù)（2）甲圖中OA/B段圖線表示O 到B之間所有質(zhì)點(diǎn)在10s時(shí)的位移、方向均為負(fù)由乙圖看出P質(zhì)點(diǎn)在10s時(shí)向一y方向振動(dòng)，由帶動(dòng)法可知甲圖中波向左傳播，則OA/間各質(zhì)點(diǎn)正向遠(yuǎn)離平衡位置方向振動(dòng)，A/B間各質(zhì)點(diǎn)正向靠近平衡位置方向振動(dòng)（3）甲圖得波

3、長(zhǎng)4 m，乙圖得周期 T1s 所以波速v=/T=4m/s（4）用平移法：xv·t14 m（3十½）所以只需將波形向x軸負(fù)向平移½=2m即可，如圖所示（5）求路程：因?yàn)閚=7，所以路程S=2An=2×0.2×7=2.8m 求位移：由于波動(dòng)的重復(fù)性，經(jīng)歷時(shí)間為周期的整數(shù)倍時(shí)位移不變·所以只需考查從圖示時(shí)刻，p質(zhì)點(diǎn)經(jīng)T/2時(shí)的位移即可，所以經(jīng)35s質(zhì)點(diǎn)P的位移仍為零例題2：如圖所示，（1）為某一波在t0時(shí)刻的波形圖，（2）為參與該波動(dòng)的P點(diǎn)的振動(dòng)圖象，則下列判斷正確的是A 該列波的波速度為4ms ；B若P點(diǎn)的坐標(biāo)為xp2m，則該列波沿x軸正

4、方向傳播C該列波的頻率可能為 2 Hz； D若P點(diǎn)的坐標(biāo)為xp4 m，則該列波沿x軸負(fù)方向傳播；解析：由波動(dòng)圖象和振動(dòng)圖象可知該列波的波長(zhǎng)=4m，周期T10s，所以波速vT4ms 由P質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象說明在t=0后，P點(diǎn)是沿y軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)：若P點(diǎn)的坐標(biāo)為xp2m，則說明波是沿x軸負(fù)方向傳播的；若P點(diǎn)的坐標(biāo)為xp4 m，則說明波是沿x軸的正方向傳播的該列波周期由質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象被唯一地確定，頻率也就唯一地被確定為f lt0Hz綜上所述，只有A選項(xiàng)正確點(diǎn)評(píng)：當(dāng)一列波某一時(shí)刻的波動(dòng)圖象已知時(shí)，它的波長(zhǎng)和振幅就被唯一地確定，當(dāng)其媒質(zhì)中某質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象已知時(shí)，這列波的周期也就被唯一地確定，所以本題中的波長(zhǎng)

5、、周期T、波速v均是唯一的由于質(zhì)點(diǎn)P的坐標(biāo)位置沒有唯一地確定，所以由其振動(dòng)圖象可知P點(diǎn)在t0后的運(yùn)動(dòng)方向，再由波動(dòng)圖象確定波的傳播方向 二、波動(dòng)圖象的多解波動(dòng)圖象的多解涉及：(1)波的空間的周期性；(2)波的時(shí)間的周期性；(3)波的雙向性；(4)介質(zhì)中兩質(zhì)點(diǎn)間距離與波長(zhǎng)關(guān)系未定；(5)介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向未定1波的空間的周期性 沿波的傳播方向，在x軸上任取一點(diǎn)P（x)，如圖所示，P點(diǎn)的振動(dòng)完全重復(fù)波源O的振動(dòng)，只是時(shí)間上比O點(diǎn)要落后t，且t =x/v=xT0/.在同一波線上，凡坐標(biāo)與P點(diǎn)坐標(biāo)x之差為波長(zhǎng)整數(shù)倍的許多質(zhì)點(diǎn)，在同一時(shí)刻t的位移都與坐標(biāo)為的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移相同，其振動(dòng)速度、加速度也與之

6、相同，或者說它們的振動(dòng)“相貌”完全相同因此，在同一波線上，某一振動(dòng)“相貌”勢(shì)必會(huì)不斷重復(fù)出現(xiàn)，這就是機(jī)械波的空間的周期性 空間周期性說明，相距為波長(zhǎng)整數(shù)倍的多個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)情況完全相同2波的時(shí)間的周期性 在x軸上同一個(gè)給定的質(zhì)點(diǎn)，在t+nT時(shí)刻的振動(dòng)情況與它在t時(shí)刻的振動(dòng)情況（位移、速度、加速度等）相同因此，在t時(shí)刻的波形，在t+nT時(shí)刻會(huì)多次重復(fù)出現(xiàn)這就是機(jī)械波的時(shí)間的周期性波的時(shí)間的周期性，表明波在傳播過程中，經(jīng)過整數(shù)倍周期時(shí)，其波的圖象相同傳播距離：傳播時(shí)間：傳播速度：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)路程：3波的雙向性 雙向性是指波沿正負(fù)方向傳播時(shí)，若正、負(fù)兩方向的傳播時(shí)間之和等于周期的整數(shù)倍，則沿正負(fù)兩方向傳播的

7、某一時(shí)刻波形相同4介質(zhì)中兩質(zhì)點(diǎn)間的距離與波長(zhǎng)關(guān)系未定 在波的傳播方向上，如果兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離不確定，就會(huì)形成多解，解題時(shí)若不能聯(lián)想到所有可能情況，易出現(xiàn)漏解5介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向未定 在波的傳播過程中，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與傳播方向聯(lián)系，若某一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向未確定，則波的傳播方向有兩種，這樣形成多解說明：波的對(duì)稱性：波源的振動(dòng)要帶動(dòng)它左、右相鄰介質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，波要向左、右兩方向傳播對(duì)稱性是指波在介質(zhì)中左、右同時(shí)傳播時(shí)，關(guān)于波源對(duì)稱的左、右兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)情況完全相同已知波速v和波形，畫出再經(jīng)時(shí)間波形圖的方法平移法：先算出經(jīng)時(shí)間波傳播的距離，再把波形沿波的傳播方向平移即可。因?yàn)椴▌?dòng)圖象的重復(fù)性，若已知波長(zhǎng)，則波形

8、平移n個(gè)時(shí)波形不變。當(dāng)時(shí)，可采取去整留零的方法，只需移x即可。 特殊點(diǎn)法：在波形上找兩特殊點(diǎn)，如過平衡位置的點(diǎn)和與它相鄰的峰（谷）點(diǎn)，先確定這兩點(diǎn)的振動(dòng)方向，再看。由于經(jīng)nT波形不變，所以也是去整留零，分別做出兩特殊點(diǎn)經(jīng)t后的位置，然后按正弦規(guī)律畫出新波形。6已知振幅A和周期T，求振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的路程和位移求振動(dòng)物體在時(shí)間內(nèi)的路程和位移，由于涉及質(zhì)點(diǎn)的初始狀態(tài)，需用正弦函數(shù)較復(fù)雜。特殊情況下如T/2或T時(shí)，則比較容易求。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初始位移為x0時(shí)，經(jīng)T/2的奇數(shù)倍時(shí)x=-x0，經(jīng)T/2的偶數(shù)倍時(shí)，x=x0。振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)無論從哪個(gè)位置開始計(jì)時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)通過的路程為4A，半個(gè)周期內(nèi)通過的路程為2A

9、，但不能說四分之一周期內(nèi)通過的路程為A。這與振子的計(jì)時(shí)位置有關(guān)。例題3：一列在x軸上傳播的簡(jiǎn)諧波，在xl= 10cm和x2=110cm處的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象如圖所示，則質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為 s，這列簡(jiǎn)諧波的波長(zhǎng)為 cm 【解析】由兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)圖象直接讀出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)周期為 4s由于沒有說明波的傳播方向，本題就有兩種可能性：（1）波沿x軸的正方向傳播在t0時(shí)，x1在正最大位移處，x2在平衡位置并向y軸的正方向運(yùn)動(dòng)，那么這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置就有如圖所示的可能性，也就x2- x1(n十1/4) ，=400/(1十4n) cm（2）波沿x軸負(fù)方向傳播在t0時(shí)x1在正最大位移處，x2在平衡位置并向y軸的正方向運(yùn)

10、動(dòng)，那么這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置就有如圖所示的可能性，x2- x1(n十3/4) ，=400(3 4n) cm 4x/my0點(diǎn)評(píng)：由于波在媒質(zhì)中傳播具有周期性的特點(diǎn)，其波形圖每經(jīng)過一個(gè)周期將重復(fù)出現(xiàn)以前的波形圖，所以由媒質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象確定波長(zhǎng)的值就不是唯一的（若要是唯一的，就得有兩個(gè)前提：一個(gè)是確定波傳播方向；一個(gè)是確定波長(zhǎng)的范圍）例題4：如圖實(shí)線是某時(shí)刻的波形圖象，虛線是經(jīng)過0.2s時(shí)的波形圖象。求：波傳播的可能距離 可能的周期（頻率） 可能的波速 若波速是35m/s，求波的傳播方向 若0.2s小于一個(gè)周期時(shí)，傳播的距離、周期（頻率）、波速。解析： 題中沒給出波的傳播方向，所以有兩種可能

11、：向左傳播或向右傳播。向左傳播時(shí)，傳播的距離為x=n+3/4=（4n+3）m （n=0、1、2 ）向右傳播時(shí)，傳播的距離為x=n+/4=（4n+1）m （n=0、1、2 ）向左傳播時(shí)，傳播的時(shí)間為t=nT+3T/4 得：T=4t/（4n+3）=0.8 /（4n+3）（n=0、1、2 ）向右傳播時(shí)，傳播的時(shí)間為t=nT+T/4得：T=4t/（4n+1）=0.8 /（4n+1） （n=0、1、2 ）計(jì)算波速，有兩種方法。v=x/t 或v=/T向左傳播時(shí)，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s. 或v=/T=4 （4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2 ）向右

12、傳播時(shí)，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s. 或v=/T=4 （4n+1）/0.8=（20n+5）m/s. （n=0、1、2 ）若波速是35 m/s，則波在0.2 s內(nèi)傳播的距離為x=vt=35×0.2 m=7 m=1，所以波向左傳播。若0.2s小于一個(gè)周期，說明波在0.2s內(nèi)傳播的距離小于一個(gè)波長(zhǎng)。則：向左傳播時(shí)，傳播的距離x=3/4=3m；傳播的時(shí)間t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右傳播時(shí)，傳播的距離為/4=1m；傳播的時(shí)間t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.點(diǎn)評(píng)：做此類問題的選擇題時(shí)，可用答案代入檢驗(yàn)法。例題5：如

13、圖所示，一列簡(jiǎn)諧橫波在t1時(shí)刻的波形，如圖甲所示，質(zhì)點(diǎn)P在該時(shí)刻的振動(dòng)速度為v，t2時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P的振動(dòng)速度與t1時(shí)刻的速度大小相等，方向相同；t3時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P的速度與t1時(shí)刻的速度大小相等，方向相反若t2t1t3t202秒，求這列波的傳播速度解析：從振動(dòng)模型分析，若質(zhì)點(diǎn)P從t1時(shí)刻開始向平衡位置方向振動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)，從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻，從t2時(shí)刻到t3時(shí)刻，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)圖象如圖乙所示考慮到振動(dòng)的周期性，則有： t2t1（n14）T n0，1，2 周期為：T=（t2一t1）（n十1/4） n0，1，2 由公式：vT 得出速度v的通解為： v20（nl4） n=0，1，2方向向左 若質(zhì)點(diǎn) P從 t1

14、時(shí)刻開始背離平衡位置方向振動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)，從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻，從t2時(shí)刻到t3時(shí)刻，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)圖象如圖丙所示考慮到振動(dòng)的周期性，則有： t2t1（n34）T n0，1，2 周期為：T=（t2一t1）（n十3/4） n0，1，2 由公式：vT 得出速度v的通解為： v20（n34） n=0，1，2方向向右 答案：v20（nl4）（n0，1，2） 方向向左 或v 20（ n 34）（ n 0，1，2，）方向向右123456789 Q RPx/cms/mO例題6：已知在t1時(shí)刻簡(jiǎn)諧橫波的波形如圖中實(shí)線所示；在時(shí)刻t2該波的波形如圖中虛線所示。t2-t1 = 0.02s來求：該波可能的傳播速度。若

15、已知T< t2-t1<2T，且圖中P質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)刻的瞬時(shí)速度方向向上，求可能的波速。若0.01s<T<0.02s，且從t1時(shí)刻起，圖中Q質(zhì)點(diǎn)比R質(zhì)點(diǎn)先回到平衡位置，求可能的波速。解：如果這列簡(jiǎn)諧橫波是向右傳播的，在t2-t1內(nèi)波形向右勻速傳播了，所以波速=100(3n+1)m/s (n=0,1,2,)；同理可得若該波是向左傳播的，可能的波速v=100(3n+2)m/s (n=0,1,2,) P質(zhì)點(diǎn)速度向上，說明波向左傳播，T< t2-t1 <2T，說明這段時(shí)間內(nèi)波只可能是向左傳播了5/3個(gè)波長(zhǎng)，所以速度是唯一的：v=500m/s “Q比R先回到平衡位置”，說

16、明波只能是向右傳播的，而0.01s<T<0.02s，也就是T<0.02s<2T，所以這段時(shí)間內(nèi)波只可能向右傳播了4/3個(gè)波長(zhǎng)，解也是唯一的：v=400m/s例題7：一列橫波沿直線在空間傳播，某一時(shí)刻直線上相距為d的M、N兩點(diǎn)均處在平衡位置，且M、N之間僅有一個(gè)波峰，若經(jīng)過時(shí)間t，N質(zhì)點(diǎn)恰好到達(dá)波峰位置，則該列波可能的波速是多少？ACBD分析與解：本題沒有給定波的傳播方向，僅告訴我們?cè)谀骋粫r(shí)刻M、N兩點(diǎn)均處在平衡位置，且M、N之間僅有一個(gè)波峰由此我們可以推想，處在直線MN上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻相對(duì)平衡位置的位移可能會(huì)有以下四種情況，即波的圖像有以下四種圖形（如圖中A、B、C

17、、D圖，各圖中均為左端為M，右端為N）：若波的傳播方向由M到N，那么： 在A圖中，經(jīng)過時(shí)間t，N恰好到達(dá)波峰，說明時(shí)間t內(nèi)波向右前進(jìn)的距離，且，所以波速 在B圖中，經(jīng)過時(shí)間t，波峰傳到N點(diǎn)，則波在時(shí)間t內(nèi)向右前進(jìn)的距離，且，所以波速 在C圖中，經(jīng)過時(shí)間t，波向右前進(jìn)的距離，且，所以波速 在D圖中，經(jīng)過時(shí)間t，波向右前進(jìn)的距離，且，所以波速 若波的傳播方向從N到M，那么：在A圖中，質(zhì)點(diǎn)N此時(shí)要向下振動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t，N到達(dá)波峰，則時(shí)間，在時(shí)間t內(nèi)波向左前進(jìn)的距離，所以波速 在B圖中，經(jīng)過時(shí)間t， N到達(dá)波峰，則時(shí)間，在此時(shí)間內(nèi)波向左前進(jìn)的距離，所以波速 在C圖中，波在時(shí)間t內(nèi)向左前進(jìn)的距離，且，所

18、以波速 在D圖中，質(zhì)點(diǎn)N經(jīng)過變?yōu)椴ǚ澹?，在時(shí)間t內(nèi)波向左前進(jìn)的距離，所以波速所以該列波可能的波速有五種、 其實(shí)上述解決問題的方法過于程序化，如果能夠判斷出八種情況下該時(shí)刻波形圖上的波峰在傳播方向上到N點(diǎn)的距離S，波速v就等于例如：最后一種情況中，波峰在傳播方向上到N點(diǎn)的距離，所以波速其它情況讀者可自行解決例題8：（06上海10）在均勻介質(zhì)中選取平衡位置在同一直線上的9個(gè)質(zhì)點(diǎn),相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的距離均為L(zhǎng),如圖(a)所示,一列橫波沿該直線向右傳播,t=0時(shí)到達(dá)質(zhì)點(diǎn)1,質(zhì)點(diǎn)1開始向下運(yùn)動(dòng),經(jīng)過時(shí)間t第一次出現(xiàn)如圖(b)所示的波形.則該波的( )A.周期為t,波長(zhǎng)為8L B.周期為t,波長(zhǎng)為8LC.周

19、期為t,波速為12L/t D.周期為t,波速為8L/t答案 BC解析 由圖(b)可看出,該波波長(zhǎng)=8L,質(zhì)點(diǎn)9此時(shí)向上運(yùn)動(dòng),這說明在t時(shí)間內(nèi),波傳播的距離大于一個(gè)波長(zhǎng),因質(zhì)點(diǎn)1開始振動(dòng)的方向向下,故波傳播到質(zhì)點(diǎn)9時(shí),質(zhì)點(diǎn)9起振的方向應(yīng)向下,而圖(b)中質(zhì)點(diǎn)9向上振動(dòng),這說明質(zhì)點(diǎn)9已振動(dòng)了,故t=+T,T=t,機(jī)械波傳播的速度為v=,由此可知B、C選項(xiàng)正確.例題9：（07四川理綜20）圖甲為一列簡(jiǎn)諧橫波在某一時(shí)刻的波形圖,圖乙為質(zhì)點(diǎn)P以此時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)的振動(dòng)圖象.從該時(shí)刻起 ( )A.經(jīng)過0.35 s時(shí),質(zhì)點(diǎn)Q距平衡位置的距離小于質(zhì)點(diǎn)P距平衡位置的距離B.經(jīng)過0.25 s時(shí),質(zhì)點(diǎn)Q的加速度大于質(zhì)

20、點(diǎn)P的加速度C. 經(jīng)過0.15 s,波沿x軸的正方向傳播了3 mD.經(jīng)過0.1 s時(shí),質(zhì)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)方向沿y軸正方向解析 由振動(dòng)圖象可判定t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P向下振動(dòng),則機(jī)械波向右傳播.經(jīng)0.35 s,即經(jīng)1T時(shí),P點(diǎn)在波峰,故Q距平衡位置的距離小于P到平衡位置的距離,A對(duì);經(jīng)0.25 s,即經(jīng)1T時(shí),P在波谷,Q的加速度小于P的加速度,B錯(cuò);波速v= m/s=20 m/s,所以經(jīng)0.15 s波沿x軸的正方向傳播的距離s=vt=20×0.15 m=3 m,C對(duì);Q點(diǎn)圖示時(shí)刻向上振動(dòng),經(jīng)半個(gè)周期,其運(yùn)動(dòng)方向沿y軸負(fù)方向,D錯(cuò). 答案 AC例題10：（07上海9）如圖所示,位于介質(zhì)和分界面上的波源S,產(chǎn)生兩列分別沿x軸負(fù)方向與正方向傳播的機(jī)械波.若在兩種介質(zhì)中波的頻率及傳播速度分別為f1、f2和v1、v2,則( )A.f1=2f2,v1=v2B.f1=f2,v1=0.5v2C.f1=f2,v1=2v2D.f1=0.5f2,v1=v2解析 機(jī)械波的頻率是由波源決定的,機(jī)械波的傳播速度是由介質(zhì)決定的,所以f1=f2,對(duì)介質(zhì),波速v1= 1f =Lf ，對(duì)介質(zhì),波速v2=2f=f，